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1、differential equation,第十章 微分方程,利用函数关系可以对客观事物作定量分析.,但在许多实际问题中,而根据问题所服从的客观,含有未知函数的导数或微分的关系式,关系式称为,对它进行研究确定出未知,实际上就解决了最,不能直接找出所需要的函数关系,只能列出,把这样的,牛顿和莱布尼茨,求解问题.,微分方程.,规律,函数的过程就是,确定的微积分运算的互逆性,简单的微分方程,解微分方程.,本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的解法,1. 微分方程的基本概念;,2. 一阶微分方程;,3. 几种可积的高阶微分方程;,4. 线性微分方程及其通解的结构;,5. 常系数齐次线
2、性方程;,6. 常系数非齐次线性方程.,讨论如下几个问题:,(differential equation),第一节 微分方程的基本概念,一、问题的提出 二、微分方程的概念 三、小结,解,可直接积分的方程,例1.,一曲线通过点,且在该曲线上任一点,处的切线的斜率为,求这曲线的方程.,设所求曲线为,所求曲线方程为,一、问题的提出,解,可直接积分的方程,例2.,列车在平直的线路上以,的速度行驶,当制动时列车获得加速度,问开始制动,后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间,内行驶了多少路程?,设制动后 t 秒钟行驶 s 米,故,得到开始制动到列车完全停住共需时间,得到列车在这段时间内行驶的路程,我们
3、所学习的不定积分,实际上就是求解,有些微分方程虽不象,但经过化简, 可以变成以上的形式.,这些方程也可看作可直接积分的方程.,这样简单,最简单的一类微分方程.,如,二、基本概念,含有未知函数的导数(或微分)的方程,未知函数是一元函数的方程为,方程中所出现的导数(或微分)的最高阶数称,微分方程:,常微分方程(ODE);,未知函数是多元函数的方程为,偏微分方程(PDE).,微分方程的阶.,一阶,一阶,二阶,一阶,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数,微分方程的解:,一般的n阶微分方程为,或,微分方程的解的分类,(1) 通解,微分方程的解中含有任意常数,且任意,常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2
4、) 特解,确定了通解中任意常数以后的解.,如方程,通解,通解,特解,特解,一般而言，通解和特解是一般和特殊的关系.,初值问题(柯西问题),求微分方程满足初始条件的解的问题.,解的图象,通解的图象,微分方程的积分曲线.,积分曲线族.,定解条件,用来确定任意常数的条件.,初值条件,是过定点的积分曲线;,一阶,二阶,是过定点且在定点的切线的斜率为定值,几何意义,几何意义,的积分曲线.,试求下列微分方程在指定形式下的解:,例,解,得,得,代入微分方程中,得,得两个解,例 求含有两个任意常数C1, C2的曲线族,满足的微分方程.,解,求导得,所求的微分方程,便得到,微分方程,微分方程的阶,微分方程的解,
5、通解,初始条件,特解,初值问题,积分曲线(族）,微分方程的基本概念:,三、小结,思考题 (是非题),微分方程的通解是否包含它所有的解?,非,解答,微分方程的通解不一定否包含它所有的解.,例如, 微分方程,的通解为,其中C为任意常数.,的通解为,但它不能包含方程的解:,可分离变量方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 全微分方程,一阶微分方程的解法,一阶微分方程,等式的每一边仅是一个变量的函数与这个,可分离变量的方程,或,如果可以写成如下形式,或,特点,变量的微分之积.,可分离变量的方程解法：分离变量法,第二节 可分离变量方程,可分离变量的方程求通解的步骤是:,分离变量,两边积分,其中C为任意常数
6、.,就是方程的通解,分离变量法.,1.,2.,由上式确定的解，,(隐式通解).,这种解方程的方法称为,将上式,解,例 求方程 的通解.,简化：,C为任意常数,例 求初值问题.,解,隐式通解,练习,解,通解为,例.,解.,原方程可化为,分离变量 并积分得,分析,有两种方法,其一，,将所给选项代入关系式直接验算，,(B)正确.,其二，,对积分关系式两边求导化为微分方程,并注,意到由所给关系式在特殊点可确定出微分方程,所应满足的初始条件.,练习,一般,未知函数含于变上限的积分中时,常可,通过对关系式两边求导而化为微分方程再找出,初始条件而解之.,解,可分离变量方程,两边积分,由原关系式,得,得,分离变量,1fnl,可分离变量方程,小结：,分离变量法,第三节 齐次微分方程,如果一阶微分方程可以写成如下形式,齐次方程.,则称之为,即,得到 u 满足的方程,即,作变量代换,可分离变量的方程,分离变量,两边积分,求出通解后,就得到原方程的通解.,例 解方程,解,将方程写为,齐次方程,方程变为,即,积分得,可分离变量方程,分析,解,令,方程变为,齐次方程,可分离变量方程,练习,两边积分,即,得通解,分离变量,可化为齐次型的方程,齐次方程,可化为可分离变量 或齐次方程,例 解方程,小结,可化为齐的方程,先作“平移”变换化成齐次方程， 再通过变换化为变量可分离方程,齐次方程,可分离变量方程,
