第2章数学模型(1)

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1、第2章 数学模型,2.0 前言,为了从理论上对控制系统进行性能分析，首先要建立系统的数学模型； 定义：系统的数学模型，是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系；,数学模型形式：,时间域：微分方程； 实例： 复数域：传递函数； 实例：,频率域：频率特性； 实例： 还有图形表示法：方块图（或方框图、结构图、动态结构图）,建立系统数学模型方法：,解析法建摸 根据系统及元件各变量之间所遵循的物理学定律，理论推导出变量间的数学关系式，从而建立数学模型（本章讨论）。 实验法建摸 根据实验的方法建摸（第4章讨论）。,21 控制系统的运动微分方程

2、,工程中的控制系统，不管它是机械的、电气的、液压的、气动的，还是热力的、化学的，其运动规律都可以用微分方程加以描述； 用解析法建立系统或元件的数学模型就是从列写它们的运动微分方程开始 求解微分方程 获得系统在输人作用下的输出响应。,2.1.1 建立数学模型的一般步骤,(2)从系统的输入开始，按照信号传递变换 过程，依据各变量所遵循的物理学定律， 依次列写出各元件、部件的动态微分方程；,用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤是： (1) 分析系统的工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；,(3) 消去中间变量，得到一个描述元件或系统输人、输出变量之间关系的微分方程； (4

3、) 写成标准化形式（将与输入有关的项放在等式右侧，与输出有关的项放在等式的左侧， 且各阶导数项按降幂排列）。,212 控制系统微分方程的列写,任何机械系统的数学模型都可以应用牛顿定律来建立。机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可以使用质量、弹性和阻尼三个要素来描述。,1.机械系统, 机械平移系统（图21所示）,m、K、B分别表示质量、弹簧刚度和粘性阻尼系数；,输入量、,输出量,根据牛顿第二定律，有：,由阻尼器、弹簧的特性， 可写出：,由以上三个式子，消去 和 ，并写成标准形式，得：,note: 说明机械平移系统的数学模型 是一个“二阶常系数线性微分方程 ”。,当质量m很小可忽略不计时，系统由

4、并联的弹簧和阻尼器组成，如图22所示。此时：,note: 说明m不计时机械平移系统的数学模型是一个“一阶常系数线性微分方程 ”。 说明，同一系统由于简化程度的不同，可以有不同的数学模型。, 机械旋转系统（下图所示）, 为输入、 为输出。此时它加给旋转体的扭矩为 ，则：,扭矩平衡方程：,由以上三式整理可得机械旋转系统 运动微分方程,2电气系统, 为输入、 为输出。,根据基尔霍夫定律，有：, 实例1,消去中间变量i(t)，稍加整理，即得,note: 说明电气系统的数学模型是一个“二阶常系数线性微分方程 ”。,若L0，系统也可简化为一阶常系数微分方程，如下：, 实例2,有源电网络如图2.5所示，设u

5、i为输入，uo为输出。 根据“运放”电路特点，有：,3.流体系统,如图2.6所示,设 输入量 qi(t)/流入箱体的流量； 输出量 H(t)/液面高度。 根据流体连续方程，可得,式中：A箱体截面积,结论:物理本质不同的系统，可以有相同的 数学模型。 反之，同一数学模型可以描述物理性质完全 不同的系统。,note: 分析式(2.1)和式(2.3) 可以看出：描述 系统运动的微分方程的系数都是系统的结构参数及其组合，这就说明系统的动态特性是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。, 以上表明：按描述系统运动的微分方程， 可将系统分成线性系统和非线性系统两类；, 用线性微分方程描述的系统，称为线性系

6、统。如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统；如果方程的系数不是常数，而是时间t的函数，则称为线性时变系统；, 用非线性微分方程描述的系统称为非线性系统，非线性系统一般不能应用叠加原理；, 线性系统的特点是具有线性性质，即服从 叠加原理。 这个原理是说，多个输入同时作用于线性系统 的总响应，等于各个输入单独作用时产生的响 应之和；,总之, 工程实践中，可实现的线性定常系统，均能用n阶常系数线性微分方程来描述其运动特性；, 设系统的输入量为xi(t)，输出量为xo(t)，则单输入单输出n阶系统常系数线性微分方程的一般形式：,22 拉氏变换和反变换,“控制理论基础”所涉及到的数学问题有: _（拉普

7、拉斯变换和复数） 求解线性微分方程 采用拉普拉斯正反变换就可实现；,功能： 拉普拉斯变换可将微积分运算转化为代数运算； 拉普拉斯变换能够把描述系统运动状态的微分方程很方便地转换为系统的传递函数。,221 拉氏变换的定义,函数f(t)的定义域为 t0 ，那么f(t)的拉普拉斯变换定义为：,1单位阶跃函数1(t)的拉氏变换,实例：求f(t)=k的拉氏变换，记作:F(S)=Lk,解：,所以,同理,实例：求f1(t)=2sin(t)和f2(t)=2cos(t) 的拉氏变换,4. 单位脉冲函数(t)的拉斯变换,单位脉冲函数的数学表达式为:, 其拉氏变换式为:,泰勒级数,5单位速度函数的拉氏变换, 单位速

8、度函数又称单位斜坡函数，其数学表达式为:,6单位加速度函数的拉氏变换, 单位加速度函数的数学表达式为, 其拉氏变换式为,2.2.3 拉氏变换的主要定理,1叠加定理 拉氏变换也服从线性函数的齐次性和叠加性。,实例：f1(t)=sin2t、f2(t)=cos3t 求f(t)=3 f1(t)+ f2(t)的拉氏变换,2微分定理,3复微分定理（略）,4积分定理,5延迟定理,6位移定理,7初值定理,8.终值定理,设 Lf(t)=F(S)，并且 存在，则,即原函数的终值等于S乘以象函数的初值,9卷积定理,224 拉氏反变换,拉普拉斯反变换的公式为,1部分分式展开法,2.2.5 应用拉氏变换解线性微分方程,

9、对于线性定常系统，传递函数是常用的数学模型，它是在拉氏变换的基础上建立的。, 对于线性定常系统，在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。,实例分析,P12,式（2.47）和（2.49）表明： 传递函数是复数s域中系统的数学模型，它仅取决于系统本身的结构及参数，而与输入的形式无关。,基本结论 传递函数的基本思想：传递函数是通过系统的输入量与输出量之间的关系来描述系统固有特性的，即以系统的外部特性来揭示系统的内部特性。, 从微分方程可以求得传递函数,233 关于传递函数的几点说明,(1) 传递函数是经拉氏变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算，

10、因此传递函数的概念只适用于线性定常系统。 (2) 传递函数中各项系数值和相应微分方程中各项系数对应相等，完全决定于系统的结构参数。 (3) 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点是处于相对静止状态的。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律。,(4) 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，所以只适合于单输入单输出系统的描述，而且系统内部的中间变量的变化情况，传递函数也无法反映。,2.3.4 典型环节及其传递函数, 控制系统一般由若干元件以一定形式连接而成的。, 在控制工程中，常常将具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部

11、分称为一个环节，经常遇到的环节则称为典型环节。这样任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节组成。,1环节的分类, 传递函数这种表达式含有六种不同的因子，一般说来，任何系统都可以看作这六种因子表示的环节的串联组合，这六种因子就是前面提到的典型环节。, 典型环节:比例环节、一阶微分环节、二阶微分环节、积分环节、惯性环节、振荡环节、延迟环节,2典型环节示例,(1) 比例环节, 微分方程：, 传递函数：,实例1.齿轮传动副, 实例：,实例2.运算放大器,(2) 惯性环节, 微分方程：, 传递函数：, 实例：,实例：弹簧阻尼器组成的环节,(3)理想微分环节, 微分方程：, 传递函数：, 实例：,实例1.测速发电机,实例2.无源微分电网络,(4) 积分环节, 微分方程：, 传递函数：, 实例：,实例.电枢控制式小功率电动机,(5)振荡环节, 微分方程：, 传递函数：, 实例：,注意：仅当01时，二阶系统可理解为两个惯性环节串联。,(6)二阶微分环节, 微分方程：, 传递函数：,(7) 延迟环节, 微分方程：, 传递函数：,第二章 待续,thank you！,