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1、第五章 概率论与数理统计实验,本章介绍MatLab中常用分布的有关函数, 大数定理,与中心极限定理中的问题, 数据的描述与直方图, 参数,估计中的计算, 假设检验中的计算, 回归中的计算及随,机模拟等.,问题的提出,经济的发展会影响居民的生活. 在某个地区中学生收,收集了 个 岁学生的身高数据:,查到 年前该学校同龄学生的平均身高为为,近期还调查了附近 农村同龄男生的身高, 计算处均,值和方差分别为 和,如何判定当前男生的身高是否发生明显变化?,一、MatLab中常用分布的有关函数,几种常见分布及其相应函数表达,每种分布提供的五类函数及其相应函数表达,1.概率密度函数（分布律）及调用格式,Ma
2、tLab自带了一些常见分布的概率密度函数（分布,律）. 函数名称及调用格式见下表:,例 设,画出该分布的图形.,输入语句,图形为,的分布律图形,我们知道, 当 较大而 适中时, 二项分布可用,泊松分布来近似计算, 即有公式,我们对上例进行对比.,例 设,当 时, 画出指数函数,的密度函数图形.,程序如下:,相应的图形为,例 设,画出相应的的密度函数图形.,程序如下:,相应的图形为,2.分布函数的调用格式,我们知道, 若随机变量 的分布函数为 即,则,由此, 当分布函数已知时, 可以求出所需的概率.,例 设,求,标准正态分布的分布函数的调用函数为,输入语句,返回值,注 一般调用格式,例 设 求,
3、因随机变量并不服从标准正态分布, 由转换公式,此时 由计算公式, 得,再输入命令,返回值,例 设打一次电话所用的时间（单位min）服从参数为,解 令 表示电话间那人打电话所占用的时间, 则由题,0.2的指数分布, 如果有人刚好在你前面走进公用电话,间（假定电话间只有一部电话可供使用）, 试求你将等,待超过5分钟的概率; 5分钟到10分钟之间的概率.,意知: 因此相应的密度函数为,因而,输入命令,返回值,输入命令,返回值,指数分布函数的一般调用格式,即,输入语句,结果为,即:,例 某人向空中抛一枚质地均匀的硬币 次, 求这,次中正面向上的次数恰好为 与小于 次的概率.,解 记 为 次中正面向上的
4、次数, 则,所求概率为:,输入语句,概率为,再执行命令,概率为,若还要计算介于 到 之间的概率, 即计算,再执行命令,概率为,以上数据你是否发现问题?,如何解释该问题?,例 设,求,作出其分布函数的图形.,解 输入命令,概率为,该概率即为正态分布中的 准则!,输入命令,图形为,从这个图形中你能感觉到什么?,3.分位数的调用,在统计学中, 分位数是个极其重要的概念.,分位数定义:,的 称为该随机变量的上 分位数; 满足,的 称为该随机变量的下 分位数; 满足,的 称为该随机变量的双侧 分位数.,几种常见分布的上 分位数调用格式,例 ,就,求对应的上,分位数;,求 并给出该点的具体位置.,程序为,
5、结果为,输入语句,结果为,程序如下,此时,图形为,分位数点,4.随机数生成函数的调用格式,泊松分布随机数,格式,其中 为分布中的未知参数, 即,为矩阵的阶数.,例 产生一个 的矩阵, 其列向量是参数为,的泊松随机数.,输入命令,返回值,正态分布随机数,格式,例 生成一个 的矩阵, 其列向量服从,输入命令,结果为,例 生成一个 的矩阵, 其列向量服从,输入命令,结果为,再计算方差,返回值,标准正态分布随机数的另一个函数为,在前例中, 若输入命令,结果为,均匀分布随机数,格式,例 生成一个 的矩阵, 其列向量服从,输入命令,结果为,例 生成一个 的矩阵, 其列向量服从,输入命令,结果为,注 生成服
6、从 上均匀分布随机数还可用函数,得到.,在前例中, 输入命令,返回值,结果大致相同.,二、大数定理及中心极限定理中的问题,1.大数定律,设随机试验 事件 在 次试验中出现次数为,若,则事件 在一次试验中发生的概率为,例 （抛硬币问题试验） 假设抛均匀硬币出现正面的,概率为 分三种情况验证硬币正面出现的频率与概,率的关系。 三种情况下均进行1000组实验, 每组实验,的次数分别为 次.,程序如下:,叠加后的效果:,结论 随着实验次数的增加, 频率将逐渐趋于稳定.,利用大数定律, 还可以以解决下面的问题.,例 求圆周率,问题描述,在矩形 中任取一个点, 则该点可能落在圆内,其中 为 的面积.,也有
7、可能落在圆外. 由几何概率知道: 落在区域 内的,概率为,为估计概率, 今产生随机数:,其中: 且随机变量 均服从区间,由此得到问题的解法.,上的均匀分布. 则,下面这段程序给,记录有多少个点在圆内.,出了问题的求解方法.,计算结果为,例 用大数定律估计定积分,相应程序为:,积分值,2.中心极限定理及应用,中心极限定理,设 是一个独立同分布的随机变量序列,且,则对,任意一个,有,中心极限定理的几何描述,当 较大时, 近似服从正态分布.,程序如下,相应的图形为,下图是 时泊松分布的图形.,例 产生服从二项分布 的 个随机数, 这里取,并把这个过程重复 次, 用这 个,绘制频率直方图, 并讨论 与
8、标准正态分,布的关系.,程序如下,例 （高尔顿钉板实验） 高尔顿设计了一个钉板实验,图中每个每个黑点表示钉在板上的一个钉子, 它们彼此,的距离相等, 上一层的每一个钉子的水平位置恰好位于,下一层的两个钉子的正中间. 从入口处放进一个直径略,小于两个钉子之间的距离的小球. 在,小球向下降落过程中, 碰到钉子后均,以 的概率向左或向右滚下, 于是,又碰到下一层钉子. 如此进行下去, 直,到滚到底板的一个格子里为止. 把许,多同样大小的小球不断从入口处放下, 只要球的数目相,当大, 它们在底板将堆成近似正态分布 的密,度函数图形.,O,高尔顿钉板试验,共16层小钉,高尔顿( Francis Galt
9、on,1822-1911) 英国人类学家和气象学家,程序如下,输出图形,例 掷骰子实验.,掷 次同一个均匀的骰子, 观察每个点数出现的频率.,程序如下,结果为,三、数据的描述与直方图,1.数据描写的常用命令为,功能 生成已知数据的直方图.,格式,例 对服从正态分布的数据生成相应的直方图.,输入命令,图形为,功能 对已知数据计算相应的均值.,格式,例 生成一个 的服从均匀分布的矩阵, 并求相,应的均值.,输入命令,结果为,功能 对已知数据计算相应的标准差.,格式,例 生成 个服从 的随机矩阵, 并计算,相应的均值和方差.,程序如下,例 生成 个服从 的随机矩阵, 并计算,相应的均值和方差.,程序
10、如下,功能 对已知数据计算相应的标准差.,格式,例 生成 个服从 的随机矩阵, 并计算,相应的均值和方差.,程序如下,功能 计算数据列中的最大数与最小数的差.,格式,例 生成 个服从 的数据, 计算相应的均值,方差和极差.,程序为,结果为,功能 由已知数据作出相应的直方图.,格式,例 生成 个服从 的数据, 作出相应的直方,图.,输入语句,图形为,四、参数估计中的计算,1.点估计的意义,参数,设 为总体, 为总体的分布, 其中 为未知,为来自总体的样本,为相应的观察值, 则,就称为参数 的点估计.,通常的点估计为:,均值 的点估计:,及,方差 的点估计:,无偏估计,渐进无偏估计,2.区间估计的
11、意义,参数,设 为总体, 为总体的分布, 其中 为未知,为来自总体的样本,为相应的观察值,为统计量, 使得,则称区间为 的双侧 置信区间, 称为置信水平.,常用的区间估计,正态总体中 已知时 的区间估计:,这里 是标准正态分布的上 分位数.,正态总体中 未知时 的区间估计:,这里,为 的点估计.,正态总体中 已知时 的区间估计:,正态总体中 未知时 的区间估计:,这里,为 的点估计.,正态总体中 已知时均值差 的区间估计:,正态总体中 未知时均值差 的区间估计:,这里,将生成概率密度函数的调用函数中的 改成,即可得到相应的点估计和区间估计.,基本格式,2.区间估计方法,例 设,是取自某正态总体
12、的样本观察值, 求其均值 和方差,的点估计和区间估计.,输入命令,结果为,五、假设检验,1.假设检验的意义,问题,甲方生产一种产品的尺寸服从均值 、,标准差 的正态分布, 按批向乙方供货（每批的数,量很大）, 双方商定每批抽取 件（样本）测量其尺寸,根据样本均值决定乙方是否接受这批产品.,取 若样本均值与 差的绝对值 不超过,即,时, 则拒绝该产品.,由随机性, 存在这样的可能, 该批产品合格但仍被拒,绝.,商定水平 使合格品被错误地拒绝的概率不超过,记样本的均值,则,取,并使得,故可取,即当,时（ ）, 则接受该产品, 否则拒绝.,总体均值假设检验的一般作法,设抽取一容量为 的样本, 均值及
13、标准差分别为,记,分别称为原假设和被选,假设,检验的结果为:,接受 或拒绝,再设显著性水平为,当总体方差 已知时, 记,则有,从而得到,这样的检验又称 检验.,2.MatLab中的检验方法,格式,说明, 时表示在显著性水平为 时接受假设,而当 拒绝假设;, 表示 的均值等于, 已知时均值 的检验（ 检验法）,表示 的均值大于,表示 的均值小于, 是在假设成立时的概率;, 是均值的置信水平为 的置信区间., 未知时均值 的检验（ 检验法）,格式,注 检验的意义与 检验法相同, 此时统计量为,例 生成正态总体 的 个随机样本, 分别在,已知和 未知的两种情况下, 检验 和,（取 ）.,程序如下:,
14、相应的结果为:,接受检验,相应的概率,置信区间,相应的 值,注意到,对于检验 相应的结果为:,拒绝检验,相应的概率,置信区间,相应的 值,未知时的检验结果与上平行.,两个正态总体均值差的假设检验,两个正态总体 和 的均值,与 比较的检验, 命令格式为,例 分别生成服从,各 个,随机数, 检验两个总体均值,程序如下,运行结果表明结果的不稳定性.,在上面的问题中, 若将样本容量取到,则检验,结果比较稳定.,（拒绝的概率较大）,正态总体分布的检验,意义 检查已知数据是否来自一个正态总体.,格式,结果分析 若数据来自一个正态总体, 则图形以直线,形式显示.,例 对问题中的 个数据, 作以下判定:,该 个数据是否来自一个正态总体?,检验学生平均身高是否较 有明显提高?,解 分别执行,结果,通过正态性检验,正态性检验结果,两种情况都说明该数据来自正态总体.,再输
