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1、误差理论与数据处理 第2页 数字舍入规则: 舍去部分的数值大于保留部分末位半个单位,则末 位加1; 舍去部分的数值小于保留部分末位半个单位,则末 位不变; 舍去部分的数值等于保留部分末位半个单位,则末 位凑成偶数。 数据修约有国家标准(GB18071987) 1)有效数字 第3页 简单记为“四舍六入,奇进偶舍” 或 “逢五凑偶” 原有数据保留4位有效数字 3.141593.142 2.717292.717 4.510504.510 3.215503.216 6.3785016.379 7.6914997.691 5.434605.435 1)有效数字 第4页 在近似数运算中,为了保证最后结果有
2、尽可能高的精度, 所有参与运算的数据,在有效数字后应多保留一位数字作 为参考数字(或安全数字)。 (1)加减 以小数位数最少的数据位数为准,其余各数据可多取一位 小数字,最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。 (2)乘除/平方或开方 各运算数据以有效位数最少的数据位数为准,其余各数据 要比有效位数最少的数据位数多取一位数字。 最后结果应以有效位数最少的数据的数据位数相同。 1)有效数字 误差的定义及表示法 绝对误差: 测得值与真值之差称为绝对误差,通常简称误差。 绝对误差测得值真值 修正值:实际工作中常用修正值。 为补偿(减少)系统误差用代数法加到测量结果 上的值称为修正值。 修正值真值(
3、约定真值)测得值 测量结果(真值)测得值修正值 2)误差的基本概念 第5页 相对误差 测量绝对误差与被测量的真值的比称为相对误差。 GUM中注:由于真值不能确定,实际上用约定真值(测值的最佳估计值) 。 (1)无单位(无名数),通常以或10-d表示 (2)通常可比较不同测量的质量如何。 2)误差的基本概念 第6页 引用误差(fiducial error) 式中引用值 xm 通常指全量程或量程上限, 示值误差 xm是该量程范围内任一刻度点的 示值的绝对误差中的最大值。 分析讨论:引用误差和相对误差的区别? 2)误差的基本概念 第7页 第8页 实例:现用1.0级、量程为150伏电压表来进行测量,问
4、: 1)该电压表的引用误差是多少? 2)用该电压表测量电压时的最大测量误差是多少? 3)用该电压表测量100伏的电压时的最大测量误差是多少? 4)用该电压表测量50伏的电压时的最大测量误差是多少? 5)用该电压表测量50伏的电压时的相对误差是多少? 6)用该电压表测量100伏的电压时的相对误差是多少? 7)用0.5级、量程为300伏电压表一起测量100伏电压时,哪个更准? 解:1)该电压表的引用误差是: 1 2)用该电压表测量电压时的最大测量误差是: 解: 3)用该电压表测量100伏的电压时的最大测量误差是: 1.5V。 4)用该电压表测量50伏的电压时的最大测量误差是: 1.5V。 解: 5
5、)用该电压表测量50伏的电压时的相对误差是: 6)用该电压表测量100伏的电压时的相对误差是:当用1.0级、量程为100伏的电表测量时,有 解:7)当用0.5级、量程为300伏的电压表测量时,有 结论:(1)一样准确。 (2)仪表等级越高成本越高 。 2)误差的基本概念 按照测量误差的特点、性质和规律,以及对测量结果的 影响方式,可将其分为系统误差,随机误差和粗大误差三 类: 1系统误差 在同一条件下多次测量同一量值时,其绝对值和符号 保持不变或在条件改变时,其值按一定规律变化的误差, 称为系统误差。系统误差按其出现的规律又可分为: (1)定值系统误差 :即误差的大小和方向为固定值。 (2)变
6、值系统误差:即误差的大小和方向为规律的变化 值。 为补偿(减少)系统误差用代数法加到测量结果上的值 称为修正值。 3)误差的分类 第9页 第10页 2.随机误差 在同一条件下,多次测量同一量值时,其绝对值和符号 以不可预定的方式变化着的误差称为随机误差,过去也 叫偶然误差。 3.粗大误差(异常值) 明显歪曲测量结果的误差称为粗大误差,过去也叫过失 误差或疏忽误差。 测量结果中有无粗大误差必须判断并剔除。 3)误差的分类 1)变值系统误差的发现方法之一:残差观察法 4)系统误差发现方法 1)可否直接对测值进行观察来发现变值系统误差? 2)可否直接对测值进行观察来发现定值系统误差? 第11页 第1
7、2页 2算术平均值的差值与标准差比较法 对同一量值在测量条件不同,测量次数也不同的情况下进行两组( 或多组)测量。设测量次数分别为n1和n2次,得两组算术平均值: 其实验标准差分别为: 4)系统误差发现方法 第13页 算术平均值之差的标准差为: 由于两组测值是服从正态分布的随机变量,故其算术平均值的差值也 服从正态分布,因此,可用区间的概率估计原理来判断是否有定值系 统误差,即: 两组算术平均值之差为: 4)误差的分类系统误差发现方法 第14页 例1 惰性气体(氩)的发现。雷莱(Rayleigh,多译为瑞利)测定氮气 的密度。 化学方法制得的氮,其平均密度和标准差分别为2.29971和0.00
8、041; 从大气中分离的氮,其平均密度和标准差分别为2.31022和0.00019 取置信概率p=99.73%来判断,则 故可判断其中一定有系统误差,经检查由于操作技术等明显因素产生系 统误差的可能性很小,进一步仔细分析,结果发现了惰性气体(氩)的 存在。 4)系统误差发现方法 单次测量的标准偏差: 算术平均值的标准偏差: 5)随机误差的计算 第15页 不等精度测量: 权的概念 应该让可靠程度大的在最后测量结果中占的比重 大一些,让可靠程度小的在最后测量结果中占的比重 小一些。 各测量结果的可靠程度用数值表示,这数值称为 该测量结果的“权”,记为p。测量精度愈高,可靠性愈 高,应给予的“权”应
9、愈大。 5)随机误差的计算 第16页 第17页 加权算术平均值 对同一被测量进行m组不等精度测量,得到m个测量结果 设相应的测量次数为 (215) 根据等精度测量算术平均值原理,全部测量的算术平均值为 5)随机误差的计算 我国在GB488385中推荐了两种异常值的判别方法,两种方 法是: 1、在只剔除1个异常值时采用格拉布斯(Grubbs)准则。 2、在剔除多个异常值时采用狄克逊(Dixon)准则。 三种粗大误差判断准则 : (1) 3准则(莱以达准则 ) 当测量结果(测量列),某一数据的残差的绝对值 |v|3 时, 则剔除此数据。 6)异常值处理 第18页 (2)格拉布斯(Grubbs)准则
10、。 设独立重复测量的一个正态分布的测量列x1,x2,xn, 其测量标准偏差为 s(x) 对其中的一个可疑数据xd,(其残余偏差vd的绝对值最大), 若: 则数据xd为异常值,应予剔除;否则应予保留。 上式中系数G(,n)为格拉布斯准则的临界值,由测量次 数n,和选定的显著性水平(相当于犯“弃真”错误的概率 )查表选取。显著性水平通常选为0.01或0.05。 6)异常值处理 第19页 (3)狄克逊(Dixon)准则 正态测量总体的一个样本x1, x2, , xn ,按从小到 大顺序排列为 ,分以下几种情况: 6)异常值处理 第20页 (3)狄克逊(Dixon)准则 6)异常值处理 第21页 第2
11、2页 异常值判断操作原则 逐个剔除原则:在应用上述准判断粗大误差时,若同时有两个以 上的测得值的残差i超出判断界限,也只能剔除其中|i |最大的 那一个数据(如有两个相同的数据超限,也只能剔除其中的一个) ; 之后再按剩下的(n-1)个数据重新计算算术平均值、残差及实验标 准差,继续判断另一个可疑数据,直到全部数据无问题为止。那些 在前次判断中和被剔除的数据同时超限的次大(或同样大)的数据 ,在重新计算后,其|可能不超过判断界限,所以每次只能剔除 一个超限的数据。 我国在GB488385中推荐了两种异常值的判别方法,两种方法是: (1)在只剔除1个异常值时采用格拉布斯(Grubbs)准则。 (
12、2)在剔除多个异常值时采用狄克逊(Dixon)准则。 6)异常值处理 7) 间接测量 直接测量 无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算,而直接 得到被测量值的测量。 e.g. 游标卡尺测零件直径D。 间接测量 实测的量与被测的量之间有已知函数关系,通过计算而得到被测量 值的测量。 e.g. 通过测量圆柱体的圆周长度L,通过已知函数关系式D=L/,得 到所求的零件直径D。 函数误差 间接测量误差是各个直接测量值误差的函数,这种误差称为函数误 差。 第23页 8)函数误差计算 已定系统误差 随机误差 线性无关 完全正相关 第24页 相关系数 特征: 当01时,两随机变量呈正相关,即一随
13、机变量增大时,另一随机变量的 取值平均地增大;当-10时,两随机变量呈负相关,即一随机变量增大 时,另一随机变量的取值平均地减小; 当=-1时,两随机变量完全负相关;当=1时,两随机变量完全正相关;此 时两随机变量之间有着确定的线性函数关系; 当=0时,两随机变量间线性无关,即一随机变量增大时,另一随机变量的 取值可能增大也可能减小;此时仅表示两误差间线性无关,并不表示它们 之间不存在其它函数关系。 第25页 8)函数误差计算 实际工作中相关系数的确定: (1)观察法 (2)直接计算法 8)函数误差计算 第26页 应用举例 圆柱体体积V的测量 用千分尺直接测量圆柱体的直径d和高度h(d和h的基
14、本尺寸均为 10mm)各6次,测得值列于下表,求圆柱体体积V,并给出最后测 量结果。 直径d (mm) 10.08510.08510.09010.08010.08510.080 高度h (mm) 10.10510.11510.11510.11010.11010.105 8)函数误差的计算 第27页 应用举例-圆柱体体积V的计算(续) 1、确定函数关系计算体积值 8)函数误差的计算 2、计算误差传递系数 3、计算相关系数 4、计算函数随机误差 第28页 9)误差的合成 用已定系统误差修正测值 随机误差和未定系统误差合成 未定系统误差取值具有随机性,服从一定的概率分布,具有一定的 抵偿作用,可以采
15、用随机误差的合成公式进行合成 随机误差和未定系统误差采用发差合成方式,评估测量结果的分散 性 第29页 不确定度定义: 不确定度是测量结果带有的一个参数,用以表征 合理赋予被测量的值的分散性。 准确度定义(精度)定义: 测量结果与被测量真值之间的一致程度。国际“ 通用计量学术语”中在B.2.14这条下有两条注解: 不要使用 “precision”来表示准确度。 准确度是一个定性概念,可以用准确度高低、准 确度为0.25级、准确度为三等及准确度符合标准 的说法。尽量不使用准确度为0.25%,16mg,16mg等 方式表示。 10)测量不确定度 第30页 不确定度与误差的区别: 测量误差测量不确定
16、度 1测量值与真值之差,表明测量 结果偏离真值的量 表明测量值的分散性 2由于真值不可知,往往不能准 确得到。 可以根据实验,或者资料、经 验等进行评定,从而可定量确 定。 3是有正负号的量值无正负符号的参数 4已知系统误差的估计值时,可 以对测量值进行修正。对变值 系统误差无法处理。 不能用不确定度对测量结果进 行修正。无系统不确定度或随 机不确定度提法。 10)测量不确定度 第31页 不确定度的分类: 标准不确定度: 用标准偏差表示的不确定度。 A类标准不确定度: 用统计方法评定出的不确定度 B类标准不确定度: 用非统计方法评定出的不确定度 合成标准不确定度:由各标准不确定度分量合成得到 扩展标准不确定度:由合成标准不确定度乘以包含因子k得到 10)测量不确定度 第32页 (一)定义:用非统计方法评定出的不确定度。 (二)符号:用符号 u 表示,有多个分量时用u i表示 (