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1、中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第18讲)生活中的数学第十八讲 生活中的数学 储蓄、保险、纳税是最常见的有关理财方面的数学问题，几乎人人都会遇到，因此，我们在这一讲举例介绍有关这方面的知识，以增强理财的自我保护意识和处理简单财务问题的数学能力 一储蓄银行对存款人付给利息，这叫储蓄存入的钱叫本金一定存期(年、月或日)内的利息对本金的比叫利率本金加上利息叫本利和利息=本金利率存期，本利和=本金(1+利率经存期)如果用p，r，n，i，s分别表示本金、利率、存期、利息与本利和，那么有i=prn，s=p(1+rn)例1 设年利率为0.0171，某人存入银行2000元，3年后得到利息多少元？本利和为多少元
2、？解 i=20000.01713=102.6(元)s=2000(1+0.01713)=2102.6(元)答 某人得到利息102.6元，本利和为2102.6元以上计算利息的方法叫单利法，单利法的特点是无论存款多少年，利息都不加入本金相对地，如果存款年限较长，约定在每年的某月把利息加入本金，这就是复利法，即利息再生利息目前我国银行存款多数实行的是单利法不过规定存款的年限越长利率也越高例如，1998年3月我国银行公布的定期储蓄人民币的年利率如表221所示用复利法计算本利和，如果设本金是p元，年利率是r,存期是n年，那么若第1年到第n年的本利和分别是s1，s2,，sn，则s1=p(1+r)，s2=s1
3、(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2，s3s2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3，sn=p(1+r)n例2 小李有20000元，想存入银行储蓄5年，可有几种储蓄方案，哪种方案获利最多？解 按表221的利率计算(1)连续存五个1年期，则5年期满的本利和为20000(1+0.0522)525794(元)(2)先存一个2年期，再连续存三个1年期，则5年后本利和为20000(1+0.05582)(1+0.0522)325898(元)(3)先连续存二个2年期，再存一个1年期，则5年后本利和为20000(1+0.05582)2(1+0.0552)26003(元)(4)先存一
4、个3年期，再转存一个2年期，则5年后的本利和为20000(10.06213)(1+0.05582)26374(元)(5)先存一个3年期，然后再连续存二个1年期，则5年后本利和为20000(1+0.06213)(1+0.0522)226268(元)(6)存一个5年期，则到期后本利和为20000(1+0.06665)26660(元)显然，第六种方案，获利最多，可见国家所规定的年利率已经充分考虑了你可能选择的存款方案，利率是合理的例3 小华是独生子女，他的父母为了给他支付将来上大学的学费，从小华5岁上小学前一年，就开始到银行存了一笔钱，设上大学学费每年为4000元，四年大学共需16000元，设银行在
5、此期间存款利率不变，为了使小华到18岁时上大学本利和能有16000元，他们开始到银行存入了多少钱？(设1年、3年、5年整存整取，定期储蓄的年利率分别为5.22，6.21和6.66)解 从5岁到18岁共存13年，储蓄13年得到利息最多的方案是：连续存两个5年期后，再存一个3年期设开始时，存入银行x元，那么第一个5年到期时的本利和为x+x0.06665x(1+0.06665)利用上述本利和为本金，再存一个5年期，等到第二个5年期满时，则本利和为x(1+0.06665)+x(1+0.06665)0.06665=x(1+0.06665)2利用这个本利和，存一个3年定期，到期时本利和为x(1+0.066
6、65)2(1+0.06213)这个数应等于16000元，即x(1+0.06665)2(1+0.06213)=16000，所以 1.7771.186x=16000，所以 x7594(元)答 开始时存入7594元.二保险保险是现代社会必不可少的一种生活、生命和财产保护的金融事业例如，火灾保险就是由于火灾所引起损失的保险，人寿保险是由于人身意外伤害或养老的保险，等等下面举两个简单的实例例4 假设一个小城镇过去10年中，发生火灾情况如表222所示试问：(1)设想平均每年在1000家中烧掉几家？(2)如果保户投保30万元的火灾保险，最低限度要交多少保险费保险公司才不亏本？解 (1)因为1+0+1+2+0
7、+2+1+2+0+2=11(家)，365+371+385+395+412+418+430+435+440445=4096(家)1140960.0026(2)3000000.0026=780(元)答(1)每年在1000家中，大约烧掉2.6家(2)投保30万元的保险费，至少需交780元的保险费例5 财产保险是常见的保险假定A种财产保险是每投保1000元财产，要交3元保险费，保险期为1年，期满后不退保险费，续保需重新交费B种财产保险是按储蓄方式，每1000元财产保险交储蓄金25元，保险一年期满后不论是否得到赔款均全额退还储蓄金，以利息作为保险费今有兄弟二人，哥哥投保8万元A种保险一年，弟弟投保8万元
8、B种保险一年试问兄弟二人谁投的保险更合算些？(假定定期存款1年期利率为5.22)解 哥哥投保8万元A种财产保险，需交保险费8000010003=803=240(元)弟弟投保8万元B种财产保险，按每1000元交25元保险储蓄金算，共交80000100025=2000(元)，而2000元一年的利息为20000.0522=104.4(元)兄弟二人相比较，弟弟少花了保险费约240-104.4=135.60(元)因此，弟弟投的保险更合算些三纳税纳税是每个公民的义务，对于每个工作人员来说，除了工资部分按国家规定纳税外，个人劳务增收也应纳税现行劳务报酬纳税办法有三种：(1)每次取得劳务报酬不超过1000元的
9、(包括1000元)，预扣率为3，全额计税(2)每次取得劳务报酬1000元以上、4000元以下，减除费用800元后的余额，依照20的比例税率，计算应纳税额(3)每次取得劳务报酬4000元以上的，减除20的费用后，依照20的比例税率，计算应纳税额每次取得劳务报酬超过20000元的(暂略)由(1)，(2)，(3)的规定，我们如果设个人每次劳务报酬为x元，y为相应的纳税金额(元)，那么，我们可以写出关于劳务报酬纳税的分段函数：例6 小王和小张两人一次共取得劳务报酬10000元，已知小王的报酬是小张的2倍多，两人共缴纳个人所得税1560元，问小王和小张各得劳务报酬多少元？解 根据劳务报酬所得税计算方法(
10、见函数)，从已知条件分析可知小王的收入超过4000元，而小张的收入在10004000之间，如果设小王的收入为x元，小张的收入为y元，则有方程组：由得y=10000-x，将之代入得x(1-20)20+(10000-x-800)20=1560，化简、整理得0.16x-0.2x+1840=1560，所以0.04x=280，x=7000(元)则 y=10000-7000=3000(元)所以答 小王收入7000元，小张收入3000元例7 如果对写文章、出版图书所获稿费的纳税计算方法是其中y(x)表示稿费为x元应缴纳的税额那么若小红的爸爸取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到6216元，问这笔稿费是多少元？
11、解 设这笔稿费为x元，由于x4000，所以，根据相应的纳税规定，有方程x(1-20) 20(1-30)=x-6216，化简、整理得0.112x=x-6216，所以 0.888x=6216，所以 x=7000(元)答 这笔稿费是7000元练习二十二1按下列三种方法，将100元存入银行，10年后的本利和各是多少？(设1年期、3年期、5年期的年利率分别为5.22，6.21，6.66保持不变)(1)定期1年，每存满1年，将本利和自动转存下一年，共续存10年；(2)先连续存三个3年期，9年后将本利和转存1年期，合计共存10年；(3)连续存二个5年期2李光购买了25000元某公司5年期的债券，5年后得到本
12、利和为40000元，问这种债券的年利率是多少？3王芳取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到2580元，问这笔稿费是多少元？4把本金5000元存入银行，年利率为0.0522，几年后本利和为6566元(单利法)？四、地板砖展铺的图形地板砖展铺的图形，一般都是用几种全等的平面图形展铺开来的，有时用由直线构成的多边形组成的图案，有时用由曲线组成的图案，千变万化但是作为基础还是用平面多边形展铺平面有时虽然有曲线，却常常是由多边形和圆作适当变化而得到的例如，一个由正方形展铺的平面图案(图177(a)，如果对正方形用圆弧做一些变化(图177(b)，那么把以上两个图形结合起来设计，就可由比较单调的正方形图案，变
13、化曲线形成花纹图案了(图177(c)由于多边形是构成地板砖展铺复杂图形的基础，因此，下面我们对利用多边形展铺平面图形做些简要分析例1 怎样以三角形为基础展铺平面图案分析与解 三角形是多边形中最简单的图形，如果用三角形为基本图形来展铺平面图案， 那么就要考虑三角形的特点由于三角形的三个内角和为180，所以要把三角形的三个角集中到一起，就组成了一个平角如果要在平面上一个点的周围集中三角形的角，那么必须使这些角的和为两个平角因此，若把图178中的三角形的三个内角集中在一起，并进行轴对称变换或中心对称变换，就可以得到集中于一点的六个角，它们的和为360，刚好覆盖上这一点周围的平面变换的方法见图179在
14、中心对称的情况下，三角形不翻折，在轴对称的情况下，三角形要翻折如果把三角形正、反两面涂上颜色，那么通过对称变换，正、反两面就会明显地反映出来了由上面的分析可知，用三角形为基本图形展铺平面图案，共有以下四种情况，如图180例2 怎样以四边形为基础展铺平面图案？分析与解 由于四边形内角和为360，所以，任何四边形都可以作为基本图形来展铺平面图案图181中的(a)，(b)，(C)，(d)分别是以矩形、菱形、梯形、一般四边形为基本图形的平面展铺图案例3 怎样以正多边形为基本图形展铺平面图案？分析与解 用正多边形为基本图形展铺平面图案，集中于一点的周围的正多边形的各个角的和应是360例如，正五边形一个内角为正十边形一个内角为 如果把两个正五边形的内角与一个正十边形的内角加起来，则其和为2108+144=360但是它们并不能用来展铺平面如果用同种的正n边形来展铺平面图案，在一个顶点周围集中了m个正n边形
