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1、第二章 静电场中的导体与电介质2.1 导体与电介质的区别：（1）宏观上，它们的电导率数量级相差很大（相差 10 多个数量级，而不同导体间电导率数量级最多就相差几个数量级） 。（2）微观上导体内部存在大量的自由电子，在外电场下会发生定向移动，产生宏观上的电流而电介质内部的电子处于束缚状态，在外场下不会发生定向移动（电介质被击穿除外） 。2.2 静电场中的导体1. 导体对电场的响应：静电场中的导体，其内部的自由电子会发生定向漂移，电荷分布会发生变化，这是导体对电场的响应方式称为静电感应，导体表面会产生感应电荷，感应电荷激发的附加场会在导体内部削弱外电场直至导体内部不再有自由电子定向移动，导体内电荷
2、宏观分布不再随时间变化，这时导体处于静电平衡状态。2. 导体处于静电平衡状态的必要条件: （当导体处于静电平衡状态时，导体内部0iE不再有自由电子定向移动，导体内电荷宏观分布不再随时间变化，自然其内部电场（指外场与感应电荷产生的电场相叠加的总电场）必为 0。3. 静电平衡下导体的电学性质：（1）导体内部没有净电荷，电荷（包括感应电荷和导体本身带的电荷）只分布在导体表面。这个可以由高斯定理推得： ，S 是0iisqEdA导体内“紧贴”表面的高斯面，所以 。0iq（2）导体是等势体，导体表面是等势面。显然 ，a,b 为导体内或()baiaVdl导体表面的任意两点，只需将积分路径取在导体内部即可。（
3、3）导体表面以处附近空间的场强为： ， 为邻近场点的导体表面面元处的0En电荷密度， 为该面元的处法向。简单的证明下：以导体表面面元为中截面作一穿过导n体的高斯柱面，柱面的处底面过场点，下底面处于导体内部。由高斯定理可得：， , 分别为高斯柱面的上、下底面。因为导体表面为等120issdsEd12势面所以 ，所以 而 =0 所以 ，即 （n1sEsi0dsE0n沿导体表面面元处法线方向， 沿导体表面面元处法线指向导体内部） 。0E 0（4）导体表面的静电压强：20pn证明：任取导体表面的一个电荷元 ，设除去该电荷元外其它场源（包括外场源、导ds体表面的其它电荷元）在该电荷元处产生的电场为 ；由
4、高斯定理可算出电荷元E在导体表面外邻近点的电场强度 。而 ，所以ds 02n0n，电荷元 受到的静电力 ，所以 。02Ends0dqdFE 20dFpnsA导体所受静电力由 给出（s 是导体表面） 。spA2.3 静电平衡下的空腔导体1.空腔内没有带电体：（1）导体内表面处处没有电荷，电荷只分布在导体的外表面。在导体内作包含内表面的高斯面 S,由于 ，所以 S 内包含的净电荷为 0.这包含两种0iE情况：（）导体内表面处处没有电荷。 （）导体内表面存在等量异号电荷。这种情况下将有电场线从导体内表面一处指向导体内表面另一处，既导体内表面电势不等，这不符合导体处于静电平衡状态下是等势体这一性质，所
5、以只能有结果（I） 。（2）空腔内场强处处为 0，空腔成为等势区，与导体电势相等。假设腔内有电场线，由（1）可知电场线不能贯穿于导体内表面之间，又由于腔内无电荷所以电场线不能以腔内某点为终点或起点，这样电场线只能在腔内形成闭合曲线这与静电场线的性质不符合，所以腔内必无电场，自然空腔成为等势区，与导体电势相等。由上分析我可知：导体的外表面所包围区域场强始终为 0，不受外电场的影响。像这种导体的外表面“保护”它所包围区域不受外电场的影响的现象称为静电屏蔽。2.空腔内有带电体：（1）导体的内表面的带电量与腔内电荷等量异号。结合导体内场强为 0 与高斯定理就可得到。 （2）将内表面接地则腔内电场不会影
6、响导体的内表面以外区域。这个根据电荷守恒与高斯定理得到。2.3 静电场中的电介质上面介绍了导体响应外电场的方式（静电感应） ，电介质响应外电场的方式则为极化。构成电介质的分子分为两种：（1）无极分子，电荷中心重合 （2）有极分子，电荷中心不重1. 无极分子的位移极化：无极分子在外电场中，受到静电力的作用，电荷中心不再重合形成电偶极子，这些电偶极子取向与外电场一致。 2. 有极分子的取向极化：在无外电场情况下，有极分子的电偶极距沿各个方向的概率相同。在外电场作用下分子的电偶极距取向将发生变化，当外电场的作用和热运动的作用达到平衡时，绝大多数分子的电偶极矩不同程度和外电场一致。 由上可以看出电介质
7、中取向与外电场一致的分子的电偶极距数目可以反应电介质的极化程度。单位体积内向与外电场一致的分子偶子距数量越多则电介质极化程度就越高。由此定义：3. 极化强度矢量： （ 是 dV 内取向与外电场一致的分子电偶极距，dV 是介pPdV质里包含某点的无限小体积元。则 就为该点极化强度）P4. 极化电荷：介质中，取向与外电场一致的分子电偶极子穿出面 s 的电荷总和就是面 S 上的极化电荷。5. 极化强度与极化电荷分布的关系：设介质里的任一面元 ，设分子的电偶极距d,以 为底， 为斜高作一圆柱体，圆柱体体积记为 dV，设 dV 内取向与外电pqldsl场一致的分子电偶矩数量为 N，显然在圆柱体内的分子电
8、偶矩都穿出面元 又ds，所以 就是穿过面元 的极化电量 。在介质里任取NlPsqdV dsq一闭合曲面 S，则穿出 S 的极化电量 ,由电荷守恒（原来电介质是呈电中osqPA性）可知面内有等值异号的极化电荷 。isd6. 各项同性电介质的极化规律：电场不太强时，该电介质中的任意点的极化强度 的方P向与该电场强度 （包括外电场与极化电荷产生的附加场）的方向一致，大小与该点E的电场强度 成正比，即 其中 为该点的极化率。若电介质又是均匀的0PE则 为常数。2.4 有电介质时的高斯定理实验表明组成物质的原子中原子核与核外电子的静电作用也遵循库仑定律。因此有电介质时的静电场，可把电介质看成弥散在真空中
9、的粒子（电介质分子）团。这样高斯定理还成立只是要考虑到高斯面内的极化电荷： ，其中 q 是面 S 内的自由0sqEdA电荷， 是面 S 内的极化电荷，而 ，所以 ，令q sqPdA0()sEPdsq， 叫作电位移矢量，则有电介质时的高斯定理就可以写成： 0DEP sDA。由于真空中的极化强度 ，可看出真空中的高斯定理就是有电介质时的高斯定理的0特例。电介质的性能方程：对于各向同性的电介质， 。所以0PE，令 = ，称作电介质的相对电容率，令 ，称为00(1)DEPEr10r电介质的绝对电容率。则 ，称为电介质的性能方程。rD（一个重要结论）各向同性的均匀介质中内部的极化电荷体密度 总等于自由电
10、荷休密度 的 倍01()r证明： 0 011()()()()rrrPDEED 可看出当各向同性的均匀介质内没有自由电荷时，电介质内部不会出现极化电荷，此时极化电荷只分布在不同介质的分界面上。2.5 静电场的边值关系设两电介质电容率分别为 、 ；S 是两电介质的交界面，在 S 上取一面元12（ 是 的法向由介质 2 指向介质 1） ，其中 ds 为无穷小量。以 为主截面作一圆dsn ds柱面，圆柱面的高为高阶无穷小量，则侧面的电位移通量是可略去的。由有介质时的高斯定理得： ，而 ，其中 ， 为圆柱面两底0sDdqA12sdDs12面， ， 。所以 。设交界面的12120dsDq自由电荷面密度为
11、，则 。这样如果交界面上自由电荷面012120()n密度 ，则说明电位移矢量 在交界面处法向不连续，若交界面上自由电荷面密度0D，则 在交界面处法向连续。对于电场 我可以用类似的方法分析，但由于交界DE面存在极化电荷，所以无论交界面上是否有自由电荷， 在交界面处法向都不连续。有电质下静电场的环路定理： 仍是成立的，在 S 上任取一线元 （ 为0LEdsAdl其单位方向矢量） ，以 （无穷小）所在直线为对称轴作一以 为长的矩形回路，回路dl dl穿过面 S，矩形回路的宽取为高阶无穷小，这样电场 在沿回路的宽上的路径各分可视为0 即 ，其中 ,所以 。设矩形回路12LEslA12ldl12()0E
12、l所在平面的法向为 ，面 S 上线元 处的法向为 。由几何关系可得 ，其0nln0dlkn中 为常数。所以 ，而由k1212012()()()Edk是由我们所取的矩形回路取向有关， 是任意的。所以 ，0n0 12ttEE即在交界面处电场切向是连续的。2.7 电容器的电容1. 孤立导体的电容：孤立导体在它自己激发的电场中具有一定的电势，导体的电势与它的带电量成正比。定义：电容 ；表示每变化单位电势，导体带电量变化了多少。qCV电容是一个与电量 q 无关而仅与导体几何参数有关的常量。电容的单位是 F，1F=1C/V ，。61210FpF2.电容器与其电容:电势差与电量成正比且不受其它导体影响的两个
13、导体组成的系统称为电容器，记 。ABqCV3.几个常见的电容器及其电容（1）平行板电容器：设两极板面积为 S，极板间距为 d。 ，q、-q 分别是两极板SA、B 上的带电量，设这两极板的电荷面密度为分别为 ， 。两极板间填充着电容率为 的电介质，我们计算下它的电容。由定义我们知道 ，由此我 BAACVEdl们要先来分析极板间的电场分布。我们以 A 极板上的一面元 ds 为中截面作一高斯柱面，柱面的上底面处于极板内，下底面处于极板间的电介质中，由于极板处于静电平衡状态所以极板内的电位移矢量为 0，而电介质内电位移矢量在高斯柱面的侧面是没有电通量的，所以 ， 为下底面的面元矢量，方向由 A 指向
14、B（要注意到1sDdsdA1s与 是同向的） 。所以 ，由电介质的性能方程 ， ， 为 A 极1 DEn板法向由 A 指向 B。所以 。BAqSCEdl（2）圆柱形电容器电容： 2lnBACR（3）球形电容器电容： 4BA计算的思路是相同的，这里就直接给出计算结果。4.电容的联结（1）电容的并联设 n 个电容并联起来，其电容与极板电量分别为 、 ,加在电容的两端电压为iCiq（i=1,2n ） 。现计算其等效电容 C。因为各电容并联所以等效电容两端的电压为iU，此时等效电容的带电量为 ，所以1niq1niiqU（2）电容的串联现将这 n 个电容串联起来，等效电容的两端电压为 ，而由电荷守恒可知
15、各电容1nii带电量相同，相邻两电容的相邻两极板带等量异号电荷，即等效电容的带电量为 q。所以11niniiiUCq5电容器储能电容器的极板一旦带电，它就储存了能量，设电容器的电容为 C，充电完毕完极板带电量为 Q，极板两端电压为 U，电容器所储存的电势能是来源于充电过程电源克服极板上的电荷产生的电场把自由电荷从电容器的一个极板迁移到另一个极板，设充电某一瞬时，极板上的电量为 q，此时两极板间的电势差为 ，电源把电量为dq 的电子从正极板搬运qC至负极板，电源作的元功 ，电容器储存的电势能增加了 ，从充dAqdWC电开始至充电结束电容器储存的电势能 。2201QqWdU7. 电场能量密度电磁理论和实验证明：电能不是分布在电荷上，而分布在电场中。电容器中所储存的电势能实际就是极板上电荷在两极板之间所激发的电场具有的能量。以平行板电容器为例推导电场中的能量密度公式，设平行板两极板面积为 S，两极板之间的距离为 d，极板间的均匀电介质的电容率为 ，我们知道电容器所储存的电势能，V 是两极板之间的
