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1、第十八届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 第 1 页第十八届全国中学生物理竞赛复赛试题全卷共六题，总分为 140 分一、 （22 分）有一放在空气中的玻璃棒，折射率 ，中心轴线长 ，一端是半径为1.5n45cmL的凸球面10cmR1要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统） ，取中心轴线为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？2对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光柬与玻璃棒的主光轴成小角度 时，从1棒射出的平行光束与主光轴成小角度，求 （此比值等于此玻璃棒望远系统的视角放大率） 21/二、(22 分) 正确使用压力锅的方法是：将
2、己盖好密封锅盖的压力锅(如图复 18-2-1)加热，当锅内水沸腾时再加盖压力阀 S，此时可以认为锅内只有水的饱和蒸气，空气己全部排除然后继续加热，直到压力阀被锅内的水蒸气顶起时，锅内即已达到预期温度(即设计时希望达到的温度) ，现有一压力锅，在海平面处加热能达到的预期温度为 120某人在海拔 5000m 的高山上使用此压力锅，锅内有足量的水1若不加盖压力阀，锅内水的温度最高可达多少？2若按正确方法使用压力锅，锅内水的温度最高可达多少？3若未按正确方法使用压力锅，即盖好密封锅盖一段时间后，在点火前就加上压力阀。此时水温为27，那么加热到压力阀刚被顶起时，锅内水的温度是多少？若继续加热，锅内水的温
3、度最高可达多少？假设空气不溶于水已知：水的饱和蒸气压 与温度w()pt的关系图线如图t复 18-2-2 所示大气压强与高度 的关()z系的简化图线如图复 18-2-3 所示时27t； 处3w(27).610Pap27t0z5()1.30Pap三、（22 分）有两个处于基态的氢原子 、 ， 静止， 以速度 与之发生碰撞己知：碰撞AB0v后二者的速度 和 在一条直线上，碰撞过程中部分动能有可能被某一氢原子吸收。从而该原子AvB由基态跃迁到激发态，然后，此原子向低能级态跃迁，并发出光子如欲碰后发出一个光子，试论证：速度 至少需要多大（以 表示）？己知电子电量为 ，质子质量为0m/s 19.62Ce。
4、电子质量为 氢原子的基态能量为 271.63kgpm 310.9kge 3.58eVE2001 年第十八届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 第 2 页四、 （22 分）如图复 18-4 所示，均匀磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度随时间 变化， （ 为大Bt0Bkt于 0 的常数） 现有两个完全相同的均匀金属圆环相互交叠并固定在图中所示位置，环面处于图中纸面内。圆环的半径为 ，电阻为 ，相交点的电接触良Rr好两个环的接触点 与 间的劣弧AC对圆心 的张角为 60。求 时，O0t每个环所受的均匀磁场的作用力，不考虑感应电流之间的作用五、 （25 分）如图复 18-5 所示，一薄壁导体球壳（以下简
5、称为球壳）的球心在 点球壳通过一细导线与端电O压 的电池的正极相连，电池负极接地在球壳90VU外 点有一电量为 的点电荷， 点有一A910Cq B电量为 的点电荷。 之间的距离926 A， 之间的距离 现设想球壳的1cmdB24cmd半径从 开始缓慢地增大到 50 ，问：在此过a程中的不同阶段，大地流向球壳的电量各是多少？己知静电力恒量 假设点电荷能穿过球壳壁进入导体球壳内而不与导体壁接触。9210NCk六、 （27 分）一玩具“火箭”由上下两部分和一短而硬（即劲度系数很大）的轻质弹簧构成上部分 的质量为 ，下部分 的质量为 ，弹簧夹在 与 之间，与二者接触而不固连让1G1m2G2m1G2、
6、压紧弹簧，并将它们锁定，此时弹簧的弹性势能为己知的定值 通过遥控可解除锁定，2 0E让弹簧恢复至原长并释放其弹性势能，设这释放过程的时间极短第一种方案是让玩具位于一枯井的井口处并处于静止状态时解除锁定，从而使上部分 升空第二种方案是让玩具在井口处1从静止开始自由下落，撞击井底（井足够深）后以原速率反弹，反弹后当玩具垂直向上运动到离井口深度为某值 的时刻解除锁定h1在第一种方案中，玩具的上部分 升空到达的最大高度（从井口算起）为多少？其能量1G是从何种形式的能量转化来的？2在第二种方案中，玩具的上部分 升空可能达到的最大高度（亦从井口算起）为多少？1并定量地讨论其能量可能是从何种形式的能量转化来
7、的图复 18-4第十八届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 第 3 页第十八届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答一、参考解答1. 对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图复解 18-1-1 所示，图中 为左端球面的球心1C由 正弦定理、 折射定律 和小角度 近似得（1）111sin()(/)AFRririn即 （2）1光线 射到另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心 一1P 2C定在端面顶点 的左方， 等于球面的半径 ，如图复解 18-1-1B2C2R仿照上面
8、对左端球面上折射的关系可得（3）12FRn又有 （4）1LA由（2） 、 （3） 、 （4）式并代入数值可得（5）25cm即右端为半径等于 5 的向外凸的球面2. 设从无限远处物点射入的平行光线用、表示，令过 ， 过 ，如图复解 18-1-21CA所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点 ，即为左端球面对此无限远物点成的像点现M在求 点的位置。在 中M1ACM（6）11sin()siin()RAMC又 （7）1sin已知 ， 均为小角度，则有（8）11()n与（2）式比较可知， ，即 位于过 垂直于主光轴的平面上上面已知，玻璃棒为1AMF1F天文望远系统，则凡是过 点的傍轴光线从棒的右端面射
9、出时都将是相互平行的光线容易看出，从 射出 的光线将沿原方向射出，这也就是过 点的任意光线（包括光线、）从玻璃棒2CM射出的平行光线的方向。此方向与主光轴的夹角即为 ，由图复 18-1-2 可得2（9）1122RFB由（2） 、 （3）式可得 112A则（10）21R二、参考解答1已知在海平面处，大气压强 如图复解 18-2-1，在 处，大3(0)1.Pap50mz气压强为 。 （1）3(50)1Pap第十八届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 第 4 页此处水沸腾时的饱和蒸气压 应等于此值由图复解 18-2-2 可知，对应的温度即沸点为wp（2）182Ct达到此温度时锅内水开始沸腾，温度不再升
10、高，故在 5000高山上，若不加盖压力锅，锅内温度最高可达 822由图复解 18-2-2 可知，在 时，水的饱和蒸气压 ，而在海120t 3w(10)98Pap平面处，大气压强 3(0)1Pap可见压力阀的附加压强为wS33(120)(98.1pp36.70Pa（3）在 5000高山上，大气压强与压力阀的附加压强之和为（4）333S(50)96.7105149.70Pap若在 时阀被顶起，则此时的 应等于 ，即2t wp（5）w由图复解 18-2-2 可知 （6）21t此时锅内水开始沸腾，温度不再升高，故按正确方法使用此压力锅，在 5000高山上锅内水的温度最高可达 1123在未按正确方法使用
11、压力锅时，锅内有空气，设加压力阀时，内部水蒸汽已饱和由图复解 18-2-2 可知，在 时，题中已给出水的饱和蒸气压 ，这时锅内空气27t 3w(27).610Pap的压强（用 表示）为aw33()(50)(27)1.6Papp（7）49.当温度升高时，锅内空气的压强也随之升高，设在温度为 时，锅内空气压强为 ，则t a()pt有第十八届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 第 5 页aa()(27)273pt（8）3164.5.01)Pat若在 时压力阀刚好开始被顶起，则有t（9）w2()ptp由此得（10）3a()10564.7)Pattt 画出函数 的图线，a()p取 30,105Pata1,
12、()8.6p由此二点便可在图复解 18-2-2 上画出此直线，此直线与图复解 18-2-2 中的 曲线的交点为wpt()， 即为所求的满足（10）式的点，由图可看出与 点对应的温度为A A （11）97t即在压力阀刚开始被顶起时，锅内水的温度是 97，若继续加热，压力阀被顶起后，锅内空气随水蒸汽一起被排出，最终空气排净，锅内水温仍可达 112三、参考解答为使氢原子从基态跃迁到激发态，需要能量最小的激发态是 的第一激发态已知氢原子2n的能量与其主量子数的平方成反比（1）21nEK又知基态（ ）的能量为13.58 ，即eV123.58所以 .的第一激发态的能量为2n（2）213.58.39e4EK
13、为使基态的氢原子激发到第一激发态所需能量为（3）1(.)V=10.内这就是氢原子从第一激发态跃迁到基态时发出的光子的能量，即（4）9180.9e.62J.620Jh内 式中 为光子的频率，从开始碰到发射出光子，根据动量和能量守恒定律有（5）0BAmvv光 子 的 动 量（6）221()h光子的动量 。由（6）式可推得 ，因为 ，所以 ，故（5）式hpc 02mv0vc0hmvc中光子的动量与 相比较可忽略不计， （5）式变为0v（7）()BBAAm符合（6） 、 （7）两式的 的最小值可推求如下：由（6）式及（7）式可推得22001()Avvmh20Amvh经配方得 20014v（8）2214
14、Avh由（8）式可看出，当 时， 达到最小值 ，此时0Av0minv（9）Bv0min2h（10）代入有关数据，得（11）4i6.510/sv答： 原子的速度至少应为 B四、参考解答1求网络各支路的电流因磁感应强度大小随时间减少，考虑到电路的对称性，可设两环各支路的感应电流 、 的方向如图复解1I218-4-1 所示，对左环电路 ，ADCF有关系12Ir因第十八届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 第 6 页， ，56CFArDCr2KR故（1） 212KRI因回路 所围的面积为E3故对该回路有（2）23216rKRI解得（3）22()IKr代入（1）式，得（4）21(03)RI2求每个圆环所受的力先求左环所受的力，如图复解 18-4-2 所示，将圆环分割成很多小圆弧，由左手定则可知，每段圆弧所受的力的方向均为径向，根据对称性分析，因圆弧 与圆弧 中的电流方向相反，PMACNQ所以在磁场中受的安培力相互抵消，而弧 与弧 的电流相对 轴上下是对称的，因而每段载PQCx流导体所受的安培力在 方向的合力为零，以载流导体弧 上的线段 为例，安培力 为径y lF向，其 分量的大小表示为x（5）1cosxFIB
