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1、第8讲,微分,微分概念微分的几何意义可微的概念微分用于近似计算微分基本公式与运算法则一阶微分形式的不变性,一、微分概念,例1 正方形铁片边长为 x，面积 y=x2 ，热胀 ，边长增加 x , 求面积改变量,面积改变量,当x 很小时, (x )2 更小,ydy,定义 y=Ax+x , A与x无关, 为无穷小,y=f(x)在x可微,Ax为函数在x的微分,记为dy=Ax,定理1 f (x) 在 x0 可微,f (x) 在 x0 可导 .,证 :,存在 , 则,f (x) 在 x0 可微,则,=A,即 f (x) 在 x0 可导 . 且,x=2时,例2 求y=lnx在x=2时的微分,二、微分的几何意义
2、,曲线 y =f (x) 在点(x0, f (x0)处,切线 Y f (x0) = (xx0),x=x0+x Y f (x0)=dy,切线纵坐标的改变量,反函数的导数,函数的参数方程,例3 求椭圆,1、使用复合函数的求导法则与反函数求导公式,2、直接微分法,优点：不使用复合函数的求导法则与反函数求导公式，计算简便,四、,微分的概念,五、微分用于近似计算,y dy,当 f (x0) , 容易计算,|x | 很小时,例4 用微分近似计算,解: y= , x0=1.96 ，,x = 0.04,代入,例 5 证明当 |h| 很小时,ln (1+h) h,解: x= h , f (x)=lnx ，,x0
3、=1,例6 一气球 , R=10米,则, 升空后膨胀,半径增加R=0.02米,问体积增大多少?,解,=8(米3),六、微分的计算-基本公式 和运算法则,规定自变量 x 的微分dx=x,这时,导数 又称为微商,基本公式,复合函数的微分,七、一阶微分形式的不变性,设 y=f (u) ,若 u 是自变量 ，,则,设 y=f (u) ,若 u 是中间变量 ，,则,u=u (x),因此，无论 u 是中间变量，还是自变量 ，均有,称为一阶微分形式的不变性,例4 y=sin(2x+1),dy=dsin(2x+1)=cos(2x+1)d(2x+1)=2cos(2x+1)dx,例5 设 求,小结,1、微分：,3、近似计算：ydy,4、基本公式与运算法则,5、一阶微分形式不变性(在积分学中将用到),
