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1、(2) F( r , t ) 为关于 r , t 的连续可微二元函数，记,(4) 任何时刻 t ，出生婴儿的人口分布密度（即单位时间 内出生的婴儿数）为已知函数 p ( 0 , t ) = p1 ( t ) ；,二偏微分方程建模实例,考虑年龄结构的人口连续模型,不考虑人口的迁移，只考虑自然的出生和死亡，建立有 年龄结构的人口连续模型。记 F( r , t ) 为时刻 t 时， 年 龄小于 r 的人口总数，称之为人口分布函数。,建模假设：(1) 人的最大年龄为常数 rm ；,称为年龄的人口分布 密度函数 ；,(3) 初始时刻的人口分布密度为已知函数 p ( r , 0) = p0 ( r ),建
2、模过程 考虑年龄在 r , r + dr 之间的人群从时刻 t 到时刻 t + dt 的变化情况，这部分人原来的人数近似为 p ( r , t ) dr , 经过 dt 时间后，这部分人中继续生存的 年龄位于 r + dt , r + dr + dt 之间，其总人数近似为 p ( r + dt , t + dt ) dr ,(5) 任何时刻 t 和任何年龄 r 处的人口死亡率为已知函数,这部分人中死亡人数近似为,应有,任何时刻的总人数为：,某时刻 t 处，在年龄段 r1 , r2 中的总人数为：,平均年龄为：,t,r,rm,0,可以证明，这样的 初、边值问题 是 适定 的。,热量（物质）扩散模
3、型,建模假设：(1) 细杆长度为 l ， 其材料是均匀的，即 细杆的密度 （克 /厘米3 ）， 比热系数 c （卡 / 克度 ）均为常数 ；,(2) 杆中热量传导服从 Fourier 定律，即单位时间内 通过单位面积的热量与温度关于位置量 x 的下降率成 正比 ，比例系数（导热率）为常数 k ;,(3) 杆的左段温度为 u ( 0 , t ) = u1 , 杆的右段温度为 u ( l , t ) = u2 , u1 u2 , 均为已知常数 ；,(4) 细杆的初始温度分布为已知函数 u ( x , 0 ) = u 0 ( x ) .,一根均匀细杆，沿着杆长方向 x 维持一定的温度差， 试建立杆上
4、每一点 x 处关于时间 t 的温度分布模型 .,建模过程 取细杆的一小段 x , x +x , 设细杆的截面 积为 s 0 厘米2 ，记 q ( x , t ) 为热流密度（卡 / 秒 厘米2 , 单位时间内通过单位面积的热量 ），,（ x s 0 ）c u ( x , t +t ) u ( x , t ) （卡） ，,则在 t 时间内，沿 x 方向流入小段 x , x +x 的 总热量数近似为： q ( x , t ) s 0 t （卡） ,流出小段 x , x +x 的总热 量数近似为： q ( x +x , t ) s 0 t （卡） ,流入小段与流出小段的热量差使得小段的温度升高， 这
5、个热量差可以根据下式计算：,根据热量守恒定律，流入小段 x , x +x 的总热量 - 流出小段 x , x +x 的总热量 = 温度升高所需热量,利用 Fourier 定律，有：,t,x,l,0,这样的 初、边值问题 是 适定 的。,即问题的解是 存在、唯一 的，且 连续依赖 于初边值数据 。,弦振动模型,在 a , b 上绷紧的弦，将之垂直拉起然后放开，弦发 生上下震动，试求出上下方向上位移 u ( x , t ) 的规律 .,建模假设： (1) 假定弦是均匀的，柔软的，处在直线绷紧 状态下；弦只能作微小横振动 ；,(2) 弦的线密度为常数 。,建模过程 取一小段弦 x , x +x ,应
6、有： T1 cos 1 = T2 cos 2,T2 sin 2 - T1 sin 1 = x utt （ Newton Law ）,cos 1 1 , cos 2 1 ,sin 2 tg 2 = u x ( x + x , t ) ,2,1 T1,x x +x,T2,sin 1 tg 1 = u x ( x , t ) ,t,x,b,0,这样的 初、边值问题 是 适定 的 。,a,休渔期鱼群分布规律模型,建立实行休渔政策下近海鱼群分布情况的数学模型。,建模假设：(1) 海岸线近似为直线；鱼群只沿垂直于海岸 线方向向外游动；故问题的空间维数可取为一维；,海岸 0 外海 x,(2) 规定休渔区域在
7、沿海 l 公里以内；休渔边界 x = l 外，鱼群将全部被外海渔船打尽；,(3) 任何地点 x 、任何时刻 t 的鱼群密度分布函数 u ( x , t ) 为可微函数；,(4) 初始时刻的鱼群密度分布函数 u ( x , 0 ) 为已知函数 u 0 ( x ) ；,(5) t 时刻 、x 处鱼群密度 u ( x, t ) 的增长速度为 已知函数 f ( u ) ;,(6) t 时刻 、x 处鱼群数向外游动的扩散量 ( x , t ) 与 u x ( x, t ) 成正比 ，比例系数为常数 a 2 ：,这个假设类似于热量扩散问题中的 Fourier 法则 。,建模过程 单位时间里 ，任意区间段
8、a , b 段上鱼群数 的变化量为：,这个变化量可分为两项之和，一项为单位时间里，残留 在 a , b 段内的鱼群数：,另一项为单位时间里， a , b 段内的新生鱼群数：,其中初边值 条件为：,0,l,x,t,这个偏微分方程的初、边值问题是 适定的 ，,即问题的解是 存在、唯一 的，且 连续依赖 于初边值数据。,三、自由边界问题,自由边界问题是一类较为复杂的偏微分方程问题，这种 类型的问题在各种各样的应用中非常频繁地出现，例如 它可出现在物相变化过程、化学反应过程、生物扩散 过程、土壤冻过程等等的物理、化学现象之中，甚至 还出现在金融衍生物价格计算、抵押贷款评估研究等等 的经济现象之中。,（
9、1）一相 Stefan 问题,考虑一根套在与四周完全绝缘隔热的管子中而正在融 化的细冰棍；其右端为冰，左端为融化而成的水。拟 建立一个融化水区域上任意点处温度随时间演变的模型。,建模假设：,（1）假定冰区域温度恒等于零度；,（2）假定水区域中热量传导服从 Fourier 定律 ，即,单位时间中高温点到低温点通过单位面积的热 流量大小与与温度关于位置量 x 的下降率成正比 ；,由此可推出以下等式 ：,（3）假定水的密度 、比热 c 、热传导系数 k 和 为了融化冰为水的潜热 L 均为常数 。,取细棍的一小段 x , x +x , 设细棍的截面积为 s 0 厘米2 ；,记 q ( x , t )
10、为热流密度（卡 / 秒 厘米2 , 单位时间内通过 单位面积 的热量），,则在 t 时间内，沿 x 方向流入小段 x , x +x 的总热量数近似为：q ( x , t ) s 0 t （卡） ,流出小段 x , x +x 的总热量数近似为： q ( x +x , t ) s 0 t （卡） ,流入小段与流出小段的热量差使得小段中水的温度升 高，这个热量差可以根据下式计算：,（ x s 0 ）c u ( x , t +t ) u ( x , t ) （卡） ，,这样便可得：,根据 Fourier 定律，有：,这个方程称为 热传导方程,在融化而成的水域里 ，水的温度 u ( x , t ) 服从
11、 热传导 方程 ： u t = a2 uxx , x ( 0 , s0 ) , t ( 0 , + ) .,为求解这个偏微分方程，还需知道左、右边界值和初值。,在 左边界上 水温为已知函数： u ( 0 , t ) = u 1 ( t ) 0 ;,假定水温的 初值 为已知函数 ： u ( x , 0 ) = u 0 ( x ) ；,由于右边界端处的 热传导，冰在不断融化，故水域的 右边界是一条 移动边界 ，或称为 自由边界 。,这条 自由边界 本身也是需要求解的 未知一元函数！,0,L,冰,水,x,t,s0,x = s ( t ),易知，在移动的右边界 s ( t ) 上水温函数应满足： u
12、( s ( t ) , t ) = 0 ；,为了决定 自由边界 的位置，还需导出边界上另一个条件 。,t1,t2,t3,t4,设在 t 时段内，移动边界向右移动了一段路程 x ，,x,为了融化边界移动中消失的冰，,需要一份热量，其数量应是：,在 t 时段内，从边界左边水域中传入阴影冰区域内的 总热量根据 Fourier 定律 ，应是 ：,上述两者 应该相等：,令 t 0 ， 可得：,于是，融化水区域上任意点处温度 u ( x , t ) 随时间 t 演变的模型为：,x,t,x = s ( t ),0,s0,偏微分方程理论研究证明了这个问题也是 适定 的 。,（2）两相 Stefan 问题,如果
13、在 一相 Stefan 问题 中将假设（1）冰区域 温度 恒等于零度 改为 不恒等于零度 ，该冰区域中也有 热传导过程，则 一相 Stefan 问题 就变成了 两相 Stefan 问题 。,建模假设：,（1）假定水、冰区域中热量传导服从 Fourier 定律 ，即,单位时间中高温点到低温点通过单位面积的热 流量大小与与温度关于位置量 x 的下降率成正比 ；,由此可推出以下等式 ：,（2）假定水的密度 s、比热 c s、热传导系数 k s 和 为了融化冰为水的潜热 L 均为常数 。,（3）假定水的密度 b、比热 c b、热传导系数 k b 均为 常数 。,类似一相 Stefen 问题的讨论，我们
14、有 ：,在融化而成的水区域中 ，水的温度 u ( x , t ) 服从热传导方程 ：,在冻结成冰的冰区域中 ，冰的温度 u ( x , t ) 也服从热传导方程 ：,0,L,冰,水,x,t,s0,x = s ( t ),易知，在移动的边界 s ( t ) 的两侧，温度函数应满足：,为了决定 自由边界 的位置，还需导出边界上另一个条件 。,t1,t2,t3,t4,u ( s ( t ) , t ) = u ( s ( t ) + , t ),设在 t 时段内，移动边界向右移动了一段路程 x ，,为了融化边界移动中消失的冰，需要一份热量，其数量 应是：,x,在 t 时段内，从边界左边水区域中传入阴
15、影区域内、 从边界右边冰区域中传出阴影区域内后所残留下的总热 量根据 Fourier 定律 ，应是 ：,上述两者应该相等 ：,令 t 0 , 可得 ：,x,t,x = s ( t ),0,s0,L,这个问题的 适定性 也已获得证明 。,于是，水、冰两相区域上任意点 x 处的温度 u ( x , t ) 随 时间 t 演变的模型为,（3） 细胞体内氧气的扩散与吸收问题,细胞体内氧气的会向周边 扩散 ，在 扩散 的同时，细胞 体也在 吸收 氧气以维持生命 ；如果细胞得不到氧气的 供给将会死亡。建立一个描绘该 扩散 吸收 过程的数 数学模型 。,为简单计，以下只考虑一个一维细胞体模型。,建模假设：,（1）假定氧气在细胞体中从氧气浓度大的左边 扩散 至 浓度小的右边；在扩散中，扩散流量 q 的大小与 左、右两点的氧气浓度 c 的差成正比；即：,（2）假定任何时刻，每单位立方体的细胞
