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1、材料力学,太原理工大学工程力学系,材料力学,轴向拉伸、压缩与剪切,扭转,弯曲内力,弯曲应力,弯曲变形,应力状态与强度理论,组合变形,压杆稳定,轴向拉压与剪切,1轴向拉压时横截面上的内力和应力,2 斜截面上的应力,3 强度计算,4 材料在拉伸时的力学性能,5 轴向拉压时的变形,6 轴向拉压时的变形能,7 拉压静不定,8 应力集中,9 剪切,轴向拉压与剪切,1轴向拉压时横截面上的内力和应力,1、轴向拉压：杆件上的外力（或外力的合力）的作用线与杆件的轴线重合，其主要变形是压缩短纵向拉伸或。,2、内力：用截面法分析，如图1-1所示,m,m,P,P,P,m,m,P,N,据,于是有：N=P,由此可见内力合
2、力N的作用线与杆件的轴线重合，称其为轴力。,3、轴力的正负：规定：拉伸时为正；压缩时为负。 且轴力可用轴力图表示。,4、横截面上的应力：拉压杆横截面上的轴力N对应的应力是法向应力（正应力） 。由静力关系有：,现从杆件变形来找 的分布规律。变形前，在其表面上画出一系列纵向线和横向线，拉伸变形后，可观察到如下现象：,杆件被拉长，各横线仍保持为直线，任意相邻横线沿轴线平行移动。,变形后，横线仍垂直于轴线。,平截面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。,4.1、横截面上的应力：设杆由无数纵向纤维组成，由平面假设，每条纤维伸长都相等，故横截面上各处的线应变都相等。又因材料是均匀
3、的，所以横截面上各点正应力 相等且均匀分布。于是有：,即：,4.2、应力的正负及公式的适用范围：正应力 正负的规定：拉为正；压为负。,圣维南原理指出了其适用范围。,1、斜截面上的应力 ：图示依照横截面上正应力的推导，可知斜截面上的应力 也是均匀分布的，于是有：,P,P,P,P,即：,将,分解为,与,，于是有：,2 斜截面上的应力,2、结论：,任意截面上的正应力,和剪应力,都是截面方位的,函数。,若已知,，则任意截面上的正应力,和剪应力,就完,确定了。,若,时，,正应力,达到极大值,若,时，,剪应力,达到极大值,若,时，,3 强度计算,许用应力：强度计算中，以大于1的系数除极限应力（以脆性材料断
4、裂时的应力和塑性材料达到屈服时的应力）。,用,表示。即：,塑性材料：,脆性材料：,强度条件：,即：,它可进行强度校核、截面设计和确定许可载荷。,4 材料在拉伸时的力学性能,1、 材料的力学性能,材料在外力作用下所表现出的有关强度和变形方面的特性。,2、 材料拉伸时的力学性能,拉伸试验是测量材料力学性能的基本试验之一。以低碳钢为例，在室温下，以缓慢平稳的加载方式进行试验（称常温静载试验）。在实验中，试件为标准件：l=10d or l=5d。,据实验结果，其力学性能大致如下：,弹性阶段,在拉伸的初始阶段，,与,的关系为直线Oa，表明,与,成正比，即：,上式为胡克定律。式中E为弹性模量。a点所对应的
5、值为,（比例极限）。 b点所对应的值为,（弹性极限）。,屈服阶段,应力不增加或应力在一微不范围内波动，而应变显著增加的现象，称为屈服。有明显的塑性变形，有与轴线成 450 的条纹。在屈服阶段内的最高应力和最低应力分别称为上屈服极限和下屈服极限。工程上,以下屈服极限为材料的屈服极限，记为,强化阶段,屈服阶段过后，材料以恢复了低抗变形的能力，要它继续变形必须增加拉力，这种现象称为材料的强化。其最,高点e所对应的应力是材料所能承受的最大应力,，称为,强度极限。它是衡量材料强度的另一重要指标。,局部变形阶段,过e点后，在某一局部范围内，横向尺寸突然缩小，形成颈缩现象。其横截面面积迅速减小，试样变形所需
6、拉力P也相应减小。曲线降落到f 点，试样被拉断。曲线ef其段称为局部变形阶段。,延伸率和断面收缩率,试件拉断后，残余变形与标距之比的百分比称为材料,的百分比称为材料的延伸率。用,表示。即：,按照延伸率,的大小，,工程上把材料分为两大类：,的材料称为塑性材料；,的材料称为脆性材,料。,除延伸率外，还可以用断面收缩率,作为材料的塑性,指标。定义：,卸载定律及冷作硬化,在卸载过程中，应力和应变按直线。规律变化（图示bb1），这就是卸载定律。 卸载后，再次加载时，其比例极限得到了提高，而断裂时的残余应变减小，这种现象称为冷作硬化。,5 轴向拉压时的变形,线应变：,变形：,当,时，有,由此可得：,EA：
7、抗拉压刚度。,横向应变：,为泊松比。,6 轴向拉压时的变形能,变形能:当杆件受拉时，拉力和伸长的关系如图所示。,力P所作的功为：,线弹性范围内便为：,变形比能:单位体积内的变形能，称为比能。即：,or,变形比能的应用：,7 拉压静不定,静不定问题的解法： 列平衡方程； 变形协调方程； 例题分析：,例：图示，BD=L=3m，E1=210Gpa，截面面积为A1。BC为钢索，截面面积为A2， E2=177Gpa ，设P=30KN。求：B点的垂直和水平位移。,解：在P力作用下，以,和,表示B点的垂直和水,点的垂直和水平位移；N1和N2表示轴力，于是有：,为了求,，设想在P之前，先在B点,点作用水平力H
8、。轴力分别为：,N1H=1.41HN2H=0.518H,于是有：,在作用H之后，再作用P，外力所完成功为：,杆系变形能：,即有：,例：图示，求杆1、2的内力。,解：设1、2杆的内力,别为N1和N2。由AB杆的平衡有：,A,由于AB为刚性杆，于是可得1、2杆的伸长,和,的关系如下：,又,于是有：,8 应力集中,1、应力集中：因构件形状尺寸变化而引起局部应力极剧增大的现象。 2、应力集中系数：,：该截面上的最大应力。,：截面上的平均应力（设削弱截面上应力均匀分布）。,9 剪 切,1、剪切：作用在构件两侧面上的横向外力的合力的大小相等，方向相反，作用线相距很近。致使两力的横截面发生相对错动。（该横截
9、面称为剪切面）,2、剪切的实用计算：,2.1、剪切力：在讨论内力及应力时，用截面法以剪切面将构件分成两部分，其内力与截面相切，称为剪力。如图所示大小为： Q=P,2.2、实用计算：实用计算中，假设剪切面上的剪应力均匀分布，则有,A剪切面面积，,剪应力。,2.3、强度条件：,：剪切许用应力,3、挤压的实用计算：,3.1、挤压：在外力作用下，联接件和被联接件之间，必将在接触面上相互压紧。,3.2、挤压的实用计算：,挤压面上，应力分布一般比较复杂，实用计算中，假设在挤压面上应力均匀分布。因此应力可按下式计算：,Pbs :挤压面上的挤压力,Abs:挤压面面积,3.3、强度条件：,3.5、挤压面面积计算
10、：,当接触面为圆柱面时，计算挤压面面积 Abs，取实际接触面在直径平面上投影面积：Abs=bt 。 当接触面为平面时，取实际接触面面积。,扭 转,1 外力偶矩的计算,2 纯剪切,3 圆轴扭转时的应力,4圆轴扭转时的变形,扭 转,1 外力偶矩的计算,1.1、扭转：,杆件的两端作用两个大小相等，方向相反，且作用面垂直于杆件轴线的两力偶作用，致使杆件任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动。,1.2、外力偶矩的计算：,作用于轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，而已知的是传递功率和转速。因此必须将换算为外力偶矩。计算如下：,m=9549 N/n,式中：N：KW；n: r/min； m: N . m,或 m=
11、7024N/n,其中： N：马力；n: r/min； m: N . m,1.3、扭矩及扭矩图,用截面法求内力（即：扭矩）图示：,据,有： T=m,扭矩T的正负规定：右手螺旋法则：四指与T转向一致，拇指与截面外法线一致是为正，反之为负。,扭矩也可用扭矩图来表示。,2 纯剪切,2.1、薄壁圆筒扭转时的剪应力,图示：等厚薄壁圆筒，平均半为r， 且壁厚tr。在其表面做一系列等距的圆周线和平行轴线的纵向线，施加外力偶，使其产生扭转变形，由此可观察到如下现象：,圆周线大小形状及相邻距离均未改变，各周线仅绕轴线转过不同的角度。,各纵向线的距离也未改变，均倾斜了同一个角度,使原来的小方格都产生相同的变形变为菱
12、形。,可以推出：,横截面上只有,，没有,均相等，且发生在垂直半径的平面内，因此横截面上各点的剪应力也相等，垂直半径。,因为tr，所以可认为剪应力均匀分布，其合成结果与外力偶矩平衡。,于是有：,即：,2.2、剪应力互等定理：,用相邻两横截面和纵向面，从中取出边长分别为dx，,dy和t的单元体。左右两侧只有,而无,； 可由以上公式,计算，由,，可知其数值相等但反向。于是可构成一,力偶，为了保持平衡，上下两侧也必须有剪应力，并构成一力偶与其平衡。由,，知上下也存在，大小相等，,方向相反的剪应力,。,由,有：,即：,上式表明：在相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等；两者均垂直两平面交线
13、，同时指向或背离这一交线。此为剪应力互等定理。,2.3、剪切胡克定律：,由扭转实验便可得出剪应力与剪应变的关系。实验结果表明：当,时，,上式即为 剪切胡克定律。G为剪切弹性横量。,2.4、E、G、,的关系,3 圆轴扭转时的应力,研究圆轴扭转时的应力，首先需要明确横截面上存在什么应力？它的分布规律怎样？为此需从三方面考虑：,3.1、变形几何关系：,为了研究应力分布规律，首先观察圆轴扭转时变形。与薄壁圆筒受扭一样，在圆筒表面作圆周线和纵向线。在扭转力偶m作用下，得到与薄壁圆筒受扭时相似的现象，即各圆周线相对地旋转了一个角度，大小、形状和相邻圆周线间的距离不变。纵向线仍近似为一条直线(小变形)，,只
14、倾斜了一个微小角度，变形前表面上的方格，变形后错动为菱形。,据观察现象，可得如下假设：扭转变形前原为平面的,横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻横截面的距离不变。圆轴扭转的平面假设。,图示，用,用角表示两端截面的相对转角，称为扭转,角。用弧度表示。取dx微段，据平面假设，横截面下面刚,性平面一样，相对绕过轴线旋转过一个角度,，半径 oa,转到了oa1，于是有以下关系：,从而造成直角,发生改变，改变量为：,此为a点剪应变，发生垂直半径oa的平面内。,用同样方法可得，距圆心为,处的剪应变为：,也发生在垂直半径的平面内。,上式表明：,与,成正比。,3.2、物理关系,当
15、,时，由剪切胡克定律有：,代入上式有：,上式表明：,与,成正比，,且,垂直于半径。,3.3、 静力关系：,由分析已知：内力系对圆心的力矩就是截面上的扭矩，即：,由局部杆件平衡，可知T=外力矩，因此,称为横截面对圆心O点的惯性矩。,消去,，可得：,其最大,发生在,，即：,：为抗扭截面系数。,3.4、,，,计算：,其中D为实心轴的直径。,实心轴：,空心轴：,其中：d 为内径；D为外径；,3.5、强度条件：,or,4 圆轴扭转时的变形,4.1、扭转角：,扭转变形的标志是两个横截面绕轴线的相对转角亦即扭转角。,或,当T=C时有：,阶梯轴：,4.2、刚度条件,单位长度的扭转角：,刚度条件：,1 平面弯曲的概念,2 受弯杆件的简化,3 剪力与弯矩,4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,弯 曲 内 力,1、弯曲：承受的外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系。杆的轴线在变形后成为曲线，这种变形称为弯曲。,外力特点：力作用线垂直于杆轴线的平衡力系。,变形特点：直线变曲线。,1 平面弯曲的概念,弯曲内力,2、平面弯曲：当梁上的载荷都作用在纵向对称平面时，变形后，梁轴线仍在此平面内。这种梁的弯曲平面与外力所在平面相重合的弯曲，称为平面弯曲，亦称为对称弯曲。,
