量纲分析与相似原理

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1、武汉科技大学 材料与冶金学院 张美杰 热 工 基 础 第一章 流体力学基础 绪论 流体静力学 流体动力学 窑炉内的气体力学 量纲分析与相似原理 流体的输送设备 风机、泵、烟囱、喷射器 第五章 量纲分析与相似原理 5.1 量纲 1. 物理量的量纲 物理量 大小 类别 导出量纲 工程单位制 国际单位制 英 制 单位制 量纲 基本量纲 量纲幂次式 量纲（因次） ： 表征各种物理量性质和类别的标志。 SI制中的基本量纲： dim m = M , dim l = L , dim t = T 或： m=M, l=L, t=T 常用导出量纲：根据基本定律或定义式导出，任一量纲可表示成： x=LaTbMc 例

2、： 速度的量纲： u=LT-1 加速度量纲： a=LT-2 力的量纲： F=MLT-2（ F=ma） 压强的量纲 ： P=MLT-2L-2=ML-1T-2 粘度的量纲： =MLT-2L-2/LT-1L-1=ML-1T-1 （ = du/dy) 导出量纲：用基本量纲的幂次表示。 第五章 量纲分析与相似原理 5.1 量纲 应变率 角速度，角加速度 其他量 1d imd im Txx 2d im T1d im T粘度系数 压强，压力，弹性模量 力，力矩 密度，重度 体积流量，质量流量 速度，加速度 常用量 13d im TLQ3d im ML2d im M L TF21d imd imd im TM

3、LKp 11d im TML1d im MTm22d im TML22d im TMLL12d im TLv1d im LTv 2d im LTg第五节 量纲分析与相似原理 注： 为温度量纲 （比）焓，内能 （比） 熵 导热系数 比热 表面张力系数 功率 能量，功，热 动量，动量矩 惯性矩，惯性积 4d imd im LII xyx 1d im M L TI22d imd imd im TMLQWE32d im TMLP122d imd im TLcc vp12d im TMLL13d im M L Tk2d im MT122d im TMLs12d imd im TLei第五节 量纲分析与相

4、似原理 同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，称为量纲齐次性。 5.2 量纲齐次性原理 c o n s tpzgu 22 （沿流线） LLTLTgu 1221 2d i m2L z d im LLTTMLp 1221- 13 d i m MLgL常数d im第五节 量纲分析与相似原理 忽略重力的伯努利方程 5.3 物理方程的无量纲化 （沿流线） 0202121 pvpv 2 20200p )vv(1v21ppC （沿流线） 无量纲化伯努利方程 第五节 量纲分析与相似原理 无量纲量：如果一个物理量的所有量纲指数为零，就称为无量纲（量纲为一）量。 无量纲

5、量可以是相同量纲量的比值（如角度，三角函数），也可以是几个有量纲量通过乘除组合而成。 第五节 量纲分析与相似原理 5.4 量纲分析与 定理 量纲分析概念 一个方程中多项量纲必须齐次； 一个流动过程中各物理量在量纲上存在相互制约关系，可以按 量纲齐次性原理 作分析。 类比：角色分析 量纲分析法 主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用无量纲参数 之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示物理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论分析和实验研究。 第五节 量纲分析与相似原理 x1 =(x 2， x 3, , x r )

6、1 = f (2, 3, , n-r ) 提议用量纲分析的是瑞利（ L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的是布金汉（ E.Buckingham,1914): 5.4.1 定理 定理 方 法 充要条件 n个物理量 r个独立 基本量 n-r个导出量 选 r个独立 基本量 组成 n-r个 独立 数 量纲分析方法等 第五节 量纲分析与相似原理 5.4.2 量纲分析法 一般步骤： 第 1步 、 列举所有相关的物理量。 第 2步 、 选择包含不同基本量纲的物理量为基本量（或称为重复量，取 3个）。 第 3步 、列 表达式求解 数 选 、 u 、 d 第五节 量纲分析与相似原理 不可压缩牛顿粘性流

7、体在内壁粗糙的直圆管恒定流动，分析压强降低与相关物理量的关系。 p， u， d， ， ， ， l，共 7个 1=a u bd cp M 0 L 0 T 0 = (M L 3 ) a (L T 1 )b L c (M L 1 T 2 ) 01: 013: 01: bTcbaLaM解得： a = b = c = -1 Re12 ud (雷诺数 ) M 0 L 0 T 0 = (M L 3 ) a (L T 1 )b L c (M L 1 T 2 ) 解得： a = -1 , b = -2 , c = 0 （欧拉数， 1/2是人为加上去的） 2 =a b b c c M 0 L 0 T 0 = (M

8、 L 3 ) a (L T 1 ) b L c (M L 1 T 1 ) 1=a u bd cp EuuP 2121 d3（相对粗糙度） 4 =a u bd c l (同上 ) dl4（几何比数） 4 列 数方程 ),( 4,321 f),( R e ,21 2 dldfup 即 ),( R e ,21 2 dldfup 或 3 =a u bd c M 0 L 0 T 0 = (M L 3 ) a (L T 1 ) b L c L 解得： a = b = 0， c = -1 5.5 常用的相似准则数 1. Re 数 (雷诺数 ) dyA d umaul/Re 粘性力惯性力低雷诺数粘性流动 平板

9、边界层 外流速度 距前缘距离 钝体绕流 来流速度 截面宽度 圆管流动 平均流速 管直径 u l 1Re 2300R er 区分粘性流动层流与湍流态 1Re 边界层外无粘流 边界层内以 为界区分层流与湍流态 5er 1050R 第五节 量纲分析与相似原理 2. Fr 数 (弗鲁德 数 ) gLugLtuL 233 /Fr 重力惯性力明渠流 平均流速 水深 水面船舶 船舶速度 船长 u L Fr 数是描述具有自由液面的液体流动时最重要的无量纲参数。如水面船舶的运动和明渠流中的水流。 第五节 量纲分析与相似原理 gLuFr或 3. Eu 数 (欧拉数 ) p 可以是某一点的特征压强，也可以是两点的压

10、强差； u 为特征速度， 为流体密度。在描述压强差时， Eu数常称为压强系数 2u21pCp当在液体流动中局部压强低于当地蒸汽压强 pv 时， Eu 数又称为空泡数或空蚀系数 2u21pp v 第五节 量纲分析与相似原理 2upEu 惯性力 压力4 Sr数（斯特哈尔数） ulSr l 为特征长度， u 为特征速度， 为脉动圆频率。 Wo数（沃默斯利数） lWo v 为流体的运动粘度系数， Wo 数也称为频率参数表示不定常惯性力与粘性力之量级比 ,用于描述粘性流体脉动流特征。 第五节 量纲分析与相似原理 5 Ma数（马赫数） Ma = u / c u 为特征速度， c 为当地声速。 6 We 数

11、（韦伯数） luWe 2表面张力惯性力为液体的表面张力系数。 We数表示惯性力与表面张力之量级比，研究气液，液液及液固交界面上的表面张力作用。 第五节 量纲分析与相似原理 7 Ne 数（牛顿数） F 为外力， Ne 数表示外力与流体惯性力之量级比，用于描述运动物体在流体中产生的阻力、升力、力矩和（动力机械的）功率等等影响。分别称为 惯性力外力22 luFNe22 lV21DCD阻力系数 升力系数 22 lV21LCL力矩系数 32 lV21MCM动力系数 3523 nDPlVPCP （ D 为动力机械旋转部件的直径， n 为转速。） 第五节 量纲分析与相似原理 1. 什么是模型实验？ 5.6

12、模型实验与相似原理 5.6.1 模型实验 模型实验通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物理现象的实验。实际发生的现象被称为原型现象，模型实验的侧重点是再现流动现象的物理本质；只有保证模型实验和原型中流动现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。 2为什么要进行模型实验？ 科学研究和生产设计需要做模型实验 ； 并不是所有的流动现象都需要做模型实验。做理论分析或数 值模拟的流动现象都不必模拟实验。 并不是所有的流动现象都能做模型实验。只有对其流动现 象有充分的认识，并了解支配其现象的主要物理法则，但 还不能对其作理论分析或数值模拟的原型最适合做模型实验。 第五节 量纲分析与相似原理 5.6.2 相似原理 原型现象的 数方程： 1 = f (2, 3, n ) 模型现象的 数方程： 1m = f (2 m, 3 m, n m ) 2 m=2， 3 m= 3， ， n m= n 相似条件： 相似结果： 1= 1 m 由支配流动现象的主要物理法则导出的相似准则数，称为主相似准则数，或简称 为主 数 。 相似理论和实践经验表明：在几何相似的条件下，保证模型和原型现象中的主 数相等，就能保证模型和原型现象相似，并使除主 数外的其他相关 数也相等。 第五节 量纲分析与相似原理 5.6.3 流动相似 第五节 量纲分析与相似原理 相似：同类物理现象，如果满足几何相似、运动相