湍流力学课件二讲解

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1、第二章 各向同性湍流,均匀湍流如果任意n点空间几何构形在空间坐标系平移后，脉动速度任意n阶统计相关函数不变（或任意n点联合概率密度不变），则称湍流流场均匀。 各向同性湍流如果任意n点空间几何构形在空间坐标系平移、转动和对称后，脉动速度任意n阶统计相关函数不变（或任意n点联合概率密度不变），则湍流流场各向同性。 各向同性湍流首先是均匀的，同时统计特性与方向无关，只能在无界流场中才能存在。,研究各向同性湍流的意义,各向同性湍流具有湍流质量、能量输运的基本属性，这些性质对一般湍流研究十分重要。 虽然严格意义上各向同性湍流并不存在，但远离地面大气以及远离海面、海岸和海底的湍流可近似为各向同性。 Kol

2、mogrov (1941) ，G. I. Taylor (1935) ，Von Karman 和Howarth(1938) 主要开展了研究。,2.1 两点相关（Two-point Correlation） 单点相关函数 对于各向同性湍流，两点相关表示为 在原点 r=0,两点纵向f(r)和横向相关系数g(r) 对于各向同性流场，在 对于均匀湍流，即整个流场内，湍流平均统计性质均匀，f(r)可以表示为对2取平均，即空间平均，则,在均匀各向同性流场内，两种相关系数的特点： （1）g(0)= f(0)=1 （2） （3）g(r)= g(-r)，对称性 （4） 因为相隔无穷远距离两点的脉动速度完全不相关

3、。,纵向和横向相关函数的形状讨论 对涡的形式，很难给出准确的分布曲线， 从均匀性出发，,又由均匀性得，二阶导数为 将g(r)在r=0附近进行Taylor级数展开，,将导数带入得， 当r0时，忽略4阶以上的小项，得出抛物线函数，可定义长度尺度g 其中 或,同样的方法可得到纵向相关系数相应性质，但一般两个相关系数不相等 对各向同性湍流 得到密切抛物线函数p(r)，p(0)=f(0)，dp(0)/dr= df(0)/dr, d2p(0)/dr2= d2f(0)/dr2,f,Taylor给出在各向同性湍流中，利用g可以给出湍流耗散率的表达式，并且认为这一尺度可以用于描述湍流场内耗散结构尺度的大小，称为

4、Taylor 微尺度。 由耗散率的表达式 得 但是这个旋涡并不是指场内最小的耗散涡，主要因为u作为耗散涡的特征速度是不对的。而耗散涡的特征尺度为Kolmogrove尺度和u,Taylor 微尺度和Kolmogrove尺度的比较 定义大涡的长度尺度，L=k3/2/ 得到湍流雷诺数 得出微尺度表示 可见，在高雷诺数下，Taylor微尺度是介于 和L之间的尺度。,湍流的积分尺度 表征了两点存在相关性最大特性距离，它是湍流中最大涡尺的代表。可分为纵向积分长度，横向积分长度 对于各向同性湍流，可得,欧拉时间相关系数。 考虑xj为常数（位置不变）脉动速度分量u1，欧拉时间相关系数为两个不同时刻t与t+脉动

5、速度分量之间关联无因次化 由流场均匀性，同前面讨论纵向相关系数相似，可以证明在t=0 附近，欧拉时间相关系数可表示为,曲线原点可得密切抛物线方程为 其中 ，E为一个时间尺度。 表示了脉动速度脉动u1(t)最快变化的时间尺度的代表，从耗散角度讲，它是指小涡生存时间，因为与Taylor微尺度之间密切联系，称为欧拉耗散涡时间尺度。它不仅与流场内湍流结构有关，且与主流速度对该点输运特性有关。,同样可得到积分时间尺度 可以理解为保持湍流行为中最大时间尺度一种度量 在均匀湍流场内有一常数平均速度，假定 ，则在流场内一固定空间点上所观测到u1(t) 随时间变化情况，可以近似的看成是由在沿着过此点的x1方向的

6、直线上分布的速度空间变化，设想被冻结起来，以平均速度移过此点形成Taylor冻结流假设。,故 积分长度 湍流的Taylor微尺度与Eular耗散时间尺度之间的关系,2.2 Karman-Howarth 方程 Karman和Howarth在1938年从N-S方程得到了 f(r,t)的演化方程， 时间导数可表示为 根据脉动速度的N-S方程,根据各向同性流场条件，带入N-S方程后产生两点三速度相关函数 可以证明，所有的两点三速度相关函数可以被下面函数唯一表示， 且在 r0处， 带入即可得到各向同性K-H动力学方程,从K-H方程中可得： 1、存在方程封闭的问题，方程中存在两个未知数 f 和 k； 2、

7、k 和 分别代表了惯性过程和粘性过程； 3、当 r0时，可以证明 k=0，对于偶函数f=1, 当r0时，K-H方程变为 或,4、对于Richardson-Kolmogorov能量级联的观点，在高雷诺数条件下，能量将通过惯性作用机制从大尺度旋涡向小尺度旋涡传递，其尺度（r ）,因此能量传递的机制由k项完成。,从K-H方程中更多结果： 1、Loitsyanskii 积分 对K-H方程两面乘以r4，并从0积分至R,得四阶积分矩 Loitsyanskii将R同时假设f和k随着r下降的充分快，得到Loitsyanskii积分 可解释为湍流场内总扰动量和总角动量守恒。,2、最终阶段的衰减 当各向同性湍流衰

8、减，随着雷诺数的减少，惯性作用相对于粘性作用逐渐消失，最终当雷诺数充分小的时候，惯性作用可以忽略不计。 Batchelor and Townsend (1948)研究表明当惯性项忽略后，K-H方程可以得到自相似的解 对于后期充分衰减的流动有效。 可以用于非常低雷诺数的流动。,2.3 Taylor一维能谱分析 问题的提出 湍流运动常被描述为许许多多不同尺度涡运动叠加而成，具有不同频率的大量脉动的组合，这种形象化描述可以利用严格数学方法Fourier分析实现。 一个在空间或时间做随机变化的物理过程，例如光波、电磁波、海面波都可以通过Fourier分析，分解成许许多多具有不同波长或频率简谐波叠加而成

9、，包含在每一简谐波中分量总和就等于此方程物理量大小。,对于一个确定周期函数f(t)，且在其周期内积分为有限值，可以展开为Fourier级数 其中， w为基频 系数,为了计算方便常采用Fourier的级数形式 其中， 一维能谱方程 考虑均匀流场内某一固定点的湍流脉动速度u1，设流场是准定常的。存在脉动速度的方差由一切频率n的脉动贡献之和组成。 其中，E1(n)为湍流脉动在n与n+dn频率之间的贡献量。,如果空间某一固定点的脉动速度u1(t)是时间的周期函数，则可将其展开为离散频率的Fourier级数，显然湍流脉动速度不存在周期性，因此只能用连续频谱Fourier积分表示。 其逆变换为,上述Fou

10、rier积分只有在积分为有限值下成立。考虑一掐头去尾函数uT(t)，上面积分就可以成立而不失物理上的正确性，即满足数学变换又不失物理上正确近似。 则,对于湍流流场内的欧拉时间相关 T取为有限值,其中IT（n）是IT*（n）的共轭复数，则 当t=0时， 故 其中 称为一维能谱函数 因此,对于各向同性湍流和偶函数特性 相关函数和一维能量谱函数成Fourier余弦函数变换,对于u1的均匀流场，Taylor冻结流假设成立，由于f(x1)=E(t)，且 ，得 当x1=0， E1(n)代表频率位于n与n+dn之间那些谐波分量对湍流动能的贡献，是频率空间能谱函数。,推论： 1、当n0时，有 可见积分尺度TE

11、、f，可以从曲线 和纵坐标轴交点得出，这提供了一个确定这些尺度的方法。,2、 对于与耗散过程有关的旋涡，这些较小尺度的旋涡的表征尺度决定于高频值n的值。,3、E1(n)和f(x1)互为Fourier余弦变换，已知其一即可通过积分方法得出另一个函数。但是需要已知其函数解析式，或利用实验关联式来近似替代。 从实验上测量得出函数分布也很有意义。但实际上测量误差意味着这种方法的冒险性。通常，当两点距离大时，相关测量更准确，在高频区，谱测量更准确，因此用两者的相互变换来校核两者的测量结果更为适宜。,举例： 在许多均匀湍流条件下， 近似成立，可得到E1(n)近似表达式,2.4 三维能谱分析 问题的提出 N

12、-S方程的特性还需要在波数空间内进行描述 将在均匀湍流流场内研究波数空间的影响。,三维Fourier级数的表达形式 我们讨论在三维空间内 0xiL，L与泰勒积分尺度L11相比拟。 在x1方向上，傅里叶级数含有下面项 其中k0=2/L为最低波数值，其复数形式为 n1为正或负的整数,波数矢量 由3个分量组成，构成三维波数空间的一个矢量，称为波矢量，量纲为L-1,则级数通用形式变为， 在垂直于矢量k的平面上是常数。,速度谱张量 在均匀湍流中，进一步讨论速度谱张量 其中， 为连续的波矢量，速度谱张量具有复数形式,速度谱张量代表了在波数空间雷诺应力的密度函数，表示了在单位波数体积空间内，通过Fourie

13、r级数对雷诺应力的贡献。 当r=0时，,速度谱张量包含三个部分的含义： 1）其下标i，j表明在物理空间内的速度方向； 2）给出了波数空间方向； 3）波数大小给出了波数长度尺度； 4）根据速度梯度的计算，可得耗散率为,能谱函数 速度谱张量含有大量的信息，能谱函数是标量函数，可以从速度谱张量中导出，将波数空间的方向性去掉，在某一波数 上进行积分 在整个波数空间内积分，可得到湍流动能,在各向同性湍流中，速度谱函数唯一决定于E(k),可表示两个标量函数的组合，其均为k 偶函数。求解得 进一步的变化得 能谱函数E(k)为在波数空间上在 薄层内对湍流脉动总能贡献密度，它描述了湍流能量在各个波数下，即在各涡

14、长度上分布。,各向同性湍流湍能能谱方程 由于均匀湍流中，当x绝对值趋近于无穷大时，ui并不趋于零，因而Fourier变换存在的必要条件并不满足，三维脉动速度场通常意义下的Fourier变换不存在。 对于速度两点相关函数其变换存在，可得如下关系：,可定义速度谱张量（Velocity-spectrum tensor） 而二元速度关联张量Rij，当 ，其取值很地趋向于零，故其Fourier变换存在，二元速度关联张量可表示为,如令r=0， 代表在三维波数空间中对雷诺应力张量的贡献量，而 代表了贡献密度，故称之为速度谱张量。 在谱区域K内的贡献量为,湍流动能k(t) 代表波数空间中对湍流能量的贡献量。

15、可得耗散率的Fourier表达式 可见， 和 分别是湍流能量和耗散率的贡献密度。,推得湍流能谱方程 其中在各向同性湍流中， 代表了能量在各个波数之间的再分配。 上式给出在不同尺度旋涡运动中，能量的定量关系，特别是输运谱函数在能量级联过程中具有重要作用。,Kolmogorov spectra 根据Kolmogorov假设，当流动雷诺数充分高速度谱具有通用形式，且流动为各向同性，这个区域在lKEI=2/lEI，流动可由E(k)表示，通过量纲分析，E(k)只与k，有关。可得能谱函数的通用形式， 其中， 为无因次通用函数，Kolmogorov谱函数。如果带入k, ，则 其中，,对于粘性耗散区 对于惯性子区 可得 其中，C为模型常数。这就是Kolmogorov-5/3谱分布律，实验确定的C为1.5。,模型谱函数 引入近似的模型谱函数 其中函数fL确定含能区的谱函数形状，对于大kL,其取值趋近于1。 函数f描述耗散区谱函数形状，对于小的k,其取值趋近于1。 在惯性子区以上两个函数均趋于1，得到Kolmogorov-5/3谱分布律。,耗散谱 1）模型谱与实验结果吻合很好； 2）k10.1,谱线重合在一起。 3) 不同雷诺数存在不同汇合点。,耗散谱最大值取在k=0.2