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1、双曲线及其标准方程,1. 椭圆的定义,2. 引入问题：,复习,|MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0),如图(A)，,|MF1|-|MF2|=常数,如图(B)，,上面 两条合起来叫做双曲线,由可得：,| |MF1|-|MF2| | = 常数 （差的绝对值）,|MF2|-|MF1|=常数,双曲线在生活中 ., 两个定点F1、F2双曲线的焦点;, |F1F2|=2c 焦距.,（1）2a |F1F2| ；,平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线.,（2）2a 0 ；,双曲线定义,思考：,（1）若2a= |F1F2|,则轨迹是？,（2）若2
2、a |F1F2|,则轨迹是？,说明,（3）若2a=0,则轨迹是？,| |MF1| - |MF2| | = 2a,(1)两条射线,(2)不表示任何轨迹,(3)线段F1F2的垂直平分线,如何建立适当的直角坐标系？,原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.), 探讨建立平面直角坐标系的方案,方案一,(对称、“简洁”),求曲线方程的步骤：,双曲线的标准方程,1. 建系.,以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系,2.设点,设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0),3.列式,|MF1| - |MF2|
3、=2a,4.化简,此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程,若建系时,焦点在y轴上呢?,看 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上,2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?,1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？,问题,| |MF1|-|MF2| | =2a（ 2a|F1F2|）,F ( c, 0) F(0, c),F（c，0）,F（c，0）,a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,ab0，a2=b2+c2,双曲线与椭圆之间的区别与联系,|MF1|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,F（0，c）,F（0，c）,1. 过双曲线 的焦点且垂直x轴的弦的长度 为 .,2. y2
4、-2x2=1的焦点为 、焦距是 .,练习巩固:,3.方程(2+)x2+(1+)y2=1表示双曲线的充要条件 是 .,-2-1,方程表示的曲线是双曲线,方程表示的曲线是双曲线的右支,方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点， 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。,练习巩固:,题型二 利用双曲线的定义求轨迹问题 动圆M与圆C1：(x3)2y29外切，且与圆C2：(x3)2y21内切，求动圆圆心M的轨迹方程,【名师点评】 利用定义法求双曲线的标准方程，首先找出两个定点(即双曲线的两个焦点)；然后再根据条件寻找动点到两个定点的距离的差(或差的绝对值)是否为常数，这样确定c和a的值，再由c2a2b2
5、求b2，进而求双曲线的方程,课本例2,使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合,解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.,例3.(课本第54页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.,如图所示，建立直角坐标系xOy,设爆炸点P的坐标为(x,y)，则,即 2a=680，a=340,因此炮弹爆炸点的轨迹方程为,答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声
6、的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.,例2:如果方程 表示双曲线，求m的取值范围.,解:,【名师点评】 双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据，在应用时，一是注意条件|PF1|PF2|2a(02a|F1F2|)的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正、余弦定理，同时要注意整体运算思想的应用,跟踪训练,1对双曲线定义的理解 双曲线定义中|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)，不要漏了绝对值符号，当2a|F1F2|时表示两条射线 解题时，也要注意“绝对值”这一个条件，若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双
7、曲线的一支,2双曲线方程的求法 求双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”“定位”是指除了中心在原点之外，判断焦点在哪个坐标轴上，以便使方程的右边为1时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为负，“定量”是指确定a2，b2的值，即根据条件列出关于a2和b2的方程组，解得a2和b2的具体数值后，再按位置特征写出标准方程,易错警示 双曲线定义运用中的误区,【常见错误】 (1)利用双曲线定义|PF1|PF2|8求|PF2|时，易忽略绝对值号，而错选A. (2)根据双曲线的定义可得到答案C，但由于双曲线上的点到双曲线焦点的最小距离是ca642，而|PF2|12，不合题意，所以应该舍去，造成错误的原因是忽略双曲线的相关性质，没有检验|PF1|PF2|10|F1F2|造成的,【解析】 双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得 |PF1|PF2|8， 所以|9|PF2|8， 所以|PF2|1或17. 因为|F1F2|12，当|PF2|1时， |PF1|PF2|10|F1F2|， 不符合公理“两点之间线段最短”，应舍去 所以|PF2|17. 【答案】 B,【失误防范】 运用双曲线的定义解决相关问题时，(1)不能忽略“绝对值”号，以免造成漏解，(2)求出解后，要注意检验根的合理性，以免出现增根,跟踪训练,* * * * * * 小结 * * * * * *,
