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1、 第四章 杆系结构单元杆系结构是由一些杆件单元组成。主要结构类型有：梁、拱、框架、桁架等，如图（4-1）所示。 图（4-1） 梁拱框架 桁架 本章主要内容是：结构离散为单元的有关问题单元（局部）坐标系和结构（整体）坐标系单元坐标系中各类杆件单元的特性：单元刚度矩阵、等价节点力矩阵等。坐标变换矩阵及结构坐标系中的单元特性。 2、编号（1）节点编号节点编号应按正整数不间断逐点编号。编号时力求单元两端点号差最小，以便使结构刚度矩阵元素集中在主对角线附近，后面结构刚度矩阵组集中有详细说明。4.1 结构离散1、离散方法取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承的交点为节点。相邻两节点间的杆件段是单元。杆
2、件结构的单元一般只有2个节点。 （2）单元编号单元也要逐个依次编号。谁前谁后按实际情况 。3、 本 应 一个数 件（DATA.*） 本 ，以便 时 用。 本 ：（1）单元 数（NE）、节点 数（NJ）、节点 由度数（NDF）。（2） 性 （E）、 系数（AMU）。 （3）单元I端节点号IO（NE）、 J端节点号JO（NE） （4）有 的节点数（ NRJ ）、有 的节点号（KRJ(NRJ)）、 的 由度（KRL(NDF, NRJ)）。 （5）单元 面面 （A）、 面 性矩（ZI）（6）节点坐标：X(NJ)、Y(NJ)（7） 力 集度qx(NE)、qyi(NE)、qyj(NE)（8） 集中力作用的
3、节点数（MJL）、 集中力作用的节点号（NJL（MJL）、集中力数（VJL（NDF，MJL）。 DATA.FRA(1) NE、NJ、NDF25, 18, 3(2）E、AMU3.25e7, 0.15 (3）IO（NE）、JO（NE）1, 4, 4, 7, 7, 10, 10,13, 13,16, 2, 5, 5, 8, 8, 11, 11,14, 14,17,3, 6, 6, 9, 9, 12, 12,15, 15,18,4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10,11,11, 12, 13,14, 14,15, 16,17, 17,18(4）NRJ 、KRJ(NRJ)、（KRL(ND
4、F,NRJ)）3，1,2,3,9*1(5) A(NE)、ZI(NE)(6) X(NJ)、Y(NJ)(7) qx(NE)、qyi(NE)、qyj(NE)(8) MJL, NJL(MJL), VJL(NDF,MJL)数 应和对应。q=10kN/m4、示currency16.0m 5.0m3.0m3.0m3.0m3.0m4.0m1 234 5 67 8 910 11 1213 14 1516 17 18(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16) (17)(18) (19)(20) (21)(22) (23)(24) (25)XY “
5、 对面桁架fifl结构离散， 作数件。 44m3mP1 P2 P3：E=2.1109kN/m2P1=P3=10kN, P2=50kN,15cm2 (杆） A = 65cm2 ( 杆） 40cm2 (杆） 4.2 单元（局部）坐标系杆系结构单元在结构中的”是的。如图（4-1）桁架所示。 XYP 图（4-1）如 一个单元在 一的整体坐标系XY中单元刚度矩阵。结构中不”的一类型单元，单元刚度矩阵不相。 不 编 。 杆系结构单元主要有杆单元和梁单元两类型。只有2个节点i、j。：单元坐标系的点”节点i 节点i j的杆 （ ）方 为单元坐标系中x 的正。 y 、z 与x ， 法 （图4-2） xyz （图
6、4-2）ij容 ，用 单元 体方的坐标系 况， 的结。 个单元的坐标系为单元坐标系，也局部坐标系。 yz为 便对单元坐标系中的单元特性fifl， 以 号：e单元坐标单元 Fe单元坐标单元力ke单元坐标单元刚度矩阵单元的2个节点中取一个作为i，只要 i节点和j节点，x 的正 。对梁单元， y 和z 为 面 的两个 性主 。面，开始讨论几杆系结构单元在单元坐标中的一些特性。ijx i j xl图4-34.3 杆单元 图4-3示 一维杆单元， 面 为A，长度为l， 性 为E， 为qx。单元有2个结点i，j，单元坐标为一维坐标 x。 qxujui1、一维杆单元 单元力 为：jieFFF （4-2）（1
7、） 式和 函数 式单元结点 为：（4-1） jieuu 因为只有2个结点， 个结点 只有1个由度，因此单元的 式设为：xaau 21 （4-3）式中a1、a2为待 常数，由结点 条件x=xi 时， u=uix=xj 时， u=uj。由此 a1、a2 。再 代 式（4-3）， xl uuxl uuuu ijiiji )( （4-4）a1 a2 函数式（4-4）为列 式 eNu （4-5）式中 e由式（4-1） ， 函数N为 )()(1 xxxxlNNN ijji （4-6）（2）应变矩阵一维杆单元仅有 应变 dxdu式（4-5）、（4-6）代 式， el 111 式也为 eB （4-7）式中B为
8、应变矩阵 111 lBBB ji （4-8）由应力应变关系 （3）应力矩阵 E式（4-7）代 式， ee SBE （4-9）式中S为应力矩阵 11 lES （4-10）(4) 等价节点力 单元 作用 力qx， 等价节点力 公式仍为以 式 dxqNF xTe 当 力集度qx为常数时，有 112)()(1 lqdxqxxxxlFxxijxxeqjix（4-11）)()(1 xxxxlNNN ijji 式（4-11）概念是 力起的 力按静力等效配 单元节点 。由 式是线性函数，因此按公式（4-11） 结与静力等效 配是一的。(5) 单元坐标单元刚度矩阵 单元坐标单元刚度矩阵仍式（2-33）推 dvB
9、DBkvTe （2-33）对等 面杆单元，dv=AdxA 单元 面面 。有 dxBDBAkvTe 式（4-8）代 式， 1111lAEk e （4-12）2、面杆单元1234i j xy图4-4l（1）单元坐标单元 4321 e（2） 式和 函数由面杆单元只有 力。 式式（4-3）、（4-4）。（y方 不起单元力） 函数0)(0)(1 xxxxlNNN ijji （4-13）（3）应变矩阵 式1234i j xy)()(1 xxxxlNNN ijji eB （4-7）应变矩阵 B为01011 lBBB ji （4-14）（4）应力矩阵ee SBE （4-9）应力矩阵 S为0101 lES （4
10、-15）(5) 等价节点力 010120)(0)(1 qlqdxxxxxlF ijxxeqji（4-16）(6) 单元坐标单元刚度矩阵 对等 面杆单元，0000010100000101 lAEk e （4-17）1111lAEk e i j xylz3、空间杆单元（1）单元坐标单元 图4-5124536 Te 654321 （4-18） （2） 函数00)(00)(1 xxxxlN ij （4-19）（3）应变矩阵（4-20）0010011 lB（4）应力矩阵001001 lES （4-21）(5) 等价节点力 Te qlF 0010012 （4-22） (6) 单元坐标单元刚度矩阵 对等 面
11、杆单元，（4-23）000000000000001001000000000000001001 lAEk e1111lAEk e 4.4 梁单元 1、两端承 剪力、弯矩的面梁单元图4-5i j xyi j xy1234lF1F2F3F4l（1）单元坐标单元 和单元力 单元 TjjiiTe vv 4321 （4-24） 中，vy方 ，即挠度。角 。 单元力 TjjiiTe MQMQFFFFF 4321 （4-26）中， Q剪力M弯矩 3322dxvdEIQdxvdEIM（4-27） （2） 函数和 函数设单元坐标 式为342321)( xaxaxaaxv （4-28） 式 函数由单元两端点的节点
12、条件， 式（4-28）中的a1、a2、a3、a4。再代 该式， 式为以 式： i j xy1234l梁单元内一点有2个 ： v、因为，=dv/dx （4-25）仅一个 是独 的，取 v 。 eNxv )( （4-29）式中 4321 NNNNN （4-30）232433232322233231/)(/)23(/)2(/)23(lxlxNlxlxNlxlxxlNlxlxlN（4-31）（3）应变矩阵 单元弯曲应变 b与节点 e的关系。由材料力学，梁单元 一点的应变和该点挠度之间关系为： 1xy22dxvdyb （4-32）1y22tan dxvdyyyb 式（4-29）代 （4-32）， 单元弯曲应变和单元 之间关系（4-34） )26()612()46()612(3 lxllxxllxlyB 4321 BBBBB eb B （4-33）（4）应力矩阵 eebb SBEE （4-35） (5) 等价节点力 对梁 作
