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1、解决平面向量问题“五技巧”平面向量具有“数”和“形”的“双重身份”，是数形结合的典范准确把握平面向量的概念与运算，正确理解向量的几何意义，充分发挥图形的直观作用，挖掘“式”和“形”中隐含的几何关系和数量关系，这样才能较好地解决平面向量问题在熟练掌握解决平面向量问题的通性通法的基础上，还要体味如何巧解平面向量问题，下面的“五巧”要尽量掌握一、巧用向量中点公式在平面内，设点为线段的中点，为任意一点，则例1（2011年高考上海卷文18）设是平面上给定的4个不同点，则使成立的点的个数为（ ）A0 B1 C2 D4分析：由条件得，联想向量中点公式进行简化得（其中为线段的中点，为线段的中点），进而得到为的
2、中点，问题即可获解解：设为线段的中点，为线段的中点，由条件得，即，所以向量与是相反向量，且共用起点，所以为的中点，所以点的个数是唯一的，选B点评：利用向量中点公式对条件向量等式进行简化，化归为熟知的问题，简捷获解【牛刀小试】（赣州市2011届高三摸底考试）在长方形中，为的中点，若是线段上动点，则的最小值是_（解：由题意得因为为的中点，所以，设（），则，故所求最小值为）二、巧用例2（2011年高考上海卷理11）在正三角形中，是上的一点，则_分析：欲求，而、虽然可以利用条件求出，但是显得繁琐；注意到，作垂足为，则可将转化为，可快速获解解：如图，过点作垂足为，则点评：利用结合问题的特征（数量、图形）
3、，数形结合，将要求解的目标进行转化，利于沟通条件而快捷获解【牛刀小试】（2011年高考湖南卷理14）在边长为1的正三角形中，设，则_（解：依题意为的中点，所以）三、巧用平面内三点共线的充要条件平面内三点共线（）对平面内任意一点，使得（其中，）例3（2011届北京市东直门学校第二次月考）已知是平面上不共线的三点，为的外心，为的中点，动点满足()，则点的轨迹一定过的（ ）A内心 B外心 C重心 D垂心分析：审视条件向量等式，有，问题即可获解解：因为，所以三点共线又为的中点，所以点的轨迹一定过的重心，选C点评：利用平面内三点共线的充要条件快捷揭去条件向量等式的“包装”露出三点共线这个“内核”，问题迎
4、刃而解【牛刀小试】（哈尔滨市2011届高三第二次月考试题）如图，在中，于，为的中点，若，则_（解：因为为的中点，三点共线，所以，所以，所以）四、巧用常用结论（1）三角形四心的向量表示：在中，角所对的边分别为，为外心；为重心；为垂心；为内心（2）（简化为）所在的直线一定通过的内心（即为的角平分线）；（3）所在的直线一定通过的重心；（4）（简化为，可证得）所在直线一定通过的垂心例4（上海市浦东新区2011届高三质量抽测）点在所在平面内，给出下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）则点依次为的（ ）A内心、外心、重心、垂心 B重心、外心、内心、垂心C重心、垂心、内心、外心 D外心、内心、垂心、重心
5、分析：根据熟知的结论可排除选项A、B、D，选C解：（1）显然为的重心；（2）显然为的垂心；（3）设，则、都为单位向量且分别与、同向共线由得，所以，所以是的平分线；同理由得到是的平分线，所以为的内心（4）设为的中点，由得，所以，所以是的垂直平分线同理由得到点在线段的垂直平分线上，所以为的外心点评：熟记一些重要而常用的小结论，对解决数学问题是很有益的，或者可以开启解题思路，或者可以直接用于解题赢得考试时间【牛刀小试】（安徽蚌埠二中2011届高三第四次质量检测题）已知所在平面上的动点满足，则点的轨迹过的（ ）A内心 B垂心 C重心 D外心（解：由已知得，即，所以，设的中点为，则，所以，所以，所以动点
6、在的垂直平分线上，所以点的轨迹过的外心，选D）五、巧构图形1构图求向量夹角的取值范围例5（2011年高考课标全国卷理10）已知与均为单位向量，其夹角为，有下列命题： ： ： ：其中真命题是A B C D分析：利用向量的三角形法则分别表示、，固定而让旋转，观察角如何变化结合条件即可确定相应的取值范围解：如图（1），当绕着点逆时针旋转时，增大，减小，当时为正三角形，易知如图（2），当绕着点逆时针旋转时，增大，增大，易知，故选A点评：向量具有“数”和“形”的双重特征，利用向量的三角形法则和运动思想，研究相应条件下的取值范围，解法新颖独特，直观快捷（只画图让图在大脑中运动并抓临界值即可获解）【牛刀小试
7、】（2011年高考浙江卷理14）若平面向量、满足，且以向量、为邻边的平面四边形的面积为，则向量与的夹角的取值范围为_（解：如图，在单位圆中，取半径，设，作交圆于点，取的中点，过点作的平行线交单位圆于点设，当点在线段（含两个端点）上时满足，且以向量、为邻边的平面四边形的面积为，易知，所以）2求向量的模的最值例6（2011年高考天津卷理14）已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为_分析：构图时自然是从直角梯形内的向量图形出发，扣住的特点设法用一个向量三角形来描述转化为即，点在上运动时，动点在直线上的投影点到点的距离为2，动点在直线上的投影点到点的距离为3，于是获得构图思路解：作出直角梯形，延长
8、至点使得，过点作延长至点，使得，过点作，交的延长线于点，如图由，易知延长交于点，延长交于点，则当点向点靠近时，点向上运动，点向下运动，当即时，此时取得最小值，所以的最小值为点评：依据的特点及已知条件进行，充分利用平面几何知识巧妙构图，数形结合在运动中探索的最小值【牛刀小试】（2011年高考辽宁卷理10）若，均为单位向量，且，则的最大值为（ ）A B C D（解：因为，均为单位向量，且，所以构造单位圆，如图，使得，又，所以，所以只能在内或者与（或）重合作，则，所以当点在线段上时取得最小值，当点远离与单位圆的交点而向点（或点）靠近的过程中增大，特别的当点与点或点重合时（满足），取得最大值，故选B）充分挖掘向量的代数运算和几何意义（性质）之间的关系是掌握向量数学本质的关键，相关的平面几何知识是解决平面向量问题的重要辅助工具，数形结合、转化与化归、动静结合（包含简化）等数学思想则为解决平面向量的指路明灯
