《a-对象在一阶逻辑中的引入及其语义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《a-对象在一阶逻辑中的引入及其语义（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、A-对象在一阶逻辑中的引入及其语义哲学系逻辑学04硕 臧勇 10423029一、问题的产生集合论中，我们熟悉的一个定理是“所有良序集都同构于一个唯一的序数”，我们进行论证，通常是采取这种方式“任取一个良序集，按如下方式构造一个与其同构的序数”，然后经过一系列的步骤，完成这个论证。再例如下面这个常见的例子。设想在欧氏几何中我们要证明“所有的三角形其内角和都是180度”，我们会按如下步骤进行：设ABC是一个三角形，然后画出辅助线，并依据平行线公理，证得ABC内角和是180度，然后得出结论“所有三角形其内角和都是180度”。一般的，在数学论证中，面对一个全称命题，我们经常会采用这种方式展开：要证对所
2、有对象P成立，任取一个对象a，然后经过一段论证，得到Pa，则得出结论对所有对象成立。这里自然会引发出一系列的问题，比如：这里的ABC是什么？是否是某个三角形的专名（proper name）？还是三角形这个类的通名？直观上看来，这个ABC指某个三角形，但又不指一个特定的、带有特殊性质的三角形这里涉及的是一个“任意的”三角形，否则我们无法从它做出全称概括。那么，这样的任意三角形是什么？它属于三角形的类吗？一般而言，一个与某个类相关的任意对象是什么？在对这些问题展开讨论以前，先介绍一个带有A-对象（arbitrary objects）的一阶逻辑系统，以求对问题有进一步的了解。这个系统把“任意的某某”
3、作为语义上的对象来处理。准确地说，这是一个带有A-名字的一阶逻辑系统，作为语义的A-对象，在语法系统中表现为A-名字（A-names）或者A-字母（A-letters），具体内容如下。二、一个引入A-名字的一阶逻辑系统Lemmon在其逻辑初步（1981）中，构造了一个带有A-名字的一阶逻辑系统。其基本构造如下在：首先，引入专名(proper name)，标记如下：m，n，。其次，引入A-名字（arbitrary name），标记如下：a，b，c，。第三，引入个体变元（individual variable），标记如下：x，y，z，。第四，引入谓词符号（predicate-letter），标记如
4、下：F，G，H，。第五，引入存在量词符号$。第六，定义一个项（term）为一个专名或A-名字。第七，定义一个符号（symbol）为一个括号，逻辑联结词，项，个体变元，谓词符，或者存在量词符。第八，定义公式（formula）为任一符号序列（any sequence of symbols）。完成这几个步骤以后，就需要对合式公式（well-formed formula）进行定义。为此，作者先对原子句（atomic sentence）进行了定义。在元语言意义上，P是一个n元谓词，t1，,tn是n个项，则Pt1tn称为一个原子句。注意，按此定义，以前我们熟悉的Fx不是原子句，因为个体变元x不是项。由此，
5、可以归纳定义合式公式如下：基始条件：任何原子句都是合式公式。归纳条件：1.若A式合式公式，则A是合式公式。2.若A和B是合式公式，则(AB),(AB),(AB),(AB)是合式公式。3.若A(t)是包括一个项t的合式公式，v是在A(t)中不出现的变元，A(v) 是取代A(t)中至少一处t后得到的公式，则(v)A(v)是合式公式。4.若v是某个体变元，A(v)是3中的公式，则($v)A(v)是合式公式。封闭条件：除去以上方式以外得到的公式，都不是合式公式。根据上面的规定，按3或者4，(x)(FxGx)或者($x)(FxGx)即可视为由某FaGa经过替换得到的合式公式。其中(x)即通常意义上的全称
6、量词，($x)即通常意义上的存在量词。公式序列、推演和其他推导规则同命题逻辑中自然推演系统里的规定，此处不再详举。现在我们着重要了解的是其特殊的一阶推导规则。一共有四条规则，分别是全称消去UE，存在引入EI，全称引入UI，和存在消去EE，分别如下：UE和EI：($v) A(v)是一个公式，t是一个项，A(t)是用t取代A(v)中所有并且只是v出现后得到的公式，则给定(v)A(v)，按照UE，我们可以得到A(t)。类似地，若给定A(t)，我们可以得到($v)A(v)。UI和EE：若A(e)是一个带A-名字e的合式公式，v是不出现在A(e)中的变元，A(v)是用v取代A(e)中所有并且只是e出现后
7、得到的公式，则给定A(e)，并且e不在A(e)所依赖的假设中出现，那么按照UI，我们可以得到(v)A(v)。类似地，给定($v)A(v)，和以A(e)为假设由某个证明得到的一合式公式C，若e不在C中或C依赖的除A(e)外的其他假设中出现，那么按照EE，我们可以得到C。关于此的日常意义上的用合取、析取进行的解释，见Lemmon前面叙述。后面在对公式和推理进行真和有效性的判断时，Lemmon的这一系统特征会帮助我们理解合式公式的语义解释。并且后面用语义学分析一阶逻辑系统时，会提供一个很好的自然推理系统的例子。这点我们后面会再提及。三、A-对象的引入带来的相关哲学讨论Lemmon的系统引入了A名字，
8、这种引入的合理性是什么？A名字所代表的A对象，以及文章开始提到的数学推理中普遍使用的A对象，其特征是什么？有没有导致“如无必要，勿增实体”的奥康式的担忧？A对象要符合怎样的原则？有没有引发更多的问题？ 首先，我们要分析A对象是否存在；若存在，在什么意义上存在。数学推理中的经验似乎告诉我们A对象是存在的，或弱一些说，我们在进行推理时预设了A对象的存在，只有如此，在一阶系统中引入A名字才有其合理性与可行性。那么，我们说“一个任意的集合”或“一个任意的三角形”时，其指称是什么？A对象或“任意型对象”是否是客观实在的？我们认为，当谈论A对象时，我们是在唯名论意义上讲的，A对象是抽象体，不是经验观察意义
9、上的存在对象，而是依赖理智把握的抽象对象。这与奥康似的唯名论者的立场并没有不同，因此，不是说在具体的数一张张桌子时，突然数到一张“任意的桌子”，或者在列举一个个三角形时，突然列举出一个“任意的三角形”。A对象并不是在这个意义上存在，而只是作为某一个域或者某一个类上的一个具有普遍代表性的对象存在，它并不与其代表的域或类下面的个体对象具有同样的地位。倘若不区分这两者的本体论意义的不同，则引入A对象就失去了必要性和合理性。回答了A对象的存在问题，则要进一步解决的问题是，A对象要复合的基本原则是什么?设a是一个A对象，当我们说(a)时，它与其代表的某范围之下的个体属性(i)是什么？一般地，我们会认为任
10、一A对象，若其域（range）之下的所有个体拥有某些共同属性，那么该对象也应该拥有这些属性。Kit Fine把这一原则称为“通有属性原则”（the principle of generic attribution）。但是，这一原则究竟如何清楚地描述，还需要进行分析。若(x)是一个带有变元x的某属性，a是一A对象，i是在a代表的域之下的变元，则我们通常会认为上述通有属性原则应这样表达：(a)i(i)，不妨把这一表达式称为G1，但是这种表达会带来问题，例如，令Ex代表“x是偶数”这一谓词，我们用一任意对象a来替代Ex中的x得到Ea，依据G1原则，有EaiEi。但并非所有数都是偶数，所以iEi，这样
11、会导致Ea，所以会出现矛盾。因此G1这一等值原则需要修改。我们看到，G1不能恰当表达这一原则，下面采取另外一种表达G2：(a)真当且仅当i(i)真，或者用G2：a满足(x)当且仅当该域之下的每个i满足 (x)。这样一来，G1原则导致的问题就会消失，事实上这才是“通有属性原则”的合适表达：只有所有个体共同具有的属性，才被A对象所具有。后者依赖于前者，而G1原则的表达方式，使得依赖关系变成了双向关系，个体对象与A对象相互依赖。所以G1并不能正确表示A对象和个体之间的关系。但是G2会不会遭到反驳呢？比如，若(x)表示“x是个别数字”,那么i(i)成立，即“每一个别数字都是个别数字”，但是(a)并不成
12、立，因为a不是“个别数字”。因此这里需要对G2再做出限制。即有G3：对于通有属性(x)，(a)真当且仅当i(i)真。上面分析了A对象的存在和与个体变元的关系。但还有另外的问题需要解决。例如，A对象有没有范围？A对象之间是否有同一性？A对象的基数是多少？其中，对第一个问题的回答是肯定的，A对象有其范围。例如代数证明中我们会提到“任一奇数”或者“任一偶数”，因此需要区分不同的A对象，它们分别限制到其值域中的不同部分。对于第二个问题，要提供A对象的同一性标准，需要对A对象之间的关系进行进一步的刻画。第一个问题刚回答了不同的A对象有不同的范围，那么不同的A对象之间可能存在相互依赖的关系，这涉及到如何对
13、A对象进行赋值指派，以及依赖关系如何描述。例如，a、b是两任意数字，且又有a=b,则在对a、b进行赋值指派i、j时，i、j需要满足i=j，且要保证同时指派（simultaneous assignment）；从这里我们也看到，两个A对象a、b之间存在着一种平方关系R，a的取值范围依赖于b的取值范围。有了这两个条件，我们就可以提供一个明确的同一性标准。具体如下：如果A对象是独立的，即其取值范围不依赖于其他A对象，则两个A对象a、b同一当且仅当a、b的取值范围相同。如果A对象是依赖于其他A对象，则两个A对象a、b同一，当且仅当：1.a、b依赖于同样的A对象2.依赖方式相同。这里的同一性标准类似于代数
14、中我们规定两个函数f、g同一当且仅当：1.其定义域相同，2.运算方式相同。上面我们看到，不同A对象之间会存在依赖关系，这使得前面提到的G3原则需要修改，以容纳这一特征，具体扩展如下：G4：若(x1,x2,xn)是一不包含A名字的通有属性，则(a1,a2,an)为真，当且仅当对于所有a1,a2,an的可能指派i1,i2,in来说，(i1,i2,in)为真。至此，我们分析了关于A对象的引入引发的哲学讨论，并且在直观的意义上分析了涉及A对象的其他问题，包括A对象需要满足的原则，A对象的范围，和A对象相互之间的同一性问题。下面我们将对此进行系统地表达，来构造包括A对象的模型。四、A-对象的语义解释及扩展后的语义模型给定一个一阶语言L，包含谓词符，还可能包括个体常项，函数符或等词。一般地，我们会构造一个模型M，包括个体域I，对非逻辑符号的解释，即形如M=(I，)，这里我们把这种模型称为古典模型（classical model）。在此基础上
