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1、9.2 常点邻域上的级数解法 一、线性二阶常微分方程 特殊函数方程大多为二阶线性常微分方程, 一般形式(实数域)为: 更一般的形式为(推广至复数域) 其中z为复变数,z0为选定的点,c0和c1为任给的,复常数,且w(z)为未知函数,p(z)和q(z)为已知复变函数,称为方程的系数。 上述方程一般不能用通常方法解出,但可用级数解法。 即在任选某点的邻域上将待求的解表示为级数形式,代入方程再确定系数。 方程的解的性质完全由系数p(z)和q(z)的解析性决定: 若p(z)和q(z)都在z0及其某邻域内解析,则称z0为方程的常点; 否则称z0为方程的奇点。,二、常点邻域内的级数解 1. 微分方程解析理
2、论的基本定理: 若p(z)和q(z)在圆|z-z0|R内单值解析,则方程 在圆内存在唯一的解w(z) ,且满足初值条件 , ,且w(z)在圆域内单值解析。 2. 解的形式: 由上述定理,在|z-z0|R内w(z)可写成泰勒级数 将代入可确定系数ak(用c0和c1表示),这种方法称为级数解法。,三、勒让德方程 自然边界条件 例:x0=0的邻域上求解l阶勒让德方程 解:方程可写成 则 显然x0=0是方程的常点,可设解为,代入方程,由下表合并相同幂次项的系数:,每列系数之和必为零,得递推公式 ,得到l 阶勒让德方程解: (两个级数之和) y0(x)只含偶次幂,为偶函数, y1(x)只含奇次幂,为奇函
3、数, a0、a1为任意常数,可由初始条件确定 , 判断级数解的收敛性: 由递推公式可得收敛半径: 所以, y0(x)、y1(x)收敛于|x|1,说明: (1)|x|=|cos|1,不存在x1的情况; (2)x=1,对应=0,=,对应极轴的正负方 向,而y0(x)、y1(x)在x=1均发散(见P397)。 (3)可以证明l阶勒让德方程不存在形如 且在x=1均有限的无穷级数解(P193); (4)自然边界条件构成的本征值问题 实际问题中要求解在一切方向保持有限,即在 x-1,1或0,上有限 物理问题要求解在x=1保持有限,而y0(x)、 y1(x)不满足该要求。,由及可见: a. l=2n(n是正
4、整数)时,y0(x)退化为多项式,有限。可取a1=0保证解y(x)有限; b. l=2n+1(n是零或正整数)时,y1(x)退化为多项式,有限。可取a0=0保证解y(x)有限; 因此,要满足上述边界条件,即x=1保持有限,必须满足:本征值是l(l+1)(l为零或正整数),相应的本征函数是l阶勒让德多项式。 通常把“解在x=1保持有限”说成是勒让德方程的自然边界条件。,勒让德方程 本征值问题 解在x=1保持有限 (自然边界条件) 本征值是l(l+1),(l为零或正整数), 相应的本征函数是l阶勒让德多项式。 习题:(P194.2) 在x0=0的邻域上求解y“-xy=0 解: p(x)=0,q(x
5、)=-x ,x0=0是常点。设,代入方程,比较系数得 由上式 (1) a2=a-1=0,(a-1=0) a5=0,., a3k+2=0, (2),(3) 故 由递推公式得:,例(P195.3): 在x0=0的邻域上求解埃尔米特(厄密)方程y“-2xy+(-1)y=0,(量子力学谐振子问题中出现)取什么数值可使级数解退化为多项式?这些多项式乘以适当的常数使最高幂项成为 (2x)n形式,叫做厄密多项式,记为Hn(x),写出前几个Hn(x)。 解: x0=0是方程的常点,设,则: 代入方程,得 推导得 ,其中,且 当=4k-3(k=1,2.)时,y0(x)退化成多项式; 当=4k-1(k=1,2.)时,y1(x)退化成多项式; 取k=1有 =4k-3=1, y0(x)=1, 记为H0(x)=(2x)0=1,=4k-1=3 ,y1(x)=x, 记为H1(x)=2y1(x)=(2x)1=2x 取k=2有 =4k-3=5,y0(x)=1-2x, 记为H2(x)=-2y0(x)=(2x)2-2 =4k-1=7 ,y1(x)=x-2x3/3, 记为H3(x)= -(22)3y1(x)=(2x)3-12x 参阅教材P409。,