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1、第四章 微分方程4.1 方程分类与解法4.1.1 一阶，可分离变量方程l 一阶变量分离方程l 齐次方程令，4.1.2 一阶线性非齐次方程齐次方程通解 标准形 通解伯努利方程令得4.1.3 特殊二阶方程 降阶法l 微分方程接连积分n次，便得到微分方程的含有n个任意常数的通解。l 令 则l 令 则l 首次积分方法若则称为方程0的首次积分。这样就把原方程降了一阶。特别地，二阶的就变成一阶方程了。4.1.4 二阶（高阶）线性常系数方程1线性方程解的结构理论定理1（叠加原理） 设是齐次方程的解，则它们的线性组合 也是齐次方程的解，其中是任意常数。定理2 设是非齐次方程的一个解， 是对应的齐次方程的解，则
2、也是非齐次方程的解，其中是任意常数。定理3 （二阶齐次线性微分方程通解的结构） 设和是方程（3）的两个线性无关特解，则 （是任意常数）是方程（3）的通解。对于二阶非齐次线性微分方程（4）有如下的定理。定理4（二阶非齐次线性微分方程通解的结构） 设是方程（4）的一个特解，和是方程（4）对应的齐次线性方程（3）的两个线性无关解，则(5)是方程（4）的通解。2齐次方程 特征方程 综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤如下：第一步 写出微分方程的特征方程第二步 求出特征方程的两个根。第三步 根据特征方程两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（3）的通解特征方程的两个根微分方程的通解两个
3、不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根对于高阶常系数齐次线性微分方程可以根据下表给出的特征方程的根写出对应齐次线性微分方程的解如下：特征方程的根微分方程通解中的对应项单实根一对单复根k重实根k重复根给出一项给出两项给出k项：项给出2k项： 3非齐次方程 其通解是其中是对应齐次方程的解，是非齐次方程的解。特解 k是特征根的重复次数， 特解k是特征根的重复次数。4欧拉方程 令 或 ，则，若引入微分算子符号，则上述结果可简记为，一般地 4.2 解法选例4.2.1 基本题目类例1 解 首先观察此类方程：一阶，可分离变量，代入初值故例2 解 首先观察此类方程：一阶，线性非齐次方程。例3 令，则，例4 解
4、 例5 解 观察：一阶，齐次方程令 代入方程消去 得整理 积分将代入得代入初值 整理。例6 解 （1）令代入方程或 （舍不符合初值）积分即代初值代初值解 （2） 代初值，代初值例7 填空a 方程 通解为（）b 方程 的通解为（）c 方程 的通解为（）d 方程 的通解为（4.2.2 综合题目类例8 设于上可导，且其反函数为，若，求。解 对求导 ，即 ，故，即。例9 于上可导。 且满足（1）求（2）证明当时。解 求导 则 代初值 得 又故即。例10 有连续一阶导数，且满足 ，求。解 （注意到,）代入初值 ，积分，代初值 得，则例11 已知是方程的一个特解，求方程通解。解 设也是方程的解，代入方程有
5、整理取，则。故是方程通解例12 求解欧拉方程（1）；（2）。解 （1） 令 则 特征方程为 则。（2） 令 则特征方程：不是特征根，故设特解代入方程 ，则方程通解 。例13 求解方程 解 此方程是全微分方程。因为其原函数（势函数）即方程为 或解 则即 是方程的解。例14 已知 是二阶线性齐次方程的解，试建立此方程解 线性无关，则是方程的通解（1）又（2）（3）联立（1）（3）求，代入（2）整理得例15 设，是的两个解，求值。解 是解，则是特征根，是解，则是特征根，且是二重根。特征方程为 即 ，比较原特征方程 得。也可以将代入方程得；将代入方程得，从而，。例16 已知 的三个特解为试求 特解。解
6、 非齐次方程的任两个特解之差是齐次方程特解，故是齐次方程的解，且线性无关，故是非齐次方程通解。代入初值，则从而特解为。4.3 微分方程应用问题解题总的步骤（1） 分析题意建立方程（2） 依题意写出初始条件（3） 识别方程类型解方程4.3.1 几何问题例1 设曲线过点，曲线上任一点处的切线交轴于点，若（是原点），求的方程。解 1. 列方程 切线方程为令的（OT）|PT|，由 整理得 2结合初值条件得初值问题3方程是齐次方程 令 代入方程消去 得整理 积分将代入得代入初值 整理。例2 设函数二阶可导，且，。过曲线上任一点作切线及轴的垂线，上述两条直线与轴所围成的三角形的面积记为，区间上以为曲边的曲
7、边梯形的面积记为，且，求曲线。解 在点处的切线方程为它与轴的交点为，由知，于是又，由得由此知，上式两端对求导并化简得令 ，则方程变形为由，即，故有解得代入初始条件得，即于是代入初始条件，得 故所求曲线为。例3 位于坐标原点的我舰向位于点处的敌舰发射制导鱼雷，设鱼雷永远对准敌舰，已知敌舰航速为。在直线上行驶，鱼雷速度为。求鱼雷航迹曲线。又敌舰行驶多远时被鱼雷击中？解 如图，设时刻鱼雷行至点，敌舰至T点，则。以下求|AT|。过点P的切线方程为，令，（AT）故得方程：求导整理得解方程：将代入 即平方：代入初值 故 当，击中。小结：用几何关系建立方程4.3.2 物理问题例4 物理问题从船上向海中沉放某
8、种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度（从海平面算起）与下沉速度之间的函数关系，设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为，试建立与所满足的微分方程，并求出函数关系式。解 取沉放点为原点，轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得依题意，代入上式消去，得分离变量得积分后得由初始条件定出故所求函数关系式为4.3.3 微元分析法例5 设一半径为6cm，高为25cm的圆柱体容器充满水，其底部有一0.2（cm）的小孔，那么水就以的速度从小孔流出。（h为自由水面到柱底的高度），求水流
9、规律（h（t）？）解 设时刻，自由水面高度为，再经dt时段水位下降位dh则，则记 解得，令 t213秒例6 设一车间容积为10000M。空气中含有（以容积记计算）。现将含有的新鲜空气以1000的速度输入车间，同时以的流量抽出混合气体。问10分钟后，车间内的浓度降到多少？解：设t时刻，车间内含M，经dt时段改变量为dx，则输入输出10dt整理得解得 此时浓度为4.3.4 “翻译”！例7 一半球形雪堆其溶化速度与半球表面积成正比，比例系数,假设溶化过程中，雪堆始终保持半球体状。已知半径的雪堆开始溶化3小时，其体积是原来的，问全部溶化需多少时间？解 时段 令（全部溶化）。例8 人口问题、细菌繁殖、种群繁殖、新产品推广某种群增长速度除与该种群个体数量成正比，还由于受环境制约而与成正比，试求该种群函数关系。解 积分得 若给定初值，则可定，从而令，是该环境对此种群的容纳量。注：（1）原始：，A为总容量。（2）本模型适应，种群繁殖、疾病传染、信息传播、新技术、新产品推广等等。13
