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1、1 5-2 留数和留数定理 一、留数的定义和计算 二、 留数定理 三*、函数在无穷远点的留数 2 设为的一个孤立奇点; 内的 Laurent 级数:在 . 的某去心邻域 包含 的任一条正向简单闭曲线C. 一 、留数的定义和计算 3 0 (高阶导数公式) 0 (柯西积分定理) 4 1. 定义 记作 包含 的 任意一条简单闭曲线 C 的积分的值 后所得的数以 的一个孤立奇点, 如果 (Residue) 则沿 内， 除 称为 5 2. 计算留数的一般公式 由Laurent级数展开定理, 定义留数的积分值是f(z)在环 域 内Laurent级数的负一次幂系数c-1 (1)若z0为函数f(z) 的可去奇
2、点, (负幂项的项数为零个 ), 则它在点z0的留数为零. 注：当z0为f(z)=g(z-z0) 的孤立奇点时,若 为偶 函数, 则f(z)在点z0的去心邻域内Laurent级数只含z- z0的偶次幂, 其奇次幂系数都为0, 得 6 如果 为 的一级极点, 那么规则1 成Laurent级数求 (2) 如果为的本性奇点, (3) 如果为的极点, 则有如下计算规则 展开则需将 7 规则2 若z0为f(z) 的m级极点, 则对任意整数 有 说明 将函数的零阶导数看作它本身, 规则1可看作规 则2当n=m=1时的特殊情形, 且规则2可取m=1. 8 规则3 如果 设及在都解析， 那么为 的一级极点,
3、且有 9 为 的一级极点, 的一级零点,为 的一级极点，为 证 10 3.典型例题 例1 求在的留数. 解 11 例2 求在的留数. 分析 是的三级零点 由规则2得 计算较麻烦. 12 如果利用Laurent展开式求较方便:解 13 注意: 如 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时, 可直接展开Laurent级数求 来计算留数 . 2. 在应用规则2时, 取得比实际的级数高. 级数高反而使计算方便. 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 为了计算方便一般不要将m 但有时把m取得比实际的 如上例取 14 例3求下列函数在指定点处的留数 (1) , ; 解： 是函数 的一级零点, 又是
4、函数 的五级零点. 于是它是 的四级极点, 可用规则 计算其留数,其中 ,为了计算简便 应当取其中 ,这时有 15 另解： 在点 的去心邻域 内的 Laurent级数为 , 其中 的项的系数为 ,从而也有 . 例3求下列函数在指定点处的留数 (1) , ; 16 (2) , ; 解： 在点 的去心邻域 内的 Laurent级数为 显然 为它的本性奇点,其中 的项的系 数为 ,于是得 17 (3) , . 解：显然 是 的一级极点;可是 不能用规则 求其留数,由规则 得 18 思考：有关因式分解问题？ 1. 2. 19 二、留数定理 定理1 若函数f(z)在正向简单闭曲线C上处处解析 ，在C的内
5、部除有限个孤立奇点z1,z2,zn外解析 ，则有 留数概念的重要性在于下面的留数定理. 它使 得一些积分的计算变得十分容易. 20 例4. 计算下列积分(1) 解：被积函数 的奇点 和 都在圆 的内部,由规则1,2可得以下结果 ; 于是由留数定理得积分值为 21 (2) 解： 在圆 的内部有一 个二级极点 和两个一级极点 , 于是利用留数的计算规则 和 得 22 (2) 最后由留数定理得积分值为 23 例5 计算积分C为正向圆周: 解 被积函数有四个一级极点都 在圆周的内部 , 所以 由规则3 24 例6 计算积分 C为正向圆周 : 解 除 被积函数 点外, 无其他奇点， 在圆外。 所以 25
6、 因此 26 1 若z0为函数f(z) 的可去奇点，(负幂项的项数为零个 )，则它在点z0的留数为零. 2 当z0为f(z)=g(z-z0) 的孤立奇点时，若 为偶函 数，则f(z)在点z0的留数为零. 小结：留数的计算 3 若z0为f(z) 的一级极点，则有 4 若z0为f(z) 的m级极点，则对任意整数 有 27 5 设f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)和Q(z)在点z0都解析。 若 ，Q(z0)=0且 ，则z0为f(z) 的一 级极点，且有 6 由Laurent级数展开定理，留数等于f(z)在环域 内Laurent级数的负一次幂系数c-1 28 第五章作业：P183 1.（1） （2） （6） （7） 8.（1） （2） （4） （7） 9. （1）（2） 13. （1）（3） （5）
