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1、描述构件内 任一点应力情况 的无穷小单元体，称为该点的 应力单元体 ；1、应力单元体和应力状态的概念目的： 通过应力状态分析求出 危险点处 的 主截面 、主应力 ，从而更好地进行强度分析。应力状态的概念 ： 受力构件某点在 不同截面上 的工作应力情况；例、 画出下列图中的 A、 B、 C点的应力单元体。PPAAxMPxyzBCxBxzCxy简单应力状态对单轴或纯剪切的 简单应力状态 ，可由实验测得的相应的 材料许用应力 来建立强度条件。2、强度理论然而当一点处的应力状态较为复杂时，应力的组合形式有无限多的可能性，不可能由实验的方法来确定每一应力组合下材料的极限应力，因此需确定引起材料破坏的 共
2、同因素 。关于材料破坏的 共同因素 （即破坏规律）的假说，称为 强度理论 。材料破坏的 共同因素 如何分析确定？ 1、斜截面上的应力已知平面应力一般状态：xyzabcdxyxyyxy2 平面应力状态分析 主应力截取斜截面体efndabcxyxxxyyxyxyxyxyxyxy= 0n( )()()0cossindsin)sind(sincosdcoscosdd=+AAAAAxyyxyx根据斜截面体的平衡条件，所有力在法线 n和切线 t方向的投影和为零：ntydAsinbfdAsindAdAcosedAxdAcos= 0t0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(=+dAd
3、AdAdAdAxyyxyxxyxy求解得到 斜截面上 的正应力和切应力分别为：2sin2cos22xyyxyx+=2cos2sin2xyyx+=斜截面应力公式nxyxxxyyyxyxyxy解： C点应力状态右图所示，其正应力和切应力为：MPa7.6310041050023=AFx例 1 图示圆轴中，已知：圆轴直径 d=100mm，轴向拉力 F=500kN，外力矩 Me=7kNm。求 C点 =30截面上的应力。Cxxyxy(a)xTFTCF( ) ( )MPa9.1660sin60cos202030=+=oooxyxxMPa4.452cos2sin2030=+=xyxo图示斜截面上应力分量为：M
4、Pa7.351001610736Pe=WMxyCxxyxy30n-30-302、应力圆已知斜截面应力公式：2sin2cos22xyyxyx=+2cos2sin2xyyx+=两式两边平方后再求和可得：222222xyyxyx+=+单元体 斜截面上应力 （ ， ）和 应力圆各点 的坐标（ ， ）一一对应，因此可通过确定应力圆上相应点的坐标来求解斜截面上应力（ ， ）。OC2yx +) ,(222xyyx+222222xyyxyx+=+图解法 以 C为圆心，线段 CD1或 CD2为半径作圆，即为应力圆。 连接 D1、 D2两点，线段 D1D2与 轴交于 C点。( )xxD ,1( )yyD ,2C应
5、力圆作图步骤 :nxyxxxyyyxyxyxy基准面 从 D1点按斜截面角 的转向转动 2得到 E点，该点的坐标值即为斜截面上的应力分量值。nxyxxxyyyxyxyxy基准面OC FA1B1B2A2D1D2Exyyx202基准面应力圆上的 经线 与单元体 截面 一一对应！解：按一定比例画出应力圆。0MPa7.63 =x0=yMPa7.35=yx例2 用 图解法 求图示 =30斜截面上的应力值。因为图示应力状态有：x3035.7MPa63.7MPayn按一定比例，作出应力圆，并找到斜截面对应的点，量取其坐标可得：MPa1730=oMPa4630=o( )7.357.63 ，xD( )7.35
6、0，yD则 x、 y截面在应力圆上两点为：EDy(0, 35.7)Dx(63.7,-35.7)60-30(-30， )20MPax3035.7MPa63.7MPayn基准面基准面3、主平面、主应力定义：若单元体某截面上 没有切应力 ，则称该截面为 主平面 。主平面上的正应力称为 主应力 。nxyxxxyyyxyxyxy基准面OC ”FA1B1B2A2D1D2Exyyx 202基准面由斜截面上的应力公式2sin2cos22xyyxyx+=2cos2sin2xyyx+=可推导出主平面和主应力2222xyyxyx+=yxxy2arctan210时当0yxyxx=22tan02222xyxyx+=两个
7、主应力值为：主平面位置：注： 总与 xy的汇交方向一致（ 有双解 ）例 3 求图 a所示应力状态的主应力及方向。MPa100=xMPa40=xyMPa30=y( )40,100 xD( )40,30yD解： 1、图解法 ：因为：所以：按一定比例作出应力圆（图 b）y30MPa100MPa40MPax(a)DxDyA3A120(b)MPa403=MPa1101= 02=163020o=8150o=由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大小关系可得：由此可得：主应力单元体以及主平面的方位如图 c所示：400110MPa30MPa100MPa40MPa2、解析法 ：40MPa-MPa1102222=+
8、=xyyxyx( )()1383010040222tan0=yxxy163020o=0 =8150o=解得：400110MPa30MPa100MPa40MPa 总与 xy的汇交方向一致y30MPa100MPa40MPax例 4 求图示应力状态的主应力及方向。MPa20=xMPa20=xyMPa30=y解：y30MPa20MPa20MPaxMPaxyyxyx4155)2(222=+= 0 =MPaMPa 02.27,0,02.37321= 54302020222tan =yxxy= 33.109,33.190注意主应力 对应位置 ！习题课 平面应力状态分析3 应力与应变之间的关系1、各向同性材料
9、的广义胡克定律P 时，Ex =Ey =Ez =2）纯剪应力状态：Gxxy =P 1）单向应力状态：横向线应变：时，xxy3）空间应力状态：对图示空间应力状态：; , ,zyx正负号规定： 正应力分量同前，拉为正；切应力分量规定，正面（外法线与坐标轴指向一致）上切应力与坐标轴正向为正。六个应力分量，zxyzxy , ,dxdydzxyxzxyxyyzxyzzxxyxxzzyzzxyxyyz对应的六个应变分量，zxyzxyzyx ,对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下 ，正应力只引起线应变，切应力只引起切应变，应力分量和应变分量的关系可由叠加原理求得：三个方向的线应变为：( ) yxzzE +=
10、1( ) zyxxE +=1() zxyyE +=1切应变分量与切应力的关系：Gxyxy =Gyzyz =Gzxzx =上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性和小变形条件下各向同性材料的 广义胡克定律 。对 平面应力状态： z=0， xz=0， yz=0，有：( )yxzE +=( )yxxE =1( )xyyE =1xyxyG1=对于 主应力单元体 ，其 广义胡克定律 为：()()()+=+=+=213331223211111EEE()()()+=21312221111EEE二向应力状态：,03=设有即使 3 =0，但3 0()+=12EG各向同性材料：练习题：图示悬臂梁，已知中性层 A点
11、沿 45o线应变 , 弹性模量 E、 横向变形 , 截面尺寸 b、 h。求 F=? F hL b VV=每单位体积的体积改变，称为体积应变，即：zyxV ddd=( ) ( ) ( )()zyxzyxVddd1d1d1d1321321+=+=所以：()()32132121 +=+=E2、各向同性材料的体应变对图示主单元体，有：而变形后单元体体积为：321dxdzdy可见，任一点处的体积应变与三主应力之和成正比。对平面纯剪应力状态：0231= ；xy因此：()021321=+= E即：切应力不引起 各向同性 材料的体积改变。对泊松比 =0.5的特殊材料，其体积应变为零。4 空间应力状态下的应变能
12、密度在线弹性范围和小变形条 件下，应变能与加载顺序无关，只取决于外力(变形)的最终值。VuddU=单位体积的应变能，称为应变能密度，即：1、单向应力状态dzdydx 2222121ddUEEVu =()()()()()()()zyxzyxyxxzyddd21ddd21ddzd21ddd21dU332211332211+=+=2、三向应力状态比例加载： 图示主单元体中，各面上的应力按同一比例增加直至最终值。dzdydx213此时，对应的应变能：()33221121ddU+=Vu()()()+=+=+=213331223211111EEE() 313221232221221+=Eu则应变能密度为：zyxV dddd =而主单元体体积为：()32131 +=m3、形状改变比能一般情况，单元体有体积改变，也有形状改变。1=+主单元体分解为图示两种单元体的叠加，有23(a)mmm(b)2m=21m=13m=3(c)为平均应力则体积不变，仅发生形状改变。0321=+在 m作用下，图 b无形状改变；而对 图 c，由于()mmmmmmmEE211321=+=mmmmmmVu321212121 +=( )()232121621221323
