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1、4.1.1利用函数性质 判定方程解的存在 思考：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？ 我们知道，令一个一元二次函数我们知道，令一个一元二次函数 的函数值的函数值y y0 0，则得到一元二次方程，则得到一元二次方程 问题1 观察下表(一)，说出表中一元二次方程的实数根与相 应的二次函数图象与x轴的交点的关系。 没有交点 (1,0) x2-2x+3=0 x2-2x+1=0 (-1,0),(3,0)x2-2x-3=0 1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。 结 论: 无实数根 x1=x2=1 x1=-1,x2=3 y=x2-
2、2x+3 y=x2-2x+1 y=x2-2x-3 图象与x轴的 交点 函数的图象 一元二次方 程 方程的根二次函数 2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。 若将上面特殊的一元二次方程推广 到一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)及相应的二次函 数y= ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交 点的关系，上述结论是否仍然成立 ？(观察表二) 问题2 0 =0 判别式 = b24ac 方程ax2 +bx+c=0 (a0)的根 函数y= ax2 +bx +c(a0)的图象 函数的图象 与 x 轴的交点 0 图像为连续曲线 f(x1)=0 f(x2)=0 方程x2-x-6=0(-4,
3、0)、 (0,4)内各有一解 B x1x2 函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称 为这个函数的零点. 如果函数y=f(x)在实数a处的函数值 等于零,即f(a)=0,则称a为这个函数的 零点. 方程f(x)=0的实数根叫做函数y=f(x) 的零点 零点个数就决定了相应方程实数解 的个数. 函数零点存在性的判定方法 若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图像是 连续曲线，并且在区间端点处的函数 值符号相反(f(a)f(b)0 f(b)0 若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图像是 连续的，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a,b) 内也可能存在零点。 y xO f(a)0 f(b)0 x
4、1x2 例2 已知函数f(x)=3x-x2.问:方程f(x)=0在区 间-1,0内有没有实数解?为什么? 解 因为f(-1)=3-1-(-1)2=0 函数f(x)=3x-x2的图像是连续曲线,所以f(x) 在区间-1,0内有零点,即f(x)=0在区间-1,0 内有实数解. y x 25 -1 O 解:函数f(x)=(x-2)(x-5)-1 f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1 f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1 f(x)的图像开口向上的抛物线, 所以抛物线与横轴在(5,+)内有 一交点,在(-,2)内也有一个交点. 方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实 数解,且一个大于5,一个
5、小于2 x1x2 例3 判定方程 有两个相异的实 数解,且一个大于5,一个小于2. 1.观察下面的四个函数图像,指出在区间 (-,0)内,方程fi(x)=0(i=1,2,3,4)哪个有解? 说明理由. 课堂练习 2.判定方程4x3+x-15=0在1,2内实数解的存在性, 并说明理由. 堂上练习 解 考虑函数f(x)=4x3+x-15,有 f(1)=-100 函数f(x)=4x3+x-15图像是连续曲线, 所以函数f(x)在区间1,2内有零点. 即方程4x3+x-15=0在区间1,2内有实数解. 3.指出下列方程存在实数解,并给出一个 实数解的存在区间: 堂上练习 1.试判定方程x4-x2+2x
6、-1=0在区间0,2内是 否有实数解?并说明理由. 解 函数f(x)=x4-x2+2x-1 f(0)=-10 函数f(x)=x4-x2+2x-1图像是连续曲线, 所以函数f(x)在区间0,2内有零点. 即方程x4-x2+2x-1=0在区间0,2内有实数解. 补充练习 补充练习 2.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一根大于-2 小于0,另一根大于1小于3,求a的取值范围. 解 设f(x)=3x2-5x+a, y xO x1x2 3 1 -2 f(-2)0 f(0)-22 a0 -1t3 本节课主要掌握两个方面的内容： (1)利用函数的性质判定方程解的存在 性； (2)初步了解一元二次方程根的分布的 有关知识。 小结 作业 P119习题4-1A组 1、2
