数值分析第九章讲解

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1、数值分析,第九章 常微分方程的数值解,一、 Euler方法,三、 单步法的收敛性和稳定性,二、 Runge-Kutta方法,四、 线性多步法,很多科学技术和工程问题常用常微分方程的形式建立数学模型.,但是对于绝大多数的微分方程问题，很难或者根本不可能得到它的解析解.,本章重点考察一阶方程的初值问题,的数值解法，就是寻求解y(x)在一系列离散点,处的近似值 的方法.,相邻两个节点间的距离 称为步长.,一、 Euler方法,1 欧拉公式,由初值条件 表示积分曲线从,出发，并在 处的切线斜率为,因此可以设想积分曲线在 x=x0 附近可以用切,线近似的代替曲线.,切线方程为,当x=x1时，代入有,这样

2、得到y(x1)的近似值y1的方法.,重复上述方法，当 x=x2 时,依次可以计算出x3, x4, 处的近似值y3, y4, ,由此得到Euler公式：,由于用折线近似代替方程的解析解，所以Euler方法也称为Euler折线法.,例 用Euler法计算初值问题的解在x=0.3时的近似值，取步长h=0.1 .,解：,Euler公式的截断误差,局部截断误差：一步Euler公式产生的误差;,总体截断误差：Euler公式的累积总误差;,欧拉法的局部截断误差：,所以欧拉法具有 1 阶精度.,Lipschitiz条件：若存在正数L,使得对一切,x, y1, y2有,则称f(x, y)满足Lipschitiz

3、条件.,欧拉法的总体截断误差：,那么,设,为局部截断误差，所以,特别当n=m-1时，有,总体误差与h是同阶的.,上式还说明，当 时，有 即,也就是说，ym收敛到方程的准确解,后退Euler公式,（隐式欧拉法）,（隐式欧拉公式 ）,利用向后差商近似导数,由于未知数yn+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式欧拉公式，而前者称为显式欧拉公式.,一般先用显式计算一个初值，再迭代求解.,隐式欧拉法的局部截断误差：,即隐式欧拉公式具有1阶精度.,2 梯形公式和改进Euler方法,梯形公式,设y=y(x)是 的解, 故,由此得到,用yn来近似y(xn),用yn+1来近似y(xn+1), 得,梯形

4、公式,梯形公式是隐式的，可以用迭代法求解.,具有2阶精度.,梯形公式的局部截断误差,中点欧拉公式,假设 , 则可以导出 即中点公式具有 2 阶精度.,需要2个初值 y0和 y1来启动递推 过程，这样的算法称为双步法 ， 而前面的三种算法都是单步法.,简单,精度低,稳定性最好,精度低, 计算量大,精度提高,计算量大,精度提高, 显式,多一个初值, 可能影响精度,有没有一种方法，既有这些方法的优点，而没有它们的缺点？,改进欧拉法,(1)先用显式欧拉公式作预测，算出,(2)再将 代入梯形公式的右边作校正,得到,注：此法亦称为预测-校正法.可以证明该算法具有2阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比

5、隐式公式的迭代求解过程简单.,例 用梯形公式求解初值问题(步长h=0.2),解：,梯形公式为,于是,整理得,由 y(1) = y0 = 2 依次可得 y1, y2, y3, y4, y5.,例 用改进欧拉法求解初值问题,要求步长h=0.2，并计算y(1.2)和y(1.4),解：,改进欧拉法公式为,即,由 y(1) = y0 =1 计算得,二、Runge-Kutta方法,建立高精度的单步递推格式.,单步递推法的基本思想是从(xn , yn )点出发，以某一斜率沿直线达到(xn+1 , yn+1 )点. 欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶.,考察改进的欧拉法，可以将其改写为：,斜率 一定取

6、K1 K2 的平均值吗？,步长一定是一个h 吗？,首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在 的前提假设下，使得,将改进欧拉法推广为：,(1) 将K2在(xn , yn )点作 Taylor 展开,1 二阶Runge-Kutta方法,(2) 将 K2 代入第1式，得到,(3) 将yn+1与y( xn+1 )在xn点的泰勒展开作比较,要求 , 则必须有：,所以存在无穷多个解！,所有满足上式的统称为2阶Runge-Kutta格式.,若 则,改进的欧拉方法,若 则,中点公式,2 四阶Runge-Kutta方法,其中i (i = 1, , m)，i (i =2, , m) 和ij

7、 (i = 2, , m; j =1, , i1 ) 均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似.,由于方程的个数少于未知量的个数，所以方程有无穷多个解，可以根据情况得到几种常用的解，即得到相应的四阶公式.,最常用为四阶经典龙格-库塔法,也称为标准四阶龙格-库塔公式,Gill公式,(2) 龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响. 对于光滑性不太好的解, 最好采用低阶算法而将步长h 取小.,注：,(1) 龙格-库塔法的主要运算在于计算Ki 的值,即计算f的值. Butcher于1965年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系：,例 用标准四阶Runge-Kutta法求初

8、值问题,在x=0.1处的近似值，取步长为h=0.1 .,解：,所以,那么,例 用标准四阶Runge-Kutta法求初值问题,在x=0.4处的近似值，取步长为h=0.2 .,解：,所以,而,所以,1 单步法的收敛性,三、 单步法的收敛性和稳定性,单步法是在计算yn+1时只用到前一步的信息yn .,显式单步法的共同特征是它们都是将yn加上某种形式的增量，得出yn+1,计算公式如下：,增量函数,Euler方法的增量函数,改进Euler方法的增量函数,则称,为显式单步法在xn+1处的局部截断误差 .,例：考察欧拉显式格式的收敛性:,解：该问题的精确解为,欧拉公式为,对任意固定的 x=xi =ih，有,

9、Tn+1按h展开的第一项，又称为主项.,若局部截断误差的展开式写成,则称 为局部截断误差的主项,单步法的收敛定理,设单步法 具有p阶精度,其增量函数 关于y满足Lipschitz条件,即存在常数L，使对任何的 及任意的x有,又设初值y0是准确的，即 则总体,截断误差是p阶的，也就是,特别的当 时, 不论n为何值, 总有,即方法收敛.,在f(x,y)对y满足Lipschitz条件下, Euler法，改进Euler法和Runge-Kutta法的增量函数,都对y满足Lipschitz条件，所以上述结论对这些方法都成立.,例 设,是求解微分方程的单步法，试求其局部截断误差的主项，并说出它具有几阶精度.

10、,解:,考虑 在xn处的Taylor展式,所以,该方法的局部截断误差的主项是,具有一阶精度.,解:,考虑 在xn处的Taylor展式,所以,该方法的局部截断误差的主项是,具有二阶精度.,2 单步法的稳定性,收敛性是在假定每一步计算都准确的前提下, 讨论步长 时，方法的总体截断误差是否趋于零的问题.,稳定性是讨论舍入误差的积累能否对计算结果有严重的影响.,例：考察初值问题 在区间,1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000101 3.2000101,1.0000 2.5000101 6.2500102 1.5625102 3.9063103 9.7656104,1.00

11、00 2.5000 6.2500 1.5626101 3.9063101 9.7656101,1.0000 4.9787102 2.4788103 1.2341104 6.1442106 3.0590107,0, 0.5上的解，分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解.,一般分析时为简单起见，只考虑试验方程, 为复数且Re()0,设 在节点值yn处有扰动 令,那么,于是,反复应用可得,为使,则,可得如下定义,下面讨论已知的几种方法的绝对稳定区间和绝对稳定区域.,显式欧拉法:,在复平面上的绝对稳定区域是,即以-1为中心，1为半径的圆域,所以,相应的绝对稳定区间是,隐式欧拉法(后退欧拉法)

12、：,在复平面上的绝对稳定区域是,是以1为中心，1为半径的圆的外域,所以,相应的绝对稳定区间是,即,如果只考虑 0的实数，则相应的绝对稳定区间对于任意的h都成立，所以是无条件稳定的,梯形公式：,在复平面上的绝对稳定区域是,也是无条件稳定的,相应的绝对稳定区间是,龙格-库塔法：,而显式1 4 阶方法的绝对稳定区域为,例 设,是求解微分方程的单步法，分析它的稳定性.,解:,所以绝对稳定区域是,即 为复平面的左半平面.,在实数域上是无条件稳定的.,解：,将 代入得,即,例 讨论求解初值问题 的求解,公式：,的稳定性. (0为实数),所以绝对稳定区域是,所以,因此是条件稳定的.,四、 线性多步法,在逐步

13、推进的求解过程中，计算yn+1之前已经求出了一系列的近似值y0, y1, , yn ,如果充分利用前面信息来预测yn+1，则可期望会获得较高的精度，这就是线性多步法的基本思想.,1 线性多步法的一般公式,最常用的线性多步法公式为,其中 为常数，yn-k为y(xn-k)的近似值,fn-k = f(xn-k ,yn-k),特别的当 时, 上式为显式, 否则是隐式.,若 则称该方法具有p阶精度.,若 则称局部截断误差的主项为 为误差常数.,例 设 yn+1 = yn-1+2hf(xn, yn) 为求解常微分初值问题的线性二步法，试求该二步公式的局部截断误差主项，和精度.,解:,由局部截断误差的定义可

14、知,考虑 在xn处的Taylor展式,代入可得,所以局部截断误差的主项为,具有二阶精度.,解:,局部截断误差为,考虑 在xn处的Taylor展式,于是,为使方法具有二阶精度则,解得,因此该方法为,局部截断误差的主项为,解:,局部截断误差为,考虑 在xn处的Taylor展式,所以,解得,局部截断误差的主项为,2 Adams外推公式,考虑用r+1个点(xn-k, f(xn-k, yn-k)构造一个r次多项式来近似,的被积函数f(x, y(x), 这里用yn-k作为y(xn-k)的近似值，令fn-k=f(xn-k, yn-k), 用Newton向后插值公式来构造r次多项式, 即,这里,而,将yn+1

15、作为y(xn+1)的近似值，因此得到,Adams外推公式,显式格式,当r=0时, 为Euler公式, 最常用的是r=3情况,Adams外推系数,3 Adams内插公式,用xn+1, xn , xn-r+1为插值节点, 构造f(x,y(x)的r次多项式，得到内插公式,隐式格式,最常用的是r=3情况,Adams外推系数,4 预报-校正公式,不论单步法或多步法，隐式公式比显式公式稳定性好，但在实际使用隐式公式时，都会遇到两个问题：一个是隐式公式如何能方便地进行计算；另一个是实际计算步长取多大.,如隐式梯形公式，每往前推进一步，不必进行多次迭代，而是采用一阶显式Euler公式预测，二阶隐式梯形公式校正一次，构成显式改进Euler公式，能达到与梯形公式同阶的精度，即二阶精度.,预测-校正技术即保证了计算精度，又使隐式计算显式化，克服了隐式公式要反复迭代的困难.,类