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1、描述构件内 任一点应力情况 的无穷小单元体,称为该点的 应力单元体 ;1、应力单元体和应力状态的概念目的: 通过应力状态分析求出 危险点处 的 主截面 、主应力 ,从而更好地进行强度分析。应力状态的概念 : 受力构件某点在 不同截面上 的工作应力情况;例、 画出下列图中的 A、 B、 C点的应力单元体。PPAAxMPxyzBCxBxzCxy简单应力状态对单轴或纯剪切的 简单应力状态 ,可由实验测得的相应的 材料许用应力 来建立强度条件。2、强度理论然而当一点处的应力状态较为复杂时,应力的组合形式有无限多的可能性,不可能由实验的方法来确定每一应力组合下材料的极限应力,因此需确定引起材料破坏的 共
2、同因素 。关于材料破坏的 共同因素 (即破坏规律)的假说,称为 强度理论 。材料破坏的 共同因素 如何分析确定? 1、斜截面上的应力已知平面应力一般状态:xyzabcdxyxyyxy2 平面应力状态分析 主应力截取斜截面体efndabcxyxxxyyxyxyxyxyxyxy= 0n( )()()0cossindsin)sind(sincosdcoscosdd=+AAAAAxyyxyx根据斜截面体的平衡条件,所有力在法线 n和切线 t方向的投影和为零:ntydAsinbfdAsindAdAcosedAxdAcos= 0t0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(=+dAd
3、AdAdAdAxyyxyxxyxy求解得到 斜截面上 的正应力和切应力分别为:2sin2cos22xyyxyx+=2cos2sin2xyyx+=斜截面应力公式nxyxxxyyyxyxyxy解: C点应力状态右图所示,其正应力和切应力为:MPa7.6310041050023=AFx例 1 图示圆轴中,已知:圆轴直径 d=100mm,轴向拉力 F=500kN,外力矩 Me=7kNm。求 C点 =30截面上的应力。Cxxyxy(a)xTFTCF( ) ( )MPa9.1660sin60cos202030=+=oooxyxxMPa4.452cos2sin2030=+=xyxo图示斜截面上应力分量为:M
4、Pa7.351001610736Pe=WMxyCxxyxy30n-30-302、应力圆已知斜截面应力公式:2sin2cos22xyyxyx=+2cos2sin2xyyx+=两式两边平方后再求和可得:222222xyyxyx+=+单元体 斜截面上应力 ( , )和 应力圆各点 的坐标( , )一一对应,因此可通过确定应力圆上相应点的坐标来求解斜截面上应力( , )。OC2yx +) ,(222xyyx+222222xyyxyx+=+图解法 以 C为圆心,线段 CD1或 CD2为半径作圆,即为应力圆。 连接 D1、 D2两点,线段 D1D2与 轴交于 C点。( )xxD ,1( )yyD ,2C应
5、力圆作图步骤 :nxyxxxyyyxyxyxy基准面 从 D1点按斜截面角 的转向转动 2得到 E点,该点的坐标值即为斜截面上的应力分量值。nxyxxxyyyxyxyxy基准面OC FA1B1B2A2D1D2Exyyx202基准面应力圆上的 经线 与单元体 截面 一一对应!解:按一定比例画出应力圆。0MPa7.63 =x0=yMPa7.35=yx例2 用 图解法 求图示 =30斜截面上的应力值。因为图示应力状态有:x3035.7MPa63.7MPayn按一定比例,作出应力圆,并找到斜截面对应的点,量取其坐标可得:MPa1730=oMPa4630=o( )7.357.63 ,xD( )7.35
6、0,yD则 x、 y截面在应力圆上两点为:EDy(0, 35.7)Dx(63.7,-35.7)60-30(-30, )20MPax3035.7MPa63.7MPayn基准面基准面3、主平面、主应力定义:若单元体某截面上 没有切应力 ,则称该截面为 主平面 。主平面上的正应力称为 主应力 。nxyxxxyyyxyxyxy基准面OC ”FA1B1B2A2D1D2Exyyx 202基准面由斜截面上的应力公式2sin2cos22xyyxyx+=2cos2sin2xyyx+=可推导出主平面和主应力2222xyyxyx+=yxxy2arctan210时当0yxyxx=22tan02222xyxyx+=两个
7、主应力值为:主平面位置:注: 总与 xy的汇交方向一致( 有双解 )例 3 求图 a所示应力状态的主应力及方向。MPa100=xMPa40=xyMPa30=y( )40,100 xD( )40,30yD解: 1、图解法 :因为:所以:按一定比例作出应力圆(图 b)y30MPa100MPa40MPax(a)DxDyA3A120(b)MPa403=MPa1101= 02=163020o=8150o=由应力圆通过直接量取,并考虑主应力的大小关系可得:由此可得:主应力单元体以及主平面的方位如图 c所示:400110MPa30MPa100MPa40MPa2、解析法 :40MPa-MPa1102222=+
8、=xyyxyx( )()1383010040222tan0=yxxy163020o=0 =8150o=解得:400110MPa30MPa100MPa40MPa 总与 xy的汇交方向一致y30MPa100MPa40MPax例 4 求图示应力状态的主应力及方向。MPa20=xMPa20=xyMPa30=y解:y30MPa20MPa20MPaxMPaxyyxyx4155)2(222=+= 0 =MPaMPa 02.27,0,02.37321= 54302020222tan =yxxy= 33.109,33.190注意主应力 对应位置 !习题课 平面应力状态分析3 应力与应变之间的关系1、各向同性材料
9、的广义胡克定律P 时,Ex =Ey =Ez =2)纯剪应力状态:Gxxy =P 1)单向应力状态:横向线应变:时,xxy3)空间应力状态:对图示空间应力状态:; , ,zyx正负号规定: 正应力分量同前,拉为正;切应力分量规定,正面(外法线与坐标轴指向一致)上切应力与坐标轴正向为正。六个应力分量,zxyzxy , ,dxdydzxyxzxyxyyzxyzzxxyxxzzyzzxyxyyz对应的六个应变分量,zxyzxyzyx ,对各向同性材料,在线弹性、小变形条件下 ,正应力只引起线应变,切应力只引起切应变,应力分量和应变分量的关系可由叠加原理求得:三个方向的线应变为:( ) yxzzE +=
10、1( ) zyxxE +=1() zxyyE +=1切应变分量与切应力的关系:Gxyxy =Gyzyz =Gzxzx =上述六个关系式即为空间应力状态下,线弹性和小变形条件下各向同性材料的 广义胡克定律 。对 平面应力状态: z=0, xz=0, yz=0,有:( )yxzE +=( )yxxE =1( )xyyE =1xyxyG1=对于 主应力单元体 ,其 广义胡克定律 为:()()()+=+=+=213331223211111EEE()()()+=21312221111EEE二向应力状态:,03=设有即使 3 =0,但3 0()+=12EG各向同性材料:练习题:图示悬臂梁,已知中性层 A点
11、沿 45o线应变 , 弹性模量 E、 横向变形 , 截面尺寸 b、 h。求 F=? F hL b VV=每单位体积的体积改变,称为体积应变,即:zyxV ddd=( ) ( ) ( )()zyxzyxVddd1d1d1d1321321+=+=所以:()()32132121 +=+=E2、各向同性材料的体应变对图示主单元体,有:而变形后单元体体积为:321dxdzdy可见,任一点处的体积应变与三主应力之和成正比。对平面纯剪应力状态:0231= ;xy因此:()021321=+= E即:切应力不引起 各向同性 材料的体积改变。对泊松比 =0.5的特殊材料,其体积应变为零。4 空间应力状态下的应变能
12、密度在线弹性范围和小变形条 件下,应变能与加载顺序无关,只取决于外力(变形)的最终值。VuddU=单位体积的应变能,称为应变能密度,即:1、单向应力状态dzdydx 2222121ddUEEVu =()()()()()()()zyxzyxyxxzyddd21ddd21ddzd21ddd21dU332211332211+=+=2、三向应力状态比例加载: 图示主单元体中,各面上的应力按同一比例增加直至最终值。dzdydx213此时,对应的应变能:()33221121ddU+=Vu()()()+=+=+=213331223211111EEE() 313221232221221+=Eu则应变能密度为:zyxV dddd =而主单元体体积为:()32131 +=m3、形状改变比能一般情况,单元体有体积改变,也有形状改变。1=+主单元体分解为图示两种单元体的叠加,有23(a)mmm(b)2m=21m=13m=3(c)为平均应力则体积不变,仅发生形状改变。0321=+在 m作用下,图 b无形状改变;而对 图 c,由于()mmmmmmmEE211321=+=mmmmmmVu321212121 +=( )()232121621221323