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1、第1章 习题与上机题解答1. 用单位脉冲序列(n)及其加权和表示题1图所示的序列。 题1图解： x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+(n1)+2(n2)+4(n3)+0.5(n4)+2(n6)2 给定信号： 2n+54n160n40 其它(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值； (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列（3） 令x1(n)=2x(n2)， 试画出x1(n)波形； （4） 令x2(n)=2x(n+2)， 试画出x2(n)波形； （5） 令x3(n)=x(2n)， 试画出x3(n)波形。 解： (1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所
2、示。 (2) x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n) +6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4)（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（二）所示。 (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（三）所示。 (5) 画x3(n)时， 先画x(n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180)， 然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图（四）所示。 题2解图（一）题2解图（二）题2解图（三）题2解图（四）3 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 (1)(2
3、)解： （1） 因为=, 所以, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T=14。（2） 因为=, 所以=16, 这是无理数， 因此是非周期序列。4 对题1图给出的x(n)要求： (1) 画出x(n)的波形； (2) 计算xe(n)=x(n)+x(n)， 并画出xe(n)波形； (3) 计算xo(n)= x(n)x(n)， 并画出xo(n)波形; (4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 将x1(n)与x(n)进行比较， 你能得到什么结论？解：（1） x(n)的波形如题4解图（一）所示。(2) 将x(n)与x(n)的波形对应相加， 再除以2， 得到xe(n)。 毫无疑问， 这是一个偶对称序
4、列。 xe(n)的波形如题4解图（二）所示。 (3) 画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。题4解图（一）题4解图（二）题4解图（三）(4) 很容易证明： x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。 偶对称序列可以用题中(2)的公式计算， 奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。 5 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(nn0)n0为整常数 （4）y(n)=x(n
5、)（5）y(n)=x2(n) （6）y(n)=x(n2) （7）y(n)= （8）y(n)=x(n)sin(n)解： （1） 令输入为x(nn0)输出为 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02) y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n)故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1) +3ax1(n2)+bx2(n2) Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2) Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2)所以 Tax1
6、(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是线性系统。（2） 令输入为x(nn0)输出为y(n)=2x(nn0)+3y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n)故该系统是非时变的。 由于Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3Tax1(n)=2ax1(n)+3Tbx2(n)=2bx2(n)+3Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是非线性系统。(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为x(nn1)输出为y(n)=x(nn1n0)y(nn1)=x(nn1n0)=y(n)故延时器是非时变系统。 由于T
7、ax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0)=aTx1(n)+bTx2(n)故延时器是线性系统。(4) y(n)=x(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(n+n0)y(nn0)=x(n+n0)=y(n)因此系统是线性系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)因此系统是非时变系统。（5） y(n)=x2(n)令输入为 x(nn0)输出为y(n)=x2(nn0)y(nn0)=x2(nn0)=y(n)故系统是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2 aTx1(n)+bTx2(n)
8、 =ax21(n)+bx22(n)因此系统是非线性系统。（6） y(n)=x(n2)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0)2)y(nn0)=x(nn0)2)=y(n)故系统是非时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n2)+bx2(n2)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。（7） y(n)=x(m)令输入为x(nn0)输出为 y(n)=0DD)x(m-n0)y(nn0)=x(m)y(n)故系统是时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(m)+bx2(m)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。（8） y(n)=x(n) sin(n)令
9、输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0) sin(n)y(nn0)=x(nn0) sin(nn0)y(n)故系统不是非时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n) sin(n)+bx2(n) sin(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。6 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。 （1） y(n)=x(nk) （2） y(n)=x(n)+x(n+1) （3） y(n)= x(k) （4） y(n)=x(nn0) （5） y(n)=ex(n)解：（1）只要N1， 该系统就是因果系统， 因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。
10、 如果|x(n)|M， 则|y(n)|M， 因此系统是稳定系统。（2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以后（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|M, 则|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M, 因此系统是稳定系统。（3） 如果|x(n)|M， 则|y(n)|x(k)|2n0+1|M， 因此系统是稳定的； 假设n00， 系统是非因果的， 因为输出还和x(n)的将来值有关。 （4）假设n00， 系统是因果系统， 因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|M， 因此系统是稳定的。（5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n)
11、的未来值。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM， 因此系统是稳定的。7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示， 要求画出y(n)输出的波形。解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)=x(m)h(nm)题7图y(n)=2,1,0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5解法（二）采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3)h(n)=2(n)+(n1)+ (n2)由于x(n)*(n)=x(n)x(n)*A(n
12、k)=Ax(nk)故y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*2(n)+(n1)+ (n2) =2x(n)+x(n1)+x(n2)将x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2) +4.5(n3)+2(n4)+(n5)8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况， 分别求出输出y(n)。 （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n)（2） h(n)=2R4(n), x(n)=(n)(n2)（3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n)解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(nm)
