推断性统计分析讲解

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1、,第二讲：推断性统计分析,统计推断的过程,主要内容,抽样分布 参数估计 假设检验,1. 抽样分布,总体分布、样本分布、和抽样分布,总体分布：总体中所有个体在某个变量上观测值的频次分布。 样本分布：从总体中抽取一个容量为n的样本，这n个观测值构成的频次分布。 抽样分布：假如我们对总体进行重复抽样，根据每个样本可以计算出一个样本统计量，从所有这些样本得出的样本统计量构成的分布称为抽样分布。,抽样分布,抽样分布,样本均值的抽样分布 样本标准差的抽样分布,抽样分布,抽样分布是样本统计量的概率分布。 它只是一种理论上存在的概率分布，结果来自无数样本量相同的所有可能样本。 依靠抽样分布，我们就能够将实际观

2、测到的样本结果与其他所有可能的样本结果进行比较，从而建立起单一样本和总体之间的联系。这就是统计推断的理论依据！ 抽样分布的标准差称为“标准误”。它用来测量使用某个样本统计量来估计总体参数时的抽样误差。,样本均值的抽样分布（例子）,样本均值的抽样分布（例子）,样本均值的抽样分布（例子）,样本均值的抽样分布（例子）,样本均值的抽样分布（例子）,总体分布和抽样分布的比较：,样本均值的抽样分布（一般规律）,当总体服从正态分布时，来自该总体的所有样本量为n的样本的均值也服从正态分布，且的均值（数学期望）为，方差为。即,样本均值的抽样分布（一般规律）,中心极限定理 (Central Limit Theor

3、em)：从均值为,方差为的任意总体（不一定服从正态分布）中抽取样本量为的样本。只要样本量足够大，样本均值的抽样分布将近似服从均值为,方差为的正态分布： 即：,正态分布的特征,单峰、对称、钟形； 渐进：曲线无论向左或向右延伸，都愈来愈接近横轴，但不会和横轴相交，以横轴为渐进线； 一个位置参数，一个描述离散程度的参数； 均值、中值、和众值都相等。 最美的特征： 无论和为何值，也就是说对任意一个正态分布，约68%（或者说2/3）的值落在区间；约95%的值落在区间；约99.7%的值落在区间。,正态分布的特征,689599.7规则：,均值抽样分布分布,只有当总体方差已知的情况下，样本均值的抽样分布才为正

4、态分布，才能作Z转换。 总体方差未知的情况下，样本均值的抽样分布不再服从正态分布，此时应作T转换。,分布,T分布的图形是对称的，均值为0，离散程度比标准正态分布要大，也就是说方差大于1； 形状由一个参数（自由度）来决定； 当样本量n很大时（n30），就可用标准正态分布N(0,1)来近似t分布。,样本方差的抽样分布分布,当总体服从正态分布时，样本方差的抽样分布服从自由度为的卡方分布：,样本方差的抽样分布分布,分布,分布的特征： 非负值，最小值为； 正偏； 具体形状由来决定； 均值，方差； 均值和方差随着的增加而增加，这样，分布的均值随之向右偏移，离散度也随之增加； 随着的增加， 分布偏度和峰度都

5、较小，将趋近于正态分布。,两个样本方差比的抽样分布分布,总体1：服从正态分布 样本1： 总体2：服从正态分布 样本2： 两个样本方差和比值的抽样分布服从分布：,2. 参数估计,参数估计,参数估计：指从总体中随机抽取一个样本，利用样本统计量推算总体参数的过程。,点估计(point estimation),点估计：根据样本统计量计算出一个确切的数来估计总体的未知参数 用于估计总体某一参数的样本统计量，被称为估计量(estimator)。估计量是一个随机变量，随着抽取的样本的不同，取值会发生变化。对应的值称为“估计值(estimate)”。 比如：样本均值是总体均值的一个估计量 如果抽取一个样本，得

6、出，5万就是的估计值 点估计的理论基础是“抽样分布” 点估计没有给出估计值接近总体参数的程度。也就是说，从点估计，我们并不知道估计误差的大小。,点估计,用样本均值()作为总体均值()的点估计： 用样本方差()作为总体方差()的点估计： 对定类变量，用样本比例()作为总体比例()的点估计：,注意： 一般在“总体参数”上加来表示它的样本估计值； 在样本方差的公式中，分母为(n-1)而不是n。因为只有用(n-1)，得出的样本方差才是总体方差的无偏估计！,点估计的评判标准（无偏性）,无偏性(unbiasedness)：估计量的数学期望（即所有可能样本得到的估计值所组成的抽样分布的均值）等于被估计的总体

7、参数。,是总体均值的无偏估计量，是总体方差的无偏估计量！ 而不是总体标准差的无偏估计！,点估计的评判标准（有效性）,有效性(efficiency)：如果估计量的抽样分布的方差小于其它任何估计量，则称是更有效的估计量。,对服从正态分布的总体，样本均值和中值都是总体均值的无偏估计，但是更有效的估计量！,点估计的评判标准（一致性）,一致性(consistency)：随着样本容量的增大，估计量越来越接近被估计的总体参数的真实值。,区间估计(interval estimation),区间估计：根据样本计算出一个取值范围来对总体的未知参数进行估计，并给出置信度。 定义：如果用 作为总体参数的估计值，那么参

8、数的置信区间(confidence interval) 与的关系为： 显著性水平(significance level)，表示置信区间不包含真实参数的概率，即估错的概率 置信概率，置信度或置信水平(confidence level)，表示这样的置信区间包含真实参数的概率。,置信区间的计算,置信区间=点估计临界值*标准误 标准误为点估计抽样分布的标准差 临界值与抽样分布和有关，根据的大小，确定置信区间有多少个标准误的宽度。,置信区间的计算,越大()，置信度就变小()，从而导致置信区间变小()，估计的精确度提高()，但估错的可能性增加了！ 增加样本量，标准误减小()，从而导致置信区间减小() ，估

9、计的精确度提高()。,理解置信区间,理解置信区间,注意： 是未知参数，对于确定总体，它是唯一的，固定的； 而样本统计量是随着样本不同而变化的随机变量。 所以，根据不同的样本，计算出来的CI也是变化的。因此，确切地说，CI是一个随机区间。 对于一次抽样，它的CI可能包含Q也可能不包含Q。 设=0.05，那么1-=0.95 95%CI就表示：如果重复抽取100个样本，根据每个样本建立一个CI，共100个CI，这100个CI中有95(95%)个CI将包含待估参数，有5(5%)个CI将不包含待估参数。,总体均值的置信区间已知,假定条件： 总体服从正态分布，且总体方差已知 总体不服从正态分布，但样本量较

10、大 样本均值的抽样分布为正态分布： 转换为正态分布统计量： 总体均值的的置信区间：,总体均值的置信区间已知,当时，对应95%CI： 当时，对应99%CI：,由公式可以看出，CI的宽度受两个因素的影响： （1）总体分布的离散程度 （2）样本量 （3）置信度,总体均值的置信区间未知,假定条件： 总体方差未知 总体必须服从正态分布 样本均值对应的统计量为统计量： 总体均值的的置信区间：,总体比例的的置信区间,样本比例是总体的点估计 在大样本条件下，样本统计量的抽样分布近似为正态分布： 总体参数未知，所以用来估计标准误：,大样本总体比例 的(1-)的置信区间：,3. 假设检验,3.1 假设检验的基本概

11、念,什么是假设检验？,假设检验：事先对总体参数提出一个假设，然后通过样本信息来判断这一假设是否成立。 基本思想是“小概率原理”： 首先假设成立，得出样本统计量（点估计）的抽样分布。经过抽样获取一组数据，如果根据该样本得出的估计值在成立的条件下发生的概率非常小，我们就有理由来“拒绝原假设”；反之，如果该值发生的可能性很大，那么就“不拒绝”。 显著性水平=小概率的标准，由研究者事前确定。,什么是假设检验？,假设检验的步骤,根据研究问题，决定是做“单边”检验还是“双边”检验；提出原假设和备择假设；并给定显著性水平； 选择合适的检验统计量； 在检验统计量的抽样分布上找到拒绝的区间； 根据样本数据，计算

12、检验统计量的观测值。 根据决策方法，作出统计决策。,统计决策方法1临界值比较法,比较检验统计量的“观测值”和“临界值(critical value)” 如果观测值落在接受域，则不拒绝 如果观测值落在拒绝域，则拒绝,值：在成立条件下，出现观测值或比它更极端值的概率。值越小，说明数据在成立时出现的可能性越小，从而提供了拒绝的证据。,统计决策方法2值法,双边检验:,单边检验（右侧）值：,统计决策方法2值法,右侧单边检验:,单边检验（左侧）值：,统计决策方法2值法,右侧单边检验:,判定方法： 任何一个统计分析软件（如SPSS或Stata)都会计算出p值。,统计决策方法2值法,拒绝,不拒绝,两类错误,假

13、设检验属于统计推断，根据一个样本的有限信息和小概率原理得出关于总体特征的判断。因此，我们不可能做到百分之百的正确。 在假设检验中有可能犯两种错误： 第一类错误 (Type I Error)：弃真的错误 第二类错误 (Type II Error)：纳伪的错误,两类错误,检验功效 或效能,两类错误,第一类错误（弃真） 在原假设为真时，拒绝了原假设。 犯第一类错误的概率就是显著性水平，研究者通过选择显著性水平来控制犯弃真错误的概率； 当减小时，拒绝域随之减小，弃真的错误就减小。,两类错误,第二类错误（纳伪）： 在原假设为假的情况下，接受了原假设。 犯纳伪错误的概率一般用来表示。 受许多因素的影响，主

14、要有：显著性水平、样本量、及真实值和中的值的偏离程度等。 第一类错误在检验过程中由研究者自行设定。除去第一类错误后，检验是否有效就取决于的的大小。在统计学中，将称作检验效能(power)。,两类错误,两类错误的关系：,其它条件不变，显著性水平， 接受域增加， 其它条件不变，样本量n，； 其它条件不变，真实值（1）和H0中的值（0）偏离程度，。,3.2 单总体假设检验,单总体均值的检验,原假设 备择假设,单总体均值的检验,大样本 总体方差已知 总体方差未知 小样本： 总体方差已知 总体方差未知,大样本时对总体分布没有要求， 可以为任意分布。,小样本时，要求总体服从正态分布,单总体均值的检验大样本

15、,已知时，检验统计量为统计量： 未知时，需要用样本方差来代替总体方差，得到的检验统计量为统计量： 当样本量越来越大时，分布越来越接近正态分布，所以检验统计量可以近似为：,单总体均值的检验小样本,注意：小样本数据，我们假设样本来自正态分布的总体！ 已知时，检验统计量为统计量： 未知时，需要用样本方差来代替总体方差，得到的检验统计量为统计量： 此时不能将其近似为正态分布进行计算！,单总体比例的检验,假设： （落在某个类别中概率或比例等于） （ 或 ） 大样本情况： 样本量满足 及； 检验统计量是，在成立的条件下，其分布服从一个标准正态分布：,注意：SPSS中没有该Z检验，但是可以用下页的二项检验。

16、,单总体比例的检验,小样本情况：采用精确二项检验(Binomial Test) 二项分布 : 如何检验？（请看下面的例子）,(x=0, 1, 2, , n),在一个“抛硬币”的游戏中，一个人抛了次，其中次是正面，请检验所用的硬币是否均匀。 vs. 根据二项分布，计算当成立时观测到比次更极端值的概率（ 此概率即为我们常用的值。 需要注意此检验为单边检验。对双边检验，需要把上面得到的值乘以。,3.3 两个总体的假设检验,两个总体均值的比较检验,原假设： （两个总体均值没有差异） 备择假设：,两个总体均值的比较检验,独立大样本 两个独立总体方差和已知 两个独立总体方差和未知 独立小样本： 两个独立总体方差和已知 两个独立总体方差和未知 两个相关总体均值的比较,大样本时对总