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1、第1章 算法概述,学习要点: 理解算法的概念。 理解什么是程序，程序与算法的区别和内在联系。 掌握算法的计算复杂性概念。 掌握算法渐近复杂性的数学表述。 掌握用C+语言描述算法的方法。,算法(Algorithm),算法是指解决问题的一种方法或一个过程。 算法是若干指令的有穷序列，满足性质： (1)输入：有外部提供的量作为算法的输入。 (2)输出：算法产生至少一个量作为输出。 (3)确定性：组成算法的每条指令是清晰，无歧义的。 (4)有限性：算法中每条指令的执行次数是有限的，执行每条指令的时间也是有限的。,程序(Program),程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。 程序可以不满足算法的性质
2、(4)。 例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序，因而不是一个算法。 操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实现。该子程序得到输出结果后便终止。,问题求解(Problem Solving),理解问题,精确解或近似解 选择数据结构 算法设计策略,设计算法,算法复杂性分析,算法复杂性 = 算法所需要的计算机资源 算法的时间复杂性T(n)； 算法的空间复杂性S(n)。 其中n是问题的规模（输入大小）。,算法的时间复杂性,（1）最坏情况下的时间复杂性 Tmax(n) = max T(I) | size(I)=n （2）最好情况下的时间复杂性 Tmi
3、n(n) = min T(I) | size(I)=n （3）平均情况下的时间复杂性 Tavg(n) = 其中I是问题的规模为n的实例，p(I)是实 例I出现的概率。,算法渐近复杂性,T(n) , as n ; (T(n) - t(n) )/ T(n) 0 ，as n; t(n)是T(n)的渐近性态，为算法的渐近复杂性。 在数学上， t(n)是T(n)的渐近表达式，是T(n)略去低阶项留下的主项。它比T(n) 简单。,渐近分析的记号,在下面的讨论中，对所有n，f(n) 0，g(n) 0。 （1）渐近上界记号O O(g(n) = f(n) | 存在正常数c和n0使得对所有n n0有：0 f(n)
4、 cg(n) （2）渐近下界记号 (g(n) = f(n) | 存在正常数c和n0使得对所有n n0有：0 cg(n) f(n) ,（3）非紧上界记号o o(g(n) = f(n) | 对于任何正常数c0，存在正数和n0 0使得对所有n n0有：0 f(n)0，存在正数和n0 0使得对所有n n0有：0 cg(n) f(n) 等价于 f(n) / g(n) ，as n。 f(n) (g(n) g(n) o (f(n),（5）紧渐近界记号 (g(n) = f(n) | 存在正常数c1,c2和n0使得对所有n n0有：c1g(n) f(n) c2g(n) 定理1： (g(n) = O (g(n)
5、(g(n),渐近分析记号在等式和不等式中的意义,f(n)= (g(n)的确切意义是：f(n) (g(n)。 一般情况下，等式和不等式中的渐近记号(g(n)表示(g(n)中的某个函数。 例如：2n2 + 3n + 1 = 2n2 + (n) 表示 2n2 +3n +1=2n2 + f(n)，其中f(n) 是(n)中某个函数。 等式和不等式中渐近记号O,o, 和的意义是类似的。,渐近分析中函数比较,f(n)= O(g(n) a b; f(n)= (g(n) a b; f(n)= (g(n) a = b; f(n)= o(g(n) a b.,渐近分析记号的若干性质,（1）传递性： f(n)= (g(
6、n)， g(n)= (h(n) f(n)= (h(n)； f(n)= O(g(n)， g(n)= O (h(n) f(n)= O (h(n)； f(n)= (g(n)， g(n)= (h(n) f(n)= (h(n)； f(n)= o(g(n)， g(n)= o(h(n) f(n)= o(h(n)； f(n)= (g(n)， g(n)= (h(n) f(n)= (h(n)；,（2）反身性： f(n)= (f(n)； f(n)= O(f(n)； f(n)= (f(n). （3）对称性： f(n)= (g(n) g(n)= (f(n) . （4）互对称性： f(n)= O(g(n) g(n)= (
7、f(n) ； f(n)= o(g(n) g(n)= (f(n) ；,（5）算术运算： O(f(n)+O(g(n) = O(maxf(n),g(n) ； O(f(n)+O(g(n) = O(f(n)+g(n) ； O(f(n)*O(g(n) = O(f(n)*g(n) ； O(cf(n) = O(f(n) ； g(n)= O(f(n) O(f(n)+O(g(n) = O(f(n) 。,规则O(f(n)+O(g(n) = O(maxf(n),g(n) 的证明： 对于任意f1(n) O(f(n) ，存在正常数c1和自然数n1，使得对所有n n1，有f1(n) c1f(n) 。 类似地，对于任意g1(
8、n) O(g(n) ，存在正常数c2和自然数n2，使得对所有n n2，有g1(n) c2g(n) 。 令c3=maxc1, c2， n3 =maxn1, n2，h(n)= maxf(n),g(n) 。 则对所有的 n n3，有 f1(n) +g1(n) c1f(n) + c2g(n) c3f(n) + c3g(n)= c3(f(n) + g(n) c32 maxf(n),g(n) = 2c3h(n) = O(maxf(n),g(n) .,算法渐近复杂性分析中常用函数,（1）单调函数 单调递增：m n f(m) f(n) ; 单调递减：m n f(m) f(n); 严格单调递增：m f(n).
9、（2）取整函数 x ：不大于x的最大整数； x ：不小于x的最小整数。,取整函数的若干性质,x-1 0，有： n/a /b = n/ab ; n/a /b = n/ab ; a/b (a+(b-1)/b; a/b (a-(b-1)/b; f(x)= x , g(x)= x 为单调递增函数。,（3）多项式函数 p(n)= a0+a1n+a2n2+adnd； ad0; p(n) = (nd); f(n) = O(nk) f(n)多项式有界； f(n) = O(1) f(n) c; k d p(n) = O(nk) ; k d p(n) = (nk) ; k d p(n) = o(nk) ; k d
10、 p(n) = (nk) .,（4）指数函数 对于正整数m,n和实数a0: a0=1; a1=a ; a-1=1/a ; (am)n = amn ; (am)n = (an)m ; aman = am+n ; a1 an为单调递增函数; a1 nb = o(an),ex 1+x; |x| 1 1+x ex 1+x+x2 ; ex = 1+x+ (x2), as x0;,（5）对数函数 log n = log2n; lg n = log10n; ln n = logen; logkn = (log n)kl; log log n = log(log n); for a0,b0,c0,|x| 1
11、for x -1, for any a 0, , logbn = o(na),（6）阶乘函数 Stirlings approximation,算法分析中常见的复杂性函数,小规模数据,中等规模数据,算法分析方法,例：顺序搜索算法,template int seqSearch(Type *a, int n, Type k) for(int i=0;in;i+) if (ai=k) return i; return -1; ,（1）Tmax(n) = max T(I) | size(I)=n =O(n) （2）Tmin(n) = min T(I) | size(I)=n =O(1) （3）在平均情况
12、下，假设： (a) 搜索成功的概率为p ( 0 p 1 )； (b) 在数组的每个位置i ( 0 i n )搜索成功的概率相同，均为 p/n。,算法分析的基本法则,非递归算法： （1）for / while 循环 循环体内计算时间*循环次数； （2）嵌套循环 循环体内计算时间*所有循环次数； （3）顺序语句 各语句计算时间相加； （4）if-else语句 if语句计算时间和else语句计算时间的较大者。,template void insertion_sort(Type *a, int n) Type key; / cost times for (int i = 1; i =0 / c7 n-
13、1 ,在最好情况下，ti=1, for 1 i n; 在最坏情况下，ti i+1, for 1 i n;,对于输入数据ai=n-i,i=0,1,n-1，算法insertion_sort 达到其最坏情形。因此， 由此可见，Tmax(n)= (n2),最优算法,问题的计算时间下界为(f(n)，则计算时间复杂性为O(f(n)的算法是最优算法。 例如，排序问题的计算时间下界为(nlogn)，计算时间复杂性为O(nlogn)的排序算法是最优算法。 堆排序算法是最优算法。,递归算法复杂性分析,int factorial(int n) if (n = 0) return 1; return n*factorial(n-1); ,课后作业,习题 1-7，1-8，1-10。,
