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1、 微分方程数值方法课程设计Basic Theory of Ordinary Differential Equations Experiment Report教 务 处2014年 7 月课 程 设 计 说 明 书题目： 常微分方程数值解法课程设计 学院（系）： 理学院 年级专业： 计算科学11-1 学生姓名： 指导教师： 教师职称： 教授 燕山大学课程设计（论文）任务书院（系）：理学院 教学单位： 学 号XXX学生姓名XXX专业（班级）11计算数学设计题目常微分方程数值解法课程设计设计内容一. 比较Adams四阶PECE模式和PMECME模式。二. 求解贝塞尔方程并与精确解比较。三. 小型火箭初
2、始重量为1400kg，其中包括1080kg 燃料。火箭竖直向上发射时燃料燃烧率为18kg/s，由此产生32000N 的推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭。设火箭上升时空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.4kg/m，求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。设计要求1、要通过课题背景的介绍，阐明选题的意义；2、运用所学知识，建立问题的数学模型；3、利用Matlab软件进行计算，并给出计算机程序框图及计算机程序；4、运用所学知识，对计算结果进行分析；工作量1、程设计要在两周内完成；2、根据已知题目找出解题方法，然后利用Mat
3、lab进行计算；3、正文在3000字左右。工作计划第一天：收集资料，阅读参考文献；第二天：构建数学模型；第三天：设计计算机流程图，编制计算机程序，上机运算，调试程序；第四天：计算结果分析第五天：撰写报告等参考资料1胡建伟汤怀民。微分方程数值方法。科学出版社。1999年01月2 陈渝周璐钱方等。数值方法（MATLAB版）。电子工业出版社。2002.63尹泽明，丁春丽等。精通MATLAB 6。清华大学出版社。2006.64Cleve B.Moler。MATLAB数值计算。机械工业出版社2006.6指导教师签字基层教学单位主任签字说明：此表一式四份，学生、指导教师、基层教学单位、系部各一份。年 月
4、日 燕山大学课程设计评审意见表指导教师评语：成绩： 指导教师： 年 月 日答辩小组评语：成绩： 评阅人： 年 月 日课程设计总成绩：答辩小组成员签字：年 月 日摘 要本文对常微分方程初值问题现有的数值解法进行了综述研究。主要讨论了几种常用的数值解法：即欧拉法，改进欧拉法，龙格库塔方法，阿达姆斯PECE,PMECME格式等。文章最后结合常见数值解法，对较为典型的微分方程模型进行数值求解，探讨了上述数值算法在实际建模问题中的应用。论文阐述的是常微分方程数值解法的几个问题，通过对以下问题的求解一.比较Adams四阶PECE模式和PMECME模式。二.求解贝塞尔方程并与精确解比较。三.小型火箭初始重量
5、为1400kg，其中包括1080kg 燃料。火箭竖直向上发射时燃料燃烧率为18kg/s，由此产生32000N 的推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭。设火箭上升时空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.4kg/m，求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。来加强对用数值解法解常微分方程实际问题的能力。关键词：常微分方程数值解 MATLAB17目 录摘 要i绪 论1问题解答.2总结.17参考文献资料.171 绪论绪 论很多科学技术和工程问题常用微分方程的形式建立数学模型，因此微分方程的求解是很有意义的。建立微分方程只是解决问题的
6、第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些典型的方程，而对于绝大多数的微分方程问题，很难或者根本不可能得到它的解析解，实际问题终归结出来的微分方程主要靠数值解法。因此，研究微分方程求解的数值方法是非常有意义的。燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书问题解答问题一：比较Adams四阶PECE模式和PMECME模式。问题引出：将阿达姆斯方法显式与隐式方法作一对比，以说明预测校正格式的必要性。这些方法的阶及误差常数列表如下：步数阶误差常数显式隐式显式隐式11
7、2223334445由于阿达姆斯内插公式是隐式公式，故用它计算时也需用迭代法。通常把阿达姆斯外插公式与内插公式结合起来使用，先由前者提供初值，再由后者进行修正，所以Adams预测-校正格式既利用了隐式方法较好的稳定性及精确性，有利用了显式方法的简易性，正是把两者结合起来，做到取长补短。Adams四阶预估-校正(PECE)公式： 而PMECME模式公式为对于初值问题u=u-2t/u,u(0)=1,在单区间【0,1】上，用Adams四阶预估-校正算法的PECE模式及PMECME模式求其数值解，取步长h=0.1利用计算结果估计数值解的局部误差主项。（真解u（t）=sqrt(1+2t)）编写matla
8、b程序：function Un,e = pece()% Un,e = pece()f0=u-2*t/u;v=t,u;U=zeros(1,11);T=0:0.1:1;f=zeros(1,11);h=0.1;U(1)=1;f(1)=1;for k=1:3 K1=subs(f0,v,(k-1)*h,U(k); K2=subs(f0,v,(k-1)*h+1/2*h,U(k)+1/2*h*K1); K3=subs(f0,v,(k-1)*h+1/2*h,U(k)+1/2*h*K2); K4=subs(f0,v,(k-1)*h+h,U(k)+h*K3); U(k+1)=U(k)+1/6*h*(K1+2*K2
9、+2*K3+K4); f(k+1)=U(k+1)-2*T(k+1)/U(k+1);endfor k=5:11 U(k)=U(k-1)+h/24*(55*f(k-1)-59*f(k-2)+37*f(k-3)-9*f(k-4); f(k)=U(k)-2*T(k)/U(k); U(k)=U(k-1)+h/24*(9*f(k)+19*f(k-1)-5*f(k-2)+f(k-3); f(k)=U(k)-2*T(k)/U(k);endUn=U;for k=1:11 zz(k)=sqrt(1+2*T(k);ende=U-zz;end function Un,e = pmecme()% Un,e = pmec
10、me()syms t uf0=u-2*t/u;v=t,u;U=zeros(1,11);T=0:0.1:1;f=zeros(1,11);h=0.1;U(1)=1;f(1)=1;for k=1:3 K1=subs(f0,v,(k-1)*h,U(k); K2=subs(f0,v,(k-1)*h+1/2*h,U(k)+1/2*h*K1); K3=subs(f0,v,(k-1)*h+1/2*h,U(k)+1/2*h*K2); K4=subs(f0,v,(k-1)*h+h,U(k)+h*K3); U(k+1)=U(k)+1/6*h*(K1+2*K2+2*K3+K4); f(k+1)=U(k+1)-2*T(
11、k+1)/U(k+1);endfor k=5:11 U(k)=U(k-1)+h/24*(55*f(k-1)-59*f(k-2)+37*f(k-3)-9*f(k-4); U(k)=U(k)+251/270*(U(k)-U(k-1); f(k)=U(k)-2*T(k)/U(k); U(k)=U(k-1)+h/24*(9*f(k)+19*f(k-1)-5*f(k-2)+f(k-3); U(k)=U(k)-19/270*(U(k)-U(k-1); f(k)=U(k)-2*T(k)/U(k);endUn=U;for k=1:11 zz(k)=sqrt(1+2*T(k);ende=U-zz;end 运行结
12、果及图形显示：运行得： Un,e=pece()Un = Columns 1 through 8 1.0000 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142 1.4832 1.5492 Columns 9 through 11 1.6125 1.6733 1.7321e = 1.0e-05 * Columns 1 through 8 0 0.0417 0.0789 0.1164 0.0571 0.0271 0.0127 0.0042 Columns 9 through 11 -0.0013 -0.0054 -0.0088pmecmeans = Columns 1 through 8 1.0000 1.0954 1.1832 1.2649 1.3398 1.4104 1.4773 1.5409 Columns 9 through 11 1.6016 1.6595 1.7147编写a.m用于画图显示计算结果，t0=0:0.001:1;t1=0:0.1:1;U0=sqrt(1+2*t0);U2=pece();
