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1、讨论：,1、能级的简并度,其中,对能级,及波函数,n为主量子数,由于,所以,相应的有,而对于给定的角动量l，磁量子数m可有2l+1 个取值，即,即对于给定的n（能级一定）,而对于给定的l,(等差数列),能级En的简并度为,比起一般中心力场的简并度2l+1要高。,一般中心力场粒子的能级,依赖于量子数,但库仑场中,En粒只依赖于n,但是,n=nr+l+1,故 能级En除了对m简并，对l也是简并的。,所以库仑场具有更高的对称性。,对称元素越多, 对称性越高，简并度越大,2、径向位置几率分布,角向部分积分掉,其中nr=0称为圆轨道-无节点。,确定。,见下图。,基态： n =1, l = 0,玻尔半径,
2、电子出现在 r = r1 的单位厚度球壳层内的概率最大,3、几率密度分布随角度的变化,显然，几率沿z轴旋转对称。,因为Lz是守恒量，故可以用通过z轴的任意平 面的曲线描述几率分布随角的变化。如,s电子,p电子,4、电流分布与磁矩,由几率流密度分布表达式,（表示单位时间通过某一截面的粒子数）,可得电子的电流密度（电子荷电量-e),利用球坐标中,容易求出 的各分量,对,但,且,是绕z轴的环电流密度。,见右图。,通过d的电流元为,对磁矩的贡献为,其中,是环面积。,因此总磁矩为,其中,是细环的体积元。,（光速c是由高斯单位制所带来的常数）,利用归一化条件后有,其中,为Bohr磁子。,可见，磁矩与m有关
3、，m称之为磁量子数。,对s态，l=0,m=0,磁矩为0，电流为0。,故,注意：,Mz是很重要的，因为MzB是相互作用能 以后经常碰到。,另外，由上式可知,5、类氢离子,共同特点：,原子实,一个核外电子,+,类氢离子，如,上述结果也都适用。,只需,核电荷+e+Ze,或e2+Ze2,约化质量相应的约化质量,比如对能级公式,作业：p189, 1,3,4,4 三维各向同性谐振子,质量为的粒子在势场V(r)中运动,是刻画势阱强度的参量。,径向方程为,仍然采用自然单位来化简方程。,化为,则径向方程,上式出现两个奇点：,r=0,为正则奇点；,r=,为非正则奇点,必须把奇异性分离出来。,r=0时径向方程,可写
4、为,不满足波函数在r=0处的有界条件,Rl(r)有两个解：,但因,解,因此，只能取,但 不满足波函数在无穷远处的 边界条件（几率为0），故弃之,因此，只能取有界解,这样方程的解可表为,r时，方程近似化为,其渐近行为是,代入方程,将式,可知u(r)满足,令,通过复合函数求导，上式化为,这是合流超几何方程，相应参数为,方程有两个线性独立的解,故有界解为,不满足束缚态边界条件,所以必须使合流超几何函数中断为一个多项式,即=0或负整数。,即,加上能量的自然单位，得,令,则,加上长度单位,可得相应的波函数为三项之积,归一化后得,此时,nr表示径向波函数的节点数。,Nr=0，1，2的径向波函数分别为,知道
5、了径向波函数，利用已知的球谐函数 形式，很容易写出体系的波函数为,讨论：,1、能级简并度,能级也是等间距的。,这表现在,但与一维谐振子不同，二维、三维谐振子 能级是简并的。,同一个N，可有不同的nr，l,这是V(r) r2的结果。,对于给定的EN或N, nr=0,1,2,(N-1)/2或N/2,可以看出,它高于一般中心力场中能级简并度.,比如,这是由于三维各向同性谐振子场的几何对称性 比一般中心力场的几何对称性要高。,2、在直角坐标系中求解,三维各向同性谐振子可分解为三个彼此独 立的一维线性谐振子，其振动频率相同。,体系的哈密顿算符为,Schrdinger方程为,用分离变量法，哈密顿算符可写为
6、,其中,令,相应的本征能量为,其中,则,其中,能级简并度：,则(nx, ny)可能取值的数目(注意ny取值的个数),由上式可以看出，满足,对于给定N，,利用,有,即当N 给定时, nx可取0,1,2,N 等N+1个值。,所以 可能取值的数目，即量子态数目（简并度）为,nx,ny都取定后,nz只有一种取法,即,个取法。,对体系的两个彼此不对易的守恒量F和G， 若是F和H的共同本征函数，则G也是 H的本征函数,即体系的能级是简并的，本 征值均为E.,根据能级简并与守恒量关系的定理(p138)：,因此在能级有简并的情况下，定态波函数 的选取是不唯一的。,选,选守恒量完全集 F,H,选G,选守恒量完全集 H,这相当于选不同的守恒量完全集 。,在球坐标系中，力学量完全集为,在直角坐标系中，力学量完全集为,相应的量子数为,其共同本征函数为,相应的量子数为,其共同本征函数为,对于基态N=0，能级是不简并的，两种 守恒量完全集的共同本征态应该相同。,事实上，,二者显然是相等的。,作业：,p190 7,
