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1、,二分类logistic回归模型,内容提要,非条件logistic回归 模型简介 简单分析实例 哑变量设置 自变量的筛选方法与逐步回归 模型拟合效果与拟合优度检验 模型的诊断与修正 条件logistic回归,对分类变量的分析，当考察的影响因素较少，且也为分类变量时，常用列联表（Contingency Table）进行整理，并用2检验或分层2检验进行分析，但存在以下局限性： 无法描述其作用大小和方向，更不能考察各因素间是否有交互作用； 当控制的分层因素较多时，将导致检验结果不可靠； 2检验无法对连续性自变量进行分析（致命缺陷）。,模型简介,logistic回归模型适合于应变量为二项分类的资料，在
2、医学研究领域中的应用广泛。如流行病病因学研究（包括队列研究、病例对照研究、横断面研究等）、临床疗效研究（如疗效与治疗方法、患病轻中重等因素关系）、卫生服务研究（如是否就诊与性别、年龄、文化程度的关系）等等。,模型简介,一、问题的提出,举例：分析 “新生儿出生体重”的影响影响, 如果以新生儿出生时的体重为因变量，采用线性回归分析的方法。 线性回归分析：因变量Y是连续性随机变量,并且呈正态分布，理论上因变量必须能够在到+ 之间自由取值,问题的提出（续）,但在医学研究中常碰到因变量的取值仅有两个, 如是否发病、死亡或痊愈等； 分析“母亲怀孕期间体重增加”对“新生儿出生低体重”的影响,二、概念的引入,
3、如按线性回归思想建立模型： P= +X P的意义是发生出生低体重的概率 在线性回归模型中,X的取值是任意的,P值可能大于1或小于0,无法从医学意义进行解释, 显然不适宜用线性回归建立预测模型。,为避免P值大于1或小于0, 我们对P进行logit（即logistic）变换, 把logit（P）作为因变量，即 ： Logit（P）=ln p/(1-p) = + x logit（P）可以从到+ 之间取任何值 如：计算logit（0.1），logit（0.95） logit（0.1）=ln（0.1/0.9）=-2.20 logit（0.95）=ln（0.95/0.05）=2.94,1如果以logitP
4、为因变量，暴露因素X为自变量，建立直线回归方程： Logit P = + x 由 Logit P = ln p/(1-p) 可导出: ln p/(1-p) = + x (1) 即单因素线性LOGISTIC 回归模型公式； “p=在暴露变量E下有病D的概率 ” 解(1)式中以p为反应变量的方程，得： (2) 即单因素曲线LOGISTIC 回归模型公式。,单因素LOGISTIC模型参数的解释 ln p/(1-p) = + x ：与变量 x 无关的因素的影响 ：自变量 x 的回归系数，大小由因素 x 决定。 = 0 表明 P与 x 无关， 发病不由因素 x 决定； 0 表明 P与 x 有关， 变量
5、x 是疾病发生的危险因素； 0 表明 P与 x 有关， 变量 x 是疾病发生的保护因素。,Logit P 与Odds Ratio (OR),Odds Ratio (OR)：即两个Odds 的比值，是描述因素与疾病之间联系强度的指标，可以用来确定定群研究(队列研究)和病例对照研究中暴露研究因素与疾病发生之间关联的性质和强弱。 OR = 1 表明疾病D与因素 x 无关，发病不由因素 x 决定； OR 1 表明疾病D与因素 x 有关，变量x是疾病发生的危险因素； OR 1 表明疾病D与因素 x 有关，变量 x 是疾病发生的保护因素。,对于队列研究，假设研究一个二值暴露变量X与某一疾病之间的关联: 设
6、暴露组(E+)发病的概率为P1,则其发病与不发病的概率比为: Odds= P1 /(1- P1) (3) 设非暴露组(E-)发病的概率为P0,则其发病与不发病的概率比为: Odds= P0 /(1- P0) (4),根据OR定义，得： OR= P1 / (1-P1 ) / P0 / (1-P0) (5) 两边取自然对数，得： ln OR=ln P1 / (1-P1 ) - lnP0 / (1-P0) (6) 用Logit P的值带入，得： ln OR=Logit P1-Logit P0=(1+1x1)-(0+0x0) 队列研究中假定暴露人群和非暴露人群影响疾病发生的 其他因素均相同，则可认为：
7、 1 = 0 ; 在非暴露人群中不暴露研究因素，可知：x0 = 0, 带入，得： lnOR = (1 + 1x1) - (0 + 0x0 ) = 1x1 则: OR=Exp(1 + 1x1) - (0 + 0x0 )=Exp(1x1) (7) 即: OR=e1,3. 多因素LOGISTIC 回归模型与混杂因素的控制 线性LOGISTIC 回归模型公式: (8) 或: 曲线LOGISTIC 回归模型公式: (9),多因素LOGISTIC模型参数的解释 ：与变量 xi 无关的因素的影响; i : 自变量 xi 的回归系数，大小由因素 xi 决定，是控 制了其他因素的混杂效应后的 i值。 i = 0
8、: 表明 P与 xi 无关， 发病不由因素 xi 决定； i 0: 表明 P与 xi 有关， 变量 xi是疾病发生的危险因素； i 0: 表明 P 与 xi 有关， 变量 xi 是疾病发生 的保护因素。,反应变量为二分类变量或某事件的发生率； 自变量与logit（P）之间为线性关系； 残差合计为0，且服从二项分布； 各观测间相互独立。,模型简介适用条件,logistic回归模型应该使用最大似然法来解决方程的估计和检验问题，不应当使用以前的最小二乘法进行参数估计。,举例,1. 定群研究资料分析弗明汉心脏研究 742名居住在弗明汉年龄为40-49岁的男性，在各自暴露不同水平的影响因素(详见下表中的
9、7种因素)，经12年追踪观察CHD发病情况。根据此742名受试者每人暴露各项因素的水平和CHD发病与否的资料，采用多因素LOGISTIC回归模型进行分析，结果见表1。,表1. CHD危险因素定群研究(12年追踪观察结果）,根据表1结果，可建立的CHD影响因素的Logistic回归模型，公式如下: p=1/1+exp-(-13.2573 + 0.1216x1 + 0.0070x2 + + 0.7206 x1)该多因素LOGISTIC回归分析模型的用途: (1) 确定研究因素的性质: 根据 值的正和负，确定所分析因素是危险因素还是保护因素。表中7种因素中，除血红蛋白为保护因素外，其他均为危险因素。
10、 (2) 计算描述因素与疾病间联系强度指标OR值的大小: (A) 由于胆固醇的值为0.0070，根据估计OR值的公式计算CHD与胆固醇的联系强度为： OR = e3 e0.0070 = 1.007 表明胆固醇上升1mg/dl时，CHD发病是原胆固醇水平的1.007倍。,(B) 当ECG的值为0.7206时，根据估计OR值的公式计算CHD与ECG异常的联系强度为： OR = e7 = e7 X 1 / e7 X 0 = e7 X (1-0) = e0.7206 = 2.056 表明ECG异常者CHD发病是正常者的2.056倍。 (3) 比较各变量对方程贡献的大小: 根据标化的值大小，确定各因素对
11、CHD发病影响的大小。在此项研究中，危险因素中吸烟对方程贡献最大，其他依次为相对体重、年龄、 胆固醇、ECG和BP。,4) 用于预测发病率: 可根据该公式预测某人在不同因素暴露条件下CHD的发病率。如某受试者A暴露于因素xi的情况为： X(45, 210, 130, 100, 120, 0, 0) 利用该模型计算该受试者A在暴露上述各种研究因素的条件下，12年间CHD的发病率为： PA1 = 1/1+exp-(-13.2573 + 0.1216 x 45 + 0.0070 x 210 + +0.7206 x 0) = 1/1+exp(-2.9813) = 0.048,(5) 预测发病风险: 例
12、1: 如上述受试者A暴露于因素 xi 的情况变为： X(45, 210, 130, 100, 120, 3, 0) 即其由不吸烟变为每日吸烟1包以上(x6=3)，可利用该模型估计受试者A在其他各种研究因素暴露不变的条件下，其因改变吸烟行为而在12年间CHD的发病率上升为： PA2 =1/1+exp-(-13.2573 + 0.1216 x 45 + 0.0070 x 210 + +0.42223 x 3 + 0.7206 x 0) = 1/1+exp(1.7144) = 0.1526 则受试者A因改变吸烟行为，其在12年间发生CHD风险将上升为原来的3.16倍。可用相对危险度RR公式进行计算，
13、即： RR PA2 / PA1 = 0.1526 / 0.048 = 3.16,应用多变量logistic回归注意事项,（1）因变量必须是二分变量，或任何取值为0或1的属性数据。 （2）logistic回归分析对自变量的正态性、方差齐性不作要求，对自变量类型也不作要求。 但应注意自变量与logit y之间应符合线性关系。如自变量为连续变量，且与logit y之间不存在线性关系，应作适当变量转换，否则参数估计会发生偏倚，结论不可靠。,如果自变量为定量指标： （1）同时自变量与logit y之间为线性关系，则可以直接以原变量的形式进入分析； （2）如果自变量与logit y之间为非线性关系，则需做
14、适当转换，如x2，log（x），ex等。 也就是说，如果自变量是定量指标的话，在进行回归分析之前一定要首先判断此变量是否与结局变量logit y之间呈线性关系；定性或等级指标则不用考虑这个问题。,如果自变量为定性指标： （1）如果自变量为二分类变量，常用0，1或1，2表示。如x为性别指标，0代表女性，1代表男性(如何解释结果？）。 （2）如果自变量为多分类指标，需要用亚（哑）变量（dummy）表示，又称指示变量（indicator variables）,（3）如果自变量为等级资料，可以用两种方法处理： 一是将等级数量化后直接进入分析，如果y的改变在每个等级上是近似相等的，则该法效果很好； 二是
15、视为定性指标，用亚变量表示，一般用于y在每个等级上的变化不相等时。,样本量,用logistic回归模型，样本含量要求较大。小样本不适宜。样本含量至少是变量数的10倍以上，否则方程不稳定，系数估计或标准误估计常出现异常，结果无法解释。,Logistic回归采用最大似然比估计法来对模型进行估计，最大似然估计在大样本或中等样本（如n=100）的条件下能保持较好的有效性。Long（1997）提到，在样本规模小于100时使用最大似然估计风险较大。 样本量的大小依赖于模型和数据的特点。参数越多所需样本量越大，一般认为一个参数至少需要10个案例，但要注意的是，并不是说如果只有几个参数就不需要样本量大于100
16、了。,如果自变量之间存在高度共线性或因变量的变化太小（如有太多的研究对象的反应值都相同）等问题存在就需要较大的样本；,（4）许多人进行多变量回归分析时，往往先作单变量分析，将单变量分析中有显著性意义的变量再进入多变量分析，这样做法不妥。因为，单变量分析没有意义的变量在多变量分析时不一定也没有意义。因此，应将所有变量都一起进入多变量分析，进行筛选。,（5）与多变量线性回归一样，如果各个自变量之间存在自相关，呈多元共线性，bj的误差可能较大，可使偏回归系数估计发生很大的偏倚，甚至使偏回归系数的符号反常、偏回归系数的假设检验呈无显著性。 这时，可将自相关的变量其中之一剔除。或增加样本含量以减少标准误，抵消共线性的影响。或用逐步回归方法，寻找最佳方
