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1、四川师范大学本科毕业论文微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格库塔法学生姓名XXX院系名称数学与软件科学学院专业名称信息与计算科学班 级2006级 4 班学 号20060640XX指导教师Xxx四川师范大学教务处二一年五月微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格库塔法学生姓名：xxx 指导教师：xx【内容摘要】微分方程是最有生命力的数学分支，在自然科学的许多领域中，都会遇到常微分方程的求解问题。当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具，利用计算机解微分方程主要使用数值方法，欧拉方法和龙格库塔方法是求解微分方程最典型常用的数值方法。本文详细研究了这两类数值计算方法的
2、构造过程，分析了它们的优缺点，以及它们的收敛性，相容性，及稳定性。讨论了步长的变化对数值方法的影响和系数不同的同阶龙格库塔方法的差别。通过编制C程序在计算机上实现这两类方法及对一些典型算例的结果分析比较，能更深切体会它们的功能，优缺点及适用场合，从而在实际应用中能对不同类型和不同要求的常微分方程会选取适当的求解方法。关键词：显式单步法 欧拉（Euler）方法 龙格库塔（RungeKutta）方法 截断误差 收敛性Two commonly used numerical solution of differential equations：Euler method and Runge - Kutt
3、a methodStudent Name: Xiong Shiying Tutor：Zhang Li【Abstract】The differential equation is the most vitality branch in mathematics. In many domains of natural science, we can meet the ordinary differential equation solution question. Currently, the development of computer has provided the extremely po
4、werful tool for the ordinary differential equation application and the fundamental research, the computer solving differential equation mainly uses value method. The Euler method and the RungeKutta method are the most typical commonly value method to solve the differential equation. This article dis
5、sects the structure process of these two kinds of values commonly value method to solve the analyses their good and bad points, to their astringency, the compatibility, and the stability has made the proof. At the same time, the article discuss the length of stride to the numerical method changing i
6、nfluence and the difference of the coefficient different same step Rungekutta method. Through establishing C program on the computer can realize these two kind of methods, Anglicizing some models of calculate example result can sincerely realize their function, the advantage and disadvantage points
7、and the suitable situation, thus the suitable solution method can be selected to solve the different type and the different request ordinary differential equation in the practical application .Keywords: Explicit single-step process Euler method RungeKutta method truncation error convergence目 录微分方程常用
8、的两种数值解法：欧拉方法与龙格库塔法前言 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学以及其他科学技术的发展密切相关的。数学其他分支的新发展，如复变函数、群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。牛顿在研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量，微分方程也就成了最有生命力的数学分支。然而，我们知道，只有少数十分简单
9、的微分方程能够用初等方法求得它们的解，多数情形只能利用近似方法求解。在常微分方程课中的级数解法，逐步逼近法等就是近似解法。这些方法可以给出解的近似表达式，通常称为近似解析方法。还有一类近似方法称为数值方法，它可以给出解在一些离散点上的近似值，利用计算机解微分方程主要使用数值方法。本文主要讨论一阶常微分方程初值问题 （1.1）在区间上的数值解法，其中为关于，的已知函数，为给定的初始值，将上述问题的精确解记为。该问题常用的数值解法有：欧拉（Euler）方法、龙格库塔（RungeKutta）方法及一些常用的线性多步法。本文重点介绍欧拉（Euler）方法和龙格库塔（RungeKutta）方法。并对这两
10、种方法编制程序，体会它们的功能、优缺点及适用场合，对不同类型常微分方程会选取适当的求解方法。 基本概念和准备知识 一阶常微分方程初值问题是：其中是平面上某个区域上的连续函数，式（1.1.1）的微分方程一般有无穷多个解，式（1.1.2）是确定解的初始条件，如果一元函数对一切满足（1）；（2）；（3）存在而且；则称是初值问题（1.1）在区间上的解。误差：假定在计算时，用到的前一步的值是准确的即，把用计算得到的近似值记为，估计误差：= y(xn+1)，这种误差称为局部截断误差。如果不作这一假定，在每一步计算时除局部截断误差以外，还有由于前一步不准确而引起的误差，称为总体截断误差。收敛性：对于解初值问
11、题的数值方法，我们希望它产生的数值解收敛于初值问题的准确解，“收敛性”的一般定义为：对于所有满足引理1.1条件的初值问题（1.1），如果有一种显式单步法：产生的近似解，对于任意固定的，均有，则称该显式单步法是收敛的。相容性：显式单步法（1.2.1）称为与原微分方程相容，如果 （1.2.3）成立。并称式（1.2.3）为相容性条件。稳定性：在实际计算中，一方面初始值不一定精确，往往带有一定误差，同时由于计算机字长有限，在计算过程中有舍入误差，而且这种误差在式（1.2.1）的递推过程中会传递下去，对以后的结果产生影响。因此要考虑舍入误差的积累是否会得到控制，也即要考虑数值方法的稳定性。当时，若舍入误
12、差引起的后果是有限的，则可以认为该方法是数值稳定的。2 欧拉方法2.1欧拉方法简介对常微分方程初值问题（1.1）用数值方法求解时，我们总是认为（1.1）的解存在且唯一。欧拉方法是解初值问题的最简单、最原始的数值方法，它是显式单步法。下面介绍几种导出欧拉法的途径，每个途径皆可以推导出更为有效的数值方法。（1）Taylor展开在点将作Taylor展开得： 当充分小时略去误差项，并注意到，得，以近似代替，以近似代替，且用“=”代替“”得差分方程初值问题： ， (2.1.1)用式(2.1.1)求解初值问题（1.1）的方法称为欧拉方法。（2）数值微分由导数的定义知，对于充分小的整理得，对此作相似的处理也
13、可以得到欧拉方法(2.1.1)。（3）数值积分在区间对积分得 （2.1.2）用数值积分的左矩形公式计算式（2.1.2）右端的积分，得，于是同样可以得到欧拉方法(2.1.1)。（4）多项式插值利用解和其导数在点的值，作一次埃尔米特插值，得到关于的插值多项式：，用近似代替就得到欧拉方法。（5）待定系数法在第步，已知和，利用这两个值估计出下一步的，将已知的值与估计值作线性组合：，其中， 为待定系数。为确定这两个参数，要求这个估计值对和（为常数）精确成立。如果，则，得到方程：，得。如果，则，这样有：，说明，这样估计值为：，即为欧拉方法。欧拉方法的几何意义：由点斜式得切线方程等步长为，则，可由切线方程算
14、出：，逐步计算出在点的值：，用分段的折线逼近函数为“折线法”而非“切线法”，除第一个点是曲线上的切线，其它都不是。0图1欧拉方法的几何意义2.2欧拉方法的截断误差，收敛性，相容性，稳定性设，把在处展开成泰勒级数，即 再由欧拉方法： 两式相减得欧拉方法的局部截断误差为：，若在上充分光滑，且令，则，故欧拉方法是一阶方法或具有一阶精度。欧拉方法的增量函数就是，由引理1.3、引理1.4知当满足Lipschitz条件时欧拉方法是收敛的而且是相容的。用欧拉方法求解典型方程（1.2.4）的计算公式为：，有 。要让，必须有，因此欧拉方法的绝对稳定域为 ：，当为实数时，绝对稳定区间为。在复平面上，是以1为半径、以为圆心的内部。3 龙格库塔法3.1 龙格库塔法的基本思想为了导出龙格库塔法的一般公式，我们取如下的线性组合形式： （3.2.3）其中 （3.2.4）即 ,；a21,a31除c1=0外均为待定系数。显然用公式（3.2.3）每计算一个新值要计算函数的值s次，又因每个都能以一种明显的方式由,计算出来，故将公式（3.2.3）称为s级显式龙格库塔法。s级显式龙格库塔法又可以写成下面既简洁又直观的阵列形式： 0
