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1、第四篇 高等动力学,第11章 达朗伯原理将非自由质点系的动力学方程用静力学平衡方程的形式表述。将事实上的动力学问题转化为形式上的静力学平衡问题，“动静法”。第12章 虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡问题。对于只有理想约束的系统，由于未知约束反力不作功，应用虚位移原理求解比列平衡方程更方便。属于分析静力学。第13章 机械振动基础物体在其稳定平衡位置附近所作的往复运动，是物体运动的一种特殊形式的，其位移、速度和加速度都是随时间往复变化的。,第11章 达朗伯原理,达朗伯原理由法国科学家达朗伯(J. le Rond DAlembert 17171783)在其著作动力学专论中提出。11-1 惯性力1
2、1-2 达朗伯原理11-3 惯性力系的简化11-4 达朗伯原理的应用,11-1 惯性力,摆锤 M 受力如图，,其加速度为,令 R=P+T 则 ma = R = P + T,摆锤M在受到P、T的同时，将给施力体(地心和绳子)一对应的反作用力，反作用力的合力为R=R = ma此力是摆锤被迫作非惯性运动时产生的“反作用力”，称为惯性力。,圆锥摆摆长为l，摆锤M的质量m，在水平面内作匀速圆周运动，速度为v，锥摆的顶角为2。,11-1 惯性力,结论:质点在作非惯性运动的任一瞬时，对于施力于它的物体会作用一个惯性力，该力的大小等于其质量与加速度的乘积，方向与其加速度方向相反。,若用Fg表示惯性力，则有Fg
3、 = ma说明: 此力是真实的力！ 此力作用于给质点施力的物体上！ 此力又称为牛顿惯性力！,11-2 达朗伯原理,一、质点的达朗伯原理,设质点M的质量为m，受力有主动力F、约束反力FN，加速度为a，则根据牛顿第二定律，有,ma = F+FN,结论,在质点运动的任意瞬时，如果在其上假想地加上一惯性力Fg，则此力与主动力、约束反力在形式上组成一平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。,形式上的平衡方程,MO(Fi) + MO( FNi ) +MO( Fgi ) =0,对整个质点系来说，在运动的任意瞬时，虚加于质点系的各质点的惯性力与作用于该质点系的主动力、约束反力将组成形式上的平衡力系。,11-2 达朗
4、伯原理,二、质点系的达朗伯原理设质点系由n个质点组成，第i个质点质量为mi，受力有主动力Fi，约束反力FNi，加速度为ai，假想地加上其惯性力Fgi=miai，则根据质点的达朗伯原理，Fi、FNi与Fgi应组成形式上的平衡力系(零力系)，即,Fi + FNi +Fgi=0 （i =1，2，n）,Fi + FNi +Fgi=0,质点系的达朗伯原理,即,11-2 达朗伯原理,如第i个质点受力,质点系达朗伯原理的另一种形式：将质点系所受的力按内力、外力来分，,Fi (e) + Fgi=0,MO(Fi(e) +MO(Fgi) =0,所以对整个质点系来说，在运动的任意瞬时，虚加于质点系的各质点的惯性力与
5、作用于该质点系的外力组成形式上的平衡力系。,由于质点系的内力总是成对出现，所以，内力系的主矢及对任意点的主矩恒为零，即,质点系的达朗伯原理,即,外力系主矢,惯性力系主矢,外力系主矩,惯性力系主矩,11-2 达朗伯原理,应用质点系达朗伯原理说明:(1) 在解决质点系动力学的两类基本问题上，达朗伯原理均适用。若已知质点系的运动，需要求解该系统的约束反力或外力时，应用达朗伯原理尤其方便。(2) 应用达朗伯原理的关键是解决质点系的惯性力系的简化问题。,例11-1 图示飞轮质量为m，平均半径r，以匀角速度绕其中心轴转动。设轮缘较薄，质量均匀分布，轮辐的质量可以忽略。若不考虑重力的影响，求轮缘各横截面的张
6、力。,求飞轮轮缘横截面的张力，可考虑用假想截面截取部分轮缘，则这部分轮缘在截面的张力及虚加的惯性力作用下处于“平衡”。,分析:,TA、TB与惯性力Fgi组成形式上的平衡力系，,解：,截面A、B处的张力TA、TB为外力，,用假想截面A、B 截取四分之一轮缘为研究对象。,将轮缘分成无数微元弧段，弧长为,根据质点系达朗伯原理，,列出“平衡方程”，得,已知飞轮m,r, 求轮缘各横截面的张力。,ds = r d，,对每段虚加惯性力Fgi,X = 0，,Y = 0，,例11-1,可知：,飞轮匀速转动时，轮缘各截面的张力相等，且正比于角速度的平方，与其平均半径成正比。,若飞轮轮缘的横截面面积为A，则飞轮轮缘
7、横截面的平均拉应力为,已求得飞轮截面A、B处的张力为,例11-1,11-3 惯性力系的简化,一、刚体平动时惯性力系的简化,在任一瞬时，平动刚体内各点的加速度相等，设刚体质心C的加速度为aC，则,在各质点上虚加对应的惯性力,这些惯性力组成一同向平行力系，可简化为通过质心的合力：,平动刚体的惯性力系可简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向相反。,结论,例11-2 已知边长b=100mm的正方形均质板的质量为40kg，在铅直面内用三根软绳拉住。求(1) 当软绳FG被剪断瞬时板的加速度及AD、 BE两 绳的张力。(2) 当AD、BE两绳位于铅直位置时，板的加速
8、度 和两绳的张力。,已知：b=100mm，m=40kg求(1) 剪断绳FG瞬时绳AD、BE的张力及板a。,解：(1)绳FG被剪断后，板在其自身平面内作曲线平动，各点的速度、加速度均相同。,剪断绳FG瞬时，vA= 0 aA = aA = aC,对板虚加惯性力，Fg = maC则根据达朗伯原理，有,解得 a = 4.9 m/s2 FA = 72 N FB = 268 N,已知：边长b=100mm，m=40kg求(2)当AD、BE铅直时板a及两绳的张力。,(2)当AD、BE铅直时, 板受力如图。 设板质心的加速度如图 虚加板的惯性力系，且 Fgn=maCn ，Fg =maC 则根据达朗伯原理，有,根
9、据动能定理，有,需补充方程: 设绳铅直时，质心速度为vC，且,只研究刚体具有与转轴垂直的质量对称面设刚体具有质量对称面S，且S与转轴z垂直并交于O点，C为刚体的质心。选取与z轴平行的细长圆柱体为单元体，刚体转动时，每根单元体均作圆周平动。,二、刚体定轴转动时惯性力系的简化,设第i根单元体的质心Ci在对称面上，至转轴的距离为ri。根据平动刚体惯性力系的简化，该单元体的惯性力通过Ci点，且Fgi = Fgi + FginFgi = mi ri Fgin = miri2对于所有单元体(i=1,2,n)，其惯性力也在对称面S内。所以，该刚体的惯性力系首先可以简化为在质量对称面S内的平面惯性力系。,二、
10、刚体定轴转动时惯性力系的简化,由于miai=maC惯性力系的主矢：,惯性力系的主矩MgO=MO(Fgi) =MO(Fgi) =(Fgiri)=miri2 MgO=JO ,JO,再将平面惯性力系向O点简化，惯性力系的主矢为Fg=Fgi =(miai) =miai,二、刚体定轴转动时惯性力系的简化,刚体定轴转动惯性力系简化结果：当刚体有对称平面且绕垂直于对称面定轴转动时，惯性力系向转轴与对称面交点O简化，得到对称面内一个力和一个力偶；该力作用在简化中心O上，为惯性力系的主矢，方向与质心的加速度方向相反，大小等于刚体质量与质心加速度乘积；该力偶矩等于刚体相对于转轴的惯性力矩，转向与刚体的角加速度转向
11、相反，大小等于刚体对转轴转动惯量与角加速度乘积。,二、刚体定轴转动时惯性力系的简化,若将上述平面惯性力系向质心C简化，将会出现什么结果?,Fg= maC,= Fg +Fgn,MgO =JO ,MgC = Fg OC JO ,= maC OC JO ,= (m OC 2 JO) , MgC= JC , JO = JC+m OC 2,由此可知，选择不同的简化中心，得到的力总是作用在简化中心，大小和方向是不变的；而惯性力矩的大小则是变化的。,例11-3 简支梁AB重W，轮盘重Q，轮盘半径为r，对质心的转动惯量为J，重物重P。在轮盘的轴承上装有电机，通电时的驱动力矩为M。求重物提升的加速度a及支座A、
12、B的反力。,加惯性力Fg，惯性力矩Mg,(1) 研究轮盘及重物系统， 进行受力分析。,根据质系达朗伯原理,有,解得,解：,例11-3,(2)研究整体，进行受力分析。,解得,加惯性力系，系统“平衡”,有,已求得,例11-3,三、刚体平面运动时惯性力系的简化,只研究具有质量对称面刚体且运动时质心所在平面与质量对称面重合。在运动的任意瞬时，虚加于刚体各质点上的惯性力系首先可简化为对称面内的平面惯性力系；然后以质心为简化中心，导出惯性力系的主矢和主矩。刚体的平面运动可分解为随基点的平动和相对基点的转动。,选取质心为基点，所以刚体的平面运动可分解为随质心的平动和相对质心的转动。,简化到对称面的惯性力系分
13、为两部分：,刚体随质心平动的惯性力系简化为通过质心的一个力；刚体绕质心转动的惯性力系简化为一个力偶。,Fg =maC,MgC= JC ,例11-4 均质圆轮半径为r，质量为m，在重力作用下沿倾角为的斜面向下作纯滚动，求圆轮轮心的加速度及斜面的摩擦力。,2）加惯性力,解：,分析运动：,3）用达朗伯原理建立“平衡”方程,惯性力偶,分析受力：,斜面反力FN、FS；,重力mg；,角加速度,1）研究圆盘，,解得,质心加速度 ，,例11-4,已知：轮m, r, 纯滚, 求：轮心加速度、斜面的摩擦力。,例11-5 均质鼓轮铰接在悬臂梁AB的B端，在常力矩M的作用下牵引均质轮C在AB上纯滚动。已知鼓轮、圆轮的
14、质量、半径均为m、r，悬臂梁的长度为l，单位长度自重为q。求圆轮中心C运动到梁的中间位置时，固定端A的约束反力。,已知：两轮m，r；梁q，l；力矩M，求：图示位置A端的约束反力。,求轮B、C的角加速度及轮心的加速度,解：,轮B、C的半径、质量均相等，轮C纯滚动, B = C = ,且 aC = rC ， aB = 0,对系统虚加惯性力系，,FgC = mr,FgB = 0,其大小分别为,则系统在主动力、约束反力与惯性力系在形式上处于“平衡”，为平面一般力系问题！,例11-5,再取鼓轮B为研究对象，有,MB(F)=0，,MMgBTr=0,取鼓轮C为研究对象，有,MD(F)=0，,TrMgCFgC
15、r=0,FgC = m r ,联立可得,例11-5,D,求固定端A的约束反力,取整个系统为研究对象，有,X = 0，,Y = 0，,MA( F ) = 0，,FAy2mg ql =0，,FAy=2mg +ql,解得,FAx FgC = 0，,例11-5,11-4 达朗伯原理的应用, 定轴转动刚体的轴承动反力一、基本概念1. 转子：旋转机械的转动部分。2. 偏心与偏角: 由于材质(质量)不够均匀，制造安装不够准确(既有公差，也有误差)：偏心：转子的质心未必落在转轴上。偏角：转子的质量对称面未必与转轴垂直。转子运转时，这种偏心、偏角误差将产生相应的惯性力，引起零件损坏或剧烈的振动。, 定轴转动刚体的轴承动反力一、基本概念3. 静压力与动压力：静压力：转子处于静止状态时作用于轴承上的力。动压力：转子处于运转状态时作用于轴承上的力。附加动压力：动压力与静压力二者之差，即转子因处于运动状态而附加于轴承的压力。在考虑轴承对转子的作用时，则分别称为静反力、动反力和附加动反力。在高速转子中，轴承的附加动反力远大于静反力，如何有效地抑制、消除转动机械中的附加动反力是十分重要的问题。,11-4 达朗伯原理的应用,二、定轴转动刚体的轴承动反力1. 无偏心和偏角两小球质量均为m，以长为2l的细杆相连，绕z轴匀速转动，角速度为。若两球的中心连线z轴，且质心C在z轴上。求轴承A、B反力。,
