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1、提能练(一)函数与导数A组基础对点练1设函数f(x)，g(x)在区间a，b上可导，且f(x)g(x)，则当axg(x)Bf(x)g(x)Cf(x)g(a)g(x)f(a)Df(x)g(b)g(x)得f(x)g(x)0，可构造F(x)f(x)g(x)，由于函数f(x)，g(x)在区间a，b上可导，故函数F(x)在区间a，b上也可导由题意可知，F(x)f(x)g(x)0在区间a，b上恒成立，故函数F(x)f(x)g(x)在区间a，b上单调递增，所以对于任意x(a，b)恒有F(x)F(b)，即f(x)g(x)k1，则下列结论一定错误的是()Af()Cf()解析：根据条件式f(x)k得f(x)k0，可
2、以构造F(x)f(x)kx，因为F(x)f(x)k0，所以F(x)在R上单调递增又因为k1，所以0，从而F()F(0)，即f()1，移项、整理得f()，因此选项C是错误的，故选C.答案：C3设f(x)是函数f(x)(xR)的导函数，且满足xf(x)2f(x)0，若在ABC中，角C为钝角，则()Af(sin A)sin2Bf(sin B)sin2ABf(sin A)sin2Bf(sin B)cos2ADf(cos A)sin2B0时，F(x)0，F(x)在(0， )上单调递增因为C，所以0AB，0Acos Acos(B)sin B0，所以F(cos A)F(sin B)，即，f(cos A)si
3、n2Bf(sin B)cos2A，故选C.答案：C4已知定义在(0，)上的函数f(x)满足：f(x)0；f(x)f(x)2f(x)(其中f(x)是f(x)的导函数)，则的取值范围为()A(，) B(，)C(e,2e) D(e，e3)解析：一方面，因为f(x)0，根据“f(x)f(x)”的特征，可以构造F(x)，则F(x)0，F(x)在(0，)上单调递增，F(1)F(2)，即，所以；另一方面，因为f(x)2f(x)，所以f(x)2f(x)0，根据“f(x)2f(x)”的特征，可以构造函数G(x)，则G(x)G(2)，即，所以，综上所述，故选B.答案：B5已知f(x)是定义在R上的增函数，其导函数
4、为f(x)，且满足x1，则下列结论正确的是()A对于任意xR，f(x)0C当且仅当x(，1)时，f(x)0解析：因为函数f(x)在R上单调递增，所以f(x)0，又因x0.又因x1，则f(x)xf(x)f(x)，即f(x) (x1)f(x)0，根据“f(x)(x1)f(x)”的特征，构造函数F(x)(x1)f(x)，则F(x)1时，x10，F(x)0，故f(x)0.又因f(x)是定义在R上的增函数，所以当x1时，f(x)0，因此对于任意xR，f(x)0(x1)恒成立若曲线f(x)在点(1,2)处的切线为yg(x)，且g(a)2 018，则a等于()A501 B502C503 D504解析：由“2
5、f(x)xf(x)”联想到“2xf(x)x2f(x)”，可构造F(x)x2f(x)(x0)由(x1)2f(x)xf(x)0(x1)可知，当x1时，2f(x)xf(x)0， 则F(x)2xf(x)x2f(x)0，故F(x)在(1，)上单调递增；当0x1时，2f(x)xf(x)0，则F(x)2xf(x)x2f(x)0，故F(x)在(0,1)上单调递减，所以x1为极值点，则F(1)21f(1)12f(1)2f(1)f(1)0.由f(1)2可得f(1)4，曲线f(x)在点(1,2)处的切线为y24(x1)，即y64x，故g(x)64x，g(a)64a2 018，解得a503，故选C.答案：C7设定义在
6、R上的函数f(x)满足f(1)2，f(x)x21的解集为_解析：由条件式f(x)1得f(x)1x21可化为f(x2)x210，可以构造F(x)f(x)x1，由于F(x)f(x)102121f(12)121F(12)，所以x212，解得1xx21的解集为x|1x1答案：x|1x2，f(0)5，则不等式f(x)2，所以f(x)f(x)20，不妨构造函数F(x)exf(x)2ex.因为F(x)exf(x)f(x)20，所以F(x)在R上单调递增因为 f(x)2，所以exf(x)2ex3，即F(x)3，又因为F(0)e0f(0)2e03，所以F(x)F(0)，则x0，故不等式f(x)0时，(x21)f
7、(x)2xf(x)0的解集为_解析：根据条件中“(x21)f(x)2xf(x)”的特征，可构造函数F(x)，则F(x)，又F(x)F(x)，故F(x)是奇函数由题意可知，当x0时，F(x)0的解集为(，1)(0,1)，又F(x)0，即f(x)0，故不等式f(x)0的解集为(，1)(0,1)答案：(，1)(0,1)10已知f(x)xln xmx2x，mR，若f(x)有两个极值点x1，x2，且x1e2(e为自然对数的底数)证明：因为f(x)有两个极值点x1，x2，所以f(x)0有两根x1，x2，且导数值在x1，x2的左右两侧异号，f(x)ln xmx，f(x)m，当m0时，则f(x)0恒成立，f(
8、x)单调递增，不可能有两个零点，舍去；当m0时，令f(x)0，解得x，列表可知f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，所以应有f()ln m10，解得0m，此时f(1)m0，f()2ln 0，所以1x1x2e2，只要证明x1x2即可，两边同乘以，即证明x2x1，又因为f(x1)f(x2)，即证f(x1)k(x1)f(x2)k(x2)，k1，得k，列表可知g(x)在(1，)上单调递减，在(，)上单调递增，所以需要令g()mk0，解得k，此时有g(x)0在(1，)上恒成立，即原命题得证B组能力提升练11设函数f(x)ln xax2(2a)x的两个零点是x1，x2，求证：f()0时，令f(
9、x)0，解得x，列表可知f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，所以应有f(x)maxf()ln 10，解得0a1，所以要证明f()即可，不妨设x1(x2x1)，整理得xx2xx1，又因为f(x1)f(x2)，即证f(x1)k(xx1)f(x2)k(xx2)，k0，设g(x)f(x)k(x2x)，由g(x)在(0，)上单调递增，所以有g(x)2(ak)x2a0在(0，)上恒成立，令g(x)2(ak)0，解得x(ka)，列表可知g(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，所以需要令g()22a0，解得ka，此时有g(x)0在(0，)上恒成立，即原命题得证12已知函数f(x)ex(
10、2x1)axa(aR)，e为自然对数的底数(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若存在实数x，满足f(x)0，求实数a的取值范围；若有且只有唯一整数x0，满足f(x0)0，求实数a的取值范围解析：(1)当a1时，f(x)ex(2x1)x1，f(x)ex(2x1)1，f(0)0，f(x)ex(2x3)，由f(x)0，得x，当x时，f(x)时，f(x)0，f(x)单调递增且当x时，f(x)0，即当x0时，f(x)0时，f(x)0，f(x)单调递增所以f(x)的单调减区间为(，0)，单调增区间为(0，)(2)由f(x)0，得ex(2x1)1时，a；当x1时，a1时，ag()4e；当x1时，ag(0)1.综上所述，实数a的取值范围为(，1)(4e，)由知，当a1时，x0(，1)，由f(x0)a，又g(x)在区间(，0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，且g(0)1a，所以g(1)a，即a，所以a
