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1、1一、空间一般力系的平衡充要条件：0)( = iOOFmMvvv00 = iRFFvr+=222)()()(iziyixRFFFFrQ又222)()()(+= FmFmFmMzyxOvvvv=0)(0)(0)(000FmFmFmFFFzyxzyxvvv空间一般力系平衡方程的基本形式为： 4-3 任意力系的平衡2二、各种特殊力系下的平衡方程000=zyxFFF空间汇交力系的平衡方程为：=0)(0)(0FmFmFyxzvv因为各力线都汇交于一点，各轴都通过汇交点，故各力矩方程都成为了恒等式。空间平行力系的平衡方程（设各力线都 / z 轴）：=000)(yxzFFFmv因为均成为了恒等式。3=000
2、iziyixmmm空间力偶系的平衡方程为：=iOmMvv因为力系可以简化为一个主矩：=0)(00FmFFOyxv平面一般力系的平衡方程:（ xoy 平面）O点可以是任选的一点4空间一般力系的平衡方程的基本形式=0)(0)(0)(000FmFmFmZYXzyxvvv可以证明：上述基本形式中的三个力投影方程可以全部或部分用力矩方程形式替代，但是这种替代是有附加条件的，应使方程式独立。5平面一般力系基本形式=0)(00FmFFOyxv=0)(0)(0FMFMFBAxvv可用以下 “二矩式 ”、 “三矩式 ”替代二矩式其中 A、 B 两点连线不能与 x 轴垂直=0)(0)(0)(FMFMFMCBAvv
3、v其中 A、 B、 C 三点不共线三矩式同学可以自行证明6平面汇交力系的平衡方程为：00=yxFF=0)(0FmFoyv平面平行力系的平衡方程（设各力线都 / y轴）：例： 图示导轨式汽车提升机构，已知提升的汽车重 P=20kN，求：导轨对 A、 B轮的约束反力（不计摩擦）。解 : Mi=0: FA400P60=0；得： FA=3kNFx=0; FB=FAFy=0; F = PFBFAP60cm400cmFAB力偶能被偶平PFi例： 图示悬臂梁，上侧作用三角形均布荷载，求： 固定端 A处的约束反力。qLAFix=0; FAx=0MAFAXQFAYFiy=0; FAy=Q=qL/2 A=0， M
4、A= (2/3) LQ = qL2/3固定端有个约束反例： 图示为叉车的钢叉简图，已知：货物均重为 q=1500 N/m，其它尺寸如图示，求：约束 A， B处的约束反力。解：200550q1400mm40ABFix=0, FAx+FB=0FAXFAYFBFiy=0, FAy Q=0Q=1.4q=2.1kNQFB=2.8kN, FAx= 2.8kN。MA=0, FB550(14000.5+40)Q=0c二矩式： MB =0， FAX 550+ (14000.5+40)Q =0, MA =0, FB550(14000.5+40)Q=0FB=2.8kN, FAx= 2.8kN。Fiy=0,例： 图示
5、雨篷结构，因雨篷对称结构可简化为平面结构，自重不计，已知： F力作用，求：三根支撑杆的约束反力。F1F3FF2AC解：用三矩式方程D1m1m 4m F1mACB,FFM 0520,1A=251FF =,FFM 040,2C=,FFM 0320,3D=FF 42=233FF =如校核方程： Fix=0， 应满足。例： 一种车载式起重机，车重 G1= 26 kN，起重机伸臂重 G2= 4.5 kN，起重机 的 旋 转与固定部分共重 G3= 31 kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量 Gmax。FBFAGG2G1G3AB3.0 m2.5 m1.8
6、 m 2.0 m1.取汽车受力分析如图。取汽车受力分析如图。,0= yF0321BA=+ GGGGFF( )= ,0FBM0)m 2m 8.1(m 2m 5.2)m 3m 5.2(12=+AFGGG2.列平衡方程。列平衡方程。解解()GGGF 5.55.228.3121A=3.联立求解：联立求解：4.不翻倒的条件是：不翻倒的条件是：FA0，所以由上式可得所以由上式可得故故最大起吊重量为最大起吊重量为Gmax= 7.5 kN()kN 7.52.525.5121= GGG 物体系统的平衡问题的求解几个原则：1） 尽量选取 整体 为研究对象 。2） 从受力情形最简单的某一刚体或分系统入手。尽可能满足
7、 一个平衡方程求解一个未知力 。3） 分清 内力 和 外力 、 施力体 与 受力体 、 作用力 与 反作用力 。4） 注意 二力平衡 条件和 三力平衡汇交 原理 。例： 图示三铰拱结构，已知：单边拱重为： P，求： A,B的约束反力。3m解：取 整体 受力分析MA=0FBy=PFiy=0FAy=PFix=0MC=0 取 左 受力分析Pr6m6m6mACBPrBxFrByFrAxFrAyFrAxFrAyFrC左 APrCxFrCyFr2PFAx=2PFBx=FAx6FAy6+3P=0FAy+FBy=2P FAxFBx=0P3P9+FBy12=0例： 图示杆 BE上固定销子 C,可在杆 AD的光滑
8、直槽中滑动，已知： L=0.2m， M1=200Nm， = 300，求：结构平衡时 M2。解： BE: MB=0, FCLsin300M1=0,得 : FC=FB=2000N再取 AD: MA=0, M2FCL/sin300=0,FC=FC得： M2 = 800Nm。M1DLCM2FCFCFBFABCM1BE ADM2D力偶仅能被力偶平衡E物体系的平衡问题ABCDqFME11222m例： 多跨桥梁简图如图示，巳知： F=500N, q=250N/m,M=500Nm,求： A,B,E 处的支座约束反力。MC=0, 4FE M Q1=0FBFEQFAxFAy整体 解： 取整体受力分析Fix=0,
9、FAx=0Fiy=0, FAy+FB+FEFQ=0MA=0, F+2FB4QM+8FE=0FE=250N,取 CE受力分析Q = 4qQ1 = 2qFB=1500N, FAy= 250N。FCxFCyQ1MECFECEFAx=0可解得：需补充方程，取结构中受力较简单的部分3m2m2m 2m 2mFMACBD例： 组合托架 组成构件如图示，三根链杆自重不计，巳知： F = 1 kN, M=600 Nm, 求： A 处约束反力。MAFAyFAxFByFBxF3FMBDF3CF2F1F1解： 取 整体 受力分析MA=0, MA4F M3F1=0Fix=0, FAxF1=0Fiy=0, FAyF =0
10、得： FAy= 1000 N,取 BD受力分析F3= 500 N,043320,223B=+=FMM再取 C节点F1= 400 N，04340,2231ix=+=FFFMA=3.4 kNm可得： FAx= 400 N,321BECCBDAEAD3aCFaABED3a整 例： 折叠凳子的简图 如图示，在水平 凳 面有 F力作用，求： E处约束反力。解：取整体受力分析FDFCFCFAYFAXFEXFEYFDFCYFCXFEXFEYMC=0, Fa3a FD=0FD=F/3,Fiy=0, F+ FD+FC=0FC=2F/3,取 AD022330,ExDA= FaaFM,32ExFF =022330,
11、EyCB= FaaFMFF322Ey=取 CB例： 已知：连续梁上， P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂 , 不计梁重求： A ,B和 D处的反力0=Fm由0512 = PQYG)kN(50210550=+=GY解： 研究起重（未知数多于三个，不能先整体求出，要拆开）=0Cm由016=GDYY)kN(33.8650=DY再研究整体 再研究梁 CD)kN(50210550=+=GY0610123,0 =+=QPYYmDBA)kN(100=BY0,0 =+=PQYYYYDBA)kN(33.48=AY由平衡方程取 梁 AB为研究对象，受力如图 (b)，均布载荷的合力 F = 2q。，解： 由
12、 整体 受力图 (a)可知： FCx= 0kN/m15=q例 :已知 AB、 BC梁在 B端铰接， C为固定端。若， ，试求A、 B、 C三处的约束力。mkN20 =M023 = FFB0= AM 解 KNFFB2032=0)( = FBM03 =+ FFAKNFFA103=解，kN/m15=q例 :已知 AB、 BC梁在 B端铰接， C为固定端。若， ，试求A、 B、 C三处的约束力。mkN20 =MKNFFA103=再取 梁 BC，受力如图 (c)。由平衡方程0)( = FCM02 =+CBMMF202022 = MFMBCmkN60 =解得KNFFB2032=解由0)( = FBM 02
13、 =+CCyMMFKNMMFCCy202=例 已知各杆均铰接， B端插入地内， P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求 AC 杆内力？ B点的反力？解： 选整体研究受力如图选坐标、取矩点、 Bxy,B点列方程为 : = 0X ;0=BX0= Bm0= DEPMB)mN(100011000 =BM= 0Y;0= PYBPYB =受力如图取 E为矩心，列方程解方程求未知数045sin,0 =EDPCESmoCAE)N(14141707.01100045sin=CEEDPSoCA再研究 CD杆例 已知各杆均铰接， B端插入地内， P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，杆
14、重不计。 求 AC 杆内力？ B点的反力？例： 三轮平板车放光滑地面上，自重为： W，货重为 F，已知： F=10kN,W=8kN,求：各轮约束反力值。解： 这是空间平行力系，六个平衡方程仅有三个独立的，而Fix0， Fiy0， MZi0，FAFBFCxyzMix=0, (20080)W200FA=0；FA=4.8kN，Miy=0，60W+(6020)F60FA120FB=0； FB=4.93kN，Fiz=0，FA+FB+FCWF=0；FC=8.27kN例 ： 均质矩形板重 P=200N,板用球形铰链 A、蝶形铰 B与绳CE固定在墙上，若 =300，求：所有约束力值。FBXFBZPxyzFAZFAXFAYF例： 均质矩形板重 P=200N,板用球形铰链 A、蝶形铰 B与绳 CE 固定在墙上，若 =300，求：所有约束力值。解： 这是空间力系，有六个平衡方程FBXFBZPxyzFAZFAXFAYMZ=0, FBX=0,My=0, 0sin30210= BCFBCPMx=0, 0sin3021-0BZ=+ CDFABPABF可得 FB
