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1、三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。线段垂直平分线,常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。2、遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。3、遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线
2、,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。4、过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。5、截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6、 已知某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形。7、特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识
3、解答。1、已知,如图ABC中,AB=5,AC=3,求中线AD的取值范围.2、如图,ABC中,E、F分别在AB、AC上,DEDF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.3、如图,ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:AD平分BAE.4、以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点探究:AM与DE的位置关系及数量关系(1)如图 当为直角三角形时,探究:AM与DE的位置关系和数量关系;(2)将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0AB,AD平分BAC,P为AD上任一点,连结PB、PC。求证:PC-PBAC-AB。26、如图2-7-5,从等
4、腰RtABC的直角顶点C向中线BD作垂线,交BD于F,交AB于E,连结DE。求证:CDF=ADE。27、在ABC中,ACB90,ACBC,直线MN经过点C,且ADMN于D,BEMN于E. (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证: ADCCEB;DEADBE; (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DEADBE; (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明。28、已知:ABC为等边三角形,M是BC延长线上一点,直角三角尺的一条直角边经过点A,且60角的顶点E在BC上滑动,(点E不与B、C重合),斜边和ACM的
5、平分线CF交于点F(1)如图(1)当点E在BC边中点位置时 1) 猜想AE与EF满足的数量关系是 。 2) 连结点E与边得中点,猜想和满足的数量关系是3) 请证明你的上述猜想()如图()当点在边得任意位置时:此时和有怎样的数量关系,并说明你的理由?E29、已知AC平分MAN,MAN=120,(1)在图(1)中,若ABC=ADC=90,求证:AB+AD=AC 。(2)在图(2)中,若MAN=120,ABC+ADC=180,则(1)中的结论还成立吗?若成立请你给出证明,若不成立请说明理由?30、如图1,在中,点为边中点,直线绕顶点旋转,若点在直线的异侧,直线于点,直线于点,连接(1)延长交于点(如
6、图2),求证:;求证:;(2)若直线绕点旋转到图3的位置时,点在直线的同侧,其它条件不变.此时还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(3)若直线绕点旋转到与边平行的位置时,其它条件不变,请直接判断还成立吗?不必说明理由.题图1题图2题图331、如图1,已知正方形的边在正方形的边上,连接(1)试猜想与有怎样的位置关系,并证明你的结论.(2)将正方形绕点按顺时针方向旋转,使点落在边上,如图2,连接和你认为(1)中的结论是否还成立?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由. 32、已知等边ABC和点P,设点P到ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3,ABC的高为h。 “若点P在一边BC上(如图1),此时h3=0,可得结论h1+h2+h