大学物理实验-数据处理的方法与技巧

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1、误差理论与数据处理 第2页 数字舍入规则： 舍去部分的数值大于保留部分末位半个单位，则末 位加1； 舍去部分的数值小于保留部分末位半个单位，则末 位不变； 舍去部分的数值等于保留部分末位半个单位，则末 位凑成偶数。 数据修约有国家标准（GB18071987） 1）有效数字 第3页 简单记为“四舍六入，奇进偶舍” 或 “逢五凑偶” 原有数据保留4位有效数字 3.141593.142 2.717292.717 4.510504.510 3.215503.216 6.3785016.379 7.6914997.691 5.434605.435 1）有效数字 第4页 在近似数运算中，为了保证最后结果有

2、尽可能高的精度， 所有参与运算的数据，在有效数字后应多保留一位数字作 为参考数字（或安全数字）。 （1）加减 以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位 小数字，最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。 （2）乘除/平方或开方 各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据 要比有效位数最少的数据位数多取一位数字。 最后结果应以有效位数最少的数据的数据位数相同。 1）有效数字 误差的定义及表示法 绝对误差： 测得值与真值之差称为绝对误差，通常简称误差。 绝对误差测得值真值 修正值：实际工作中常用修正值。 为补偿（减少）系统误差用代数法加到测量结果 上的值称为修正值。 修正值真值(

3、约定真值）测得值 测量结果(真值)测得值修正值 2）误差的基本概念 第5页 相对误差 测量绝对误差与被测量的真值的比称为相对误差。 GUM中注：由于真值不能确定，实际上用约定真值（测值的最佳估计值） 。 （1）无单位（无名数），通常以或10-d表示 （2）通常可比较不同测量的质量如何。 2）误差的基本概念 第6页 引用误差(fiducial error) 式中引用值 xm 通常指全量程或量程上限， 示值误差 xm是该量程范围内任一刻度点的 示值的绝对误差中的最大值。 分析讨论：引用误差和相对误差的区别？ 2）误差的基本概念 第7页 第8页 实例：现用1.0级、量程为150伏电压表来进行测量，问

4、： 1）该电压表的引用误差是多少？ 2）用该电压表测量电压时的最大测量误差是多少？ 3）用该电压表测量100伏的电压时的最大测量误差是多少？ 4）用该电压表测量50伏的电压时的最大测量误差是多少？ 5）用该电压表测量50伏的电压时的相对误差是多少？ 6）用该电压表测量100伏的电压时的相对误差是多少？ 7）用0.5级、量程为300伏电压表一起测量100伏电压时，哪个更准？ 解：1）该电压表的引用误差是： 1 2）用该电压表测量电压时的最大测量误差是： 解： 3）用该电压表测量100伏的电压时的最大测量误差是： 1.5V。 4）用该电压表测量50伏的电压时的最大测量误差是： 1.5V。 解： 5

5、）用该电压表测量50伏的电压时的相对误差是： 6）用该电压表测量100伏的电压时的相对误差是：当用1.0级、量程为100伏的电表测量时，有 解：7）当用0.5级、量程为300伏的电压表测量时，有 结论：(1)一样准确。 (2)仪表等级越高成本越高 。 2）误差的基本概念 按照测量误差的特点、性质和规律，以及对测量结果的 影响方式，可将其分为系统误差，随机误差和粗大误差三 类： 1系统误差 在同一条件下多次测量同一量值时，其绝对值和符号 保持不变或在条件改变时，其值按一定规律变化的误差， 称为系统误差。系统误差按其出现的规律又可分为: （1）定值系统误差 ：即误差的大小和方向为固定值。 （2）变

6、值系统误差：即误差的大小和方向为规律的变化 值。 为补偿（减少）系统误差用代数法加到测量结果上的值 称为修正值。 3）误差的分类 第9页 第10页 2.随机误差 在同一条件下，多次测量同一量值时，其绝对值和符号 以不可预定的方式变化着的误差称为随机误差，过去也 叫偶然误差。 3.粗大误差（异常值） 明显歪曲测量结果的误差称为粗大误差，过去也叫过失 误差或疏忽误差。 测量结果中有无粗大误差必须判断并剔除。 3）误差的分类 1）变值系统误差的发现方法之一：残差观察法 4）系统误差发现方法 1）可否直接对测值进行观察来发现变值系统误差？ 2）可否直接对测值进行观察来发现定值系统误差？ 第11页 第1

7、2页 2算术平均值的差值与标准差比较法 对同一量值在测量条件不同，测量次数也不同的情况下进行两组（ 或多组）测量。设测量次数分别为n1和n2次，得两组算术平均值： 其实验标准差分别为： 4）系统误差发现方法 第13页 算术平均值之差的标准差为： 由于两组测值是服从正态分布的随机变量，故其算术平均值的差值也 服从正态分布，因此，可用区间的概率估计原理来判断是否有定值系 统误差，即： 两组算术平均值之差为： 4）误差的分类系统误差发现方法 第14页 例1 惰性气体（氩）的发现。雷莱（Rayleigh，多译为瑞利）测定氮气 的密度。 化学方法制得的氮，其平均密度和标准差分别为2.29971和0.00

8、041； 从大气中分离的氮，其平均密度和标准差分别为2.31022和0.00019 取置信概率p=99.73%来判断，则 故可判断其中一定有系统误差，经检查由于操作技术等明显因素产生系 统误差的可能性很小，进一步仔细分析，结果发现了惰性气体（氩）的 存在。 4）系统误差发现方法 单次测量的标准偏差： 算术平均值的标准偏差： 5）随机误差的计算 第15页 不等精度测量： 权的概念 应该让可靠程度大的在最后测量结果中占的比重 大一些，让可靠程度小的在最后测量结果中占的比重 小一些。 各测量结果的可靠程度用数值表示，这数值称为 该测量结果的“权”，记为p。测量精度愈高，可靠性愈 高，应给予的“权”应

9、愈大。 5）随机误差的计算 第16页 第17页 加权算术平均值 对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果 设相应的测量次数为 （215） 根据等精度测量算术平均值原理，全部测量的算术平均值为 5）随机误差的计算 我国在GB488385中推荐了两种异常值的判别方法，两种方 法是： 1、在只剔除1个异常值时采用格拉布斯(Grubbs)准则。 2、在剔除多个异常值时采用狄克逊（Dixon)准则。 三种粗大误差判断准则 ： （1） 3准则（莱以达准则 ） 当测量结果（测量列），某一数据的残差的绝对值 |v|3 时， 则剔除此数据。 6）异常值处理 第18页 （2）格拉布斯（Grubbs)准则

10、。 设独立重复测量的一个正态分布的测量列x1，x2，xn， 其测量标准偏差为 s(x) 对其中的一个可疑数据xd,(其残余偏差vd的绝对值最大）， 若： 则数据xd为异常值，应予剔除；否则应予保留。 上式中系数G（，n）为格拉布斯准则的临界值，由测量次 数n，和选定的显著性水平（相当于犯“弃真”错误的概率 ）查表选取。显著性水平通常选为0.01或0.05。 6）异常值处理 第19页 （3）狄克逊（Dixon)准则 正态测量总体的一个样本x1, x2, ， xn ，按从小到 大顺序排列为 ，分以下几种情况： 6）异常值处理 第20页 （3）狄克逊（Dixon)准则 6）异常值处理 第21页 第2

11、2页 异常值判断操作原则 逐个剔除原则：在应用上述准判断粗大误差时，若同时有两个以 上的测得值的残差i超出判断界限，也只能剔除其中|i |最大的 那一个数据（如有两个相同的数据超限，也只能剔除其中的一个） ； 之后再按剩下的（n-1）个数据重新计算算术平均值、残差及实验标 准差，继续判断另一个可疑数据，直到全部数据无问题为止。那些 在前次判断中和被剔除的数据同时超限的次大（或同样大）的数据 ，在重新计算后，其|可能不超过判断界限，所以每次只能剔除 一个超限的数据。 我国在GB488385中推荐了两种异常值的判别方法，两种方法是： （1）在只剔除1个异常值时采用格拉布斯（Grubbs)准则。 （

12、2）在剔除多个异常值时采用狄克逊（Dixon)准则。 6）异常值处理 7） 间接测量 直接测量 无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算，而直接 得到被测量值的测量。 e.g. 游标卡尺测零件直径D。 间接测量 实测的量与被测的量之间有已知函数关系，通过计算而得到被测量 值的测量。 e.g. 通过测量圆柱体的圆周长度L，通过已知函数关系式D=L/，得 到所求的零件直径D。 函数误差 间接测量误差是各个直接测量值误差的函数，这种误差称为函数误 差。 第23页 8）函数误差计算 已定系统误差 随机误差 线性无关 完全正相关 第24页 相关系数 特征： 当01时，两随机变量呈正相关，即一随

13、机变量增大时，另一随机变量的 取值平均地增大；当-10时，两随机变量呈负相关，即一随机变量增大 时，另一随机变量的取值平均地减小； 当=-1时，两随机变量完全负相关；当=1时，两随机变量完全正相关；此 时两随机变量之间有着确定的线性函数关系； 当=0时，两随机变量间线性无关，即一随机变量增大时，另一随机变量的 取值可能增大也可能减小；此时仅表示两误差间线性无关，并不表示它们 之间不存在其它函数关系。 第25页 8）函数误差计算 实际工作中相关系数的确定： （1）观察法 （2）直接计算法 8）函数误差计算 第26页 应用举例 圆柱体体积V的测量 用千分尺直接测量圆柱体的直径d和高度h（d和h的基

14、本尺寸均为 10mm）各6次，测得值列于下表，求圆柱体体积V，并给出最后测 量结果。 直径d (mm) 10.08510.08510.09010.08010.08510.080 高度h (mm) 10.10510.11510.11510.11010.11010.105 8）函数误差的计算 第27页 应用举例-圆柱体体积V的计算（续） 1、确定函数关系计算体积值 8）函数误差的计算 2、计算误差传递系数 3、计算相关系数 4、计算函数随机误差 第28页 9）误差的合成 用已定系统误差修正测值 随机误差和未定系统误差合成 未定系统误差取值具有随机性，服从一定的概率分布，具有一定的 抵偿作用，可以采

15、用随机误差的合成公式进行合成 随机误差和未定系统误差采用发差合成方式，评估测量结果的分散 性 第29页 不确定度定义： 不确定度是测量结果带有的一个参数，用以表征 合理赋予被测量的值的分散性。 准确度定义（精度）定义： 测量结果与被测量真值之间的一致程度。国际“ 通用计量学术语”中在B.2.14这条下有两条注解： 不要使用 “precision”来表示准确度。 准确度是一个定性概念，可以用准确度高低、准 确度为0.25级、准确度为三等及准确度符合标准 的说法。尽量不使用准确度为0.25%,16mg，16mg等 方式表示。 10）测量不确定度 第30页 不确定度与误差的区别： 测量误差测量不确定

16、度 1测量值与真值之差，表明测量 结果偏离真值的量 表明测量值的分散性 2由于真值不可知，往往不能准 确得到。 可以根据实验，或者资料、经 验等进行评定，从而可定量确 定。 3是有正负号的量值无正负符号的参数 4已知系统误差的估计值时，可 以对测量值进行修正。对变值 系统误差无法处理。 不能用不确定度对测量结果进 行修正。无系统不确定度或随 机不确定度提法。 10）测量不确定度 第31页 不确定度的分类： 标准不确定度： 用标准偏差表示的不确定度。 A类标准不确定度： 用统计方法评定出的不确定度 B类标准不确定度： 用非统计方法评定出的不确定度 合成标准不确定度：由各标准不确定度分量合成得到 扩展标准不确定度：由合成标准不确定度乘以包含因子k得到 10）测量不确定度 第32页 (一）定义：用非统计方法评定出的不确定度。 (二）符号：用符号 u 表示，有多个分量时用u i表示 (