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第 二 章,曲面论,3 曲面的第二基本形式,主要内容,1.曲面的第二基本形式; 2.曲面上曲线的曲率; 3.Dupin指标线; 4.曲面的渐近方向和共轭方向; 5.曲面的主方向和曲率线; 6.曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率; 7.曲面在一点邻近的结构; 8.Gauss曲率的几何意义.,3.2 曲面上曲线的曲率,1.曲面上曲线的曲率,2.法截线、法曲率,定义,定理,3.3 杜邦(Dupin)指标线,定义,方程,曲面上点的分类,1.曲面的渐近方向,定义,注,3.4 曲面的渐近方向和共轭方向,定义,定理,定义,注,命题3,证:,2.共轭方向,定义,定理,定义,命题,证:,命题4,3.5 曲面的主方向和曲率线,1.主方向,定义,问题:,定义,注,例5,证:,例6,证:,主方向的判别定理,证:,注,2.曲率线与曲率线网,定义,方程,命题,证:,注,命题5,例7,解:,3.6 曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率,1.主曲率,定义,注,命题6,证:,主曲率的计算公式,2.高斯曲率和平均曲率,定义,例8,解:,例9,注:,解:,3.7 曲面在一点邻近的结构,曲面上点的分类,3.8 高斯曲率的几何意义,1.曲面的球面表示、曲面的第三基本形式,定义,注,定义,命题,证:,命题7,证:,注,作业,P113:,