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1、第十一章 弯曲变形,11.1 概 述,11.3 叠加法求弯曲变形,11.4 简单超静定梁,11.5 提高梁弯曲刚度的措施,11.2 挠曲线近似微分方程、积分法求弯曲变形,在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。,11.1 概 述,一、工程中的弯曲实例,桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。,但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。,例如，车辆上的叠板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。,二、计算弯曲变形的目的,1、对梁进行刚度计算；
2、,2、求解弯曲超静定梁；,3、为研究压杆稳定问题打好基础。,三、弯曲变形的基本概念,1、挠曲线,直梁在发生对称弯曲后，其轴线在载荷作用平面(即纵向对称面)内由直线变成平面曲线，称之为 挠曲线。,数学方程：,连续且光滑。,特点：,y = f (x)，它是坐标 x 的连续函数。,2.挠度w和转角,规定：向上的挠度为正； 逆时针的转角为正。,挠曲线方程：,转角方程：,-度量弯曲变形的两个基本量。,四、画挠曲线的大致形状,1、考虑支座的约束特点,固定端：w = 0, = 0,铰支座：w A= 0,wB = 0,2、考虑弯矩对挠曲线凹凸性的影响,弯矩为正的梁段：凹曲线,弯矩为负的梁段：凸曲线,弯矩为 O
3、的梁段：直线,弯矩为 O的点： 拐点,例：,设梁的长度为 L,设梁的长度为 2a,11.2 挠曲线近似微分方程、 积分法求弯曲变形,一、挠曲线近似微分方程,力学公式,数学公式,平面曲线(挠曲线) 上任意点的曲率公式。,纯弯曲梁的中性层曲率公式 (见上一章公式推导),对于小挠度情形有,即：挠曲线曲率,挠曲线的近似微分方程,其近似性表现为：,只考虑弯矩而忽略剪力对弯曲变形的影响；,认为 (即小变形条件)。,二、积分法求弯曲变形,说明：,（1）若M (x)方程 或 EI 有变化，则应分段积分;,（2）C、D为积分常数，由边界条件或连续性条件确定。,- 转角方程,再积分一次得：,- 挠曲线方程,固定端
4、：w = 0, = 0,确定积分常数：,（1）边界条件,（2）连续性条件,铰支座：w A= 0,wB = 0,梁的挠曲线是连续、光滑的，所以在任意截面处 及 都必须是连续的。例如，当弯矩方程需要分段建立时， 挠曲线微分方程也需要分段建立，两段梁在分段处的挠度、 转角也相等。,再通过刚度条件：,这里 、 是规定的许可挠度和转角。,进行刚度计算。,得到梁的挠曲线方程、转角方程后，便可求得 最大挠度 、最大转角 。,例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax。,由边界条件：,得：,梁的转角方程和挠曲线方程为：,最大转角和最大挠度分别为：
5、,解：,例: 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax。,解：,由边界条件:,梁的转角方程和挠曲线方程为：,最大转角和最大挠度分别为：,例: 试求图示简支梁的弯曲变形（抗弯刚度:EIz）,解：,1.求支反力、写出弯矩方程；,AC段：,CB段：,2.列出挠曲线微分方程，并积分；,AC段：,CB段：,3.列出边界条件；,4.连续性条件；,由连续性条件，可求得,由边界条件，可求得,5.求最大转角和最大挠度,对简支梁受集中力，最大转角一般在两端截面上:,比较两者，当 a b 时:,挠度最大值发生在,截面上，,当 a b 时，发生在AC 段：,
6、将积分常数代入，得到转角方程和挠曲线方程(略)。,讨论：,（1）,（2）,当须分段表示弯矩方程时，需用连续性条件、边界条件一起确定积分常数。,（3）,截面,最大挠度很接近于梁中点挠度值,故工程上常用中点的挠度代替最大挠度：,（4）,当 b =l /2 时,（5）,积分法适用于求任意截面的挠度和转角.,例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax。,解：由对称性，只考虑半跨梁ACD,由连续性条件：,由边界条件：,由对称条件：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,例：用积分法求图示各梁的挠曲线方程，应分为几段？将出现几个 积分常
7、数？并写出各梁的边界条件和连续条件。,边界条件,连续条件,边界条件,连续条件,边界条件,连续条件,边界条件,1.挠度和转角,规定：向上的挠度为正 逆时针的转角为正,挠曲线方程：,转角方程：,挠度和转角是度量弯曲变形的两个基本量。,内容回顾：,挠曲线的近似微分方程,2.挠曲线近似微分方程,3.积分法求弯曲变形,对于等截面直梁，有：,截面的转角方程,梁的挠曲线方程,说明：,（1）若M (x)方程 或 EI 有变化，则应分段积分；,（2）C、D为积分常数，由边界条件或连续性条件确定。,挠曲线的近似微分方程,一、叠加法适用范围, 材料服从胡克定律 小变形,二、第一类叠加法载荷叠加法,当梁作用有若干载荷
8、时，可分别求出每一种载荷单独 作用下的变形，然后将各个载荷单独引起的变形叠加，得 这些载荷共同作用时的变形。,11.3 叠加法求弯曲变形,用叠加法求：,例：,解：,例：,解:,若图示梁B端的转角B=0，则力偶矩 等于多少？,例：求图示梁 B、D两点的挠度 wB、 wD。,解：,例：用叠加法确定图示梁 C 截面的挠度 wC和转角C。,解：,所以：,三、第二类叠加法局部刚化法,当梁上载荷复杂时，为了求解某些特殊截面的挠度、转角，可以分段考虑梁的弯曲变形。在研究某一段梁的变形时，将其余部分暂时看成刚体(称为“刚化”)。计算出每段梁的变形在这些特殊截面引起的挠度和转角，然后将它们叠加，这种计算变形的方
9、法称为局部刚化法。,例：,求外伸梁ABC的外伸端A的挠度。,解：用局部刚化法计算。,（2）将BC段刚化,（1）将AB段刚化,（3）最后结果,例：,求外伸梁ABC的外伸端A的挠度、转角。,解：,（1）将BC段刚化。,（2）将AB段刚化。,（3）最后结果,例：,求悬臂梁ACB的自由端B的挠度和转角。,解：,（1）将AC段刚化。,（2）将BC段刚化。,注：局部刚化法主要用于求解外伸梁、受力比较特殊的悬臂 梁的弯曲变形。,两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂梁、如图示，梁的最大挠度是梁的多少倍？,例：,16倍,例：简支梁在整个梁上受均布载荷 q 作用，若其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？,16倍,例
10、：图示工字钢梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3，w = l500，E=200GPa，=100MPa. 试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷 P 。,解：由刚度条件,例：矩形截面 的纯弯曲梁如图所示,已知梁中性层上无应力,若将梁沿中性层 锯开,将锯开后的两梁叠合在一起并承受相同的弯矩 ,问锯开前后,即一根 的梁和两根 叠合在一起的梁,两者的最大弯曲应力和抗弯刚度的比值分别为多少?,解:,锯开前:,最大应力,抗弯刚度,锯开后,两根 的梁独立作用,每梁承受 ,故叠合梁的,最大应力,抗弯刚度,两种情况下,最大应力和抗弯刚度的比值为,解除多余约束，代之以相应的约束反力，则静不
11、定梁转化为形式上的静定梁：,一、超静定梁的概念,即不能由静力平衡方程求出全部未知量的梁., 静不定梁 或 超静定梁,二、相当系统的建立,该静定梁称为原静不定梁的相当系统,求出解除约束处的变形，并与实际 变形比较，得到补充方程后求解。,三、根据变形协调条件补充方程,11.4 简单超静定梁,求图示静不定梁的支反力。,例：,解：,将支座B看成多余约束。,变形协调条件为：,将支座 A 对截面转动的约束看成多余约束。,变形协调条件为：,另解：,11.5 提高梁弯曲刚度的措施,影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。,一、增大梁的抗弯刚度EI,影响梁强度的截面几何性质,影响梁刚度的截面几何性质,1.合理选择截面形状,2.合理选择材料,影响梁强度的材料性能 ,影响梁刚度的材料性能 ,二、减小跨度或增加支撑,三、改变加载方式,第十一章结束了！,谢谢大家！,
