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1、全国计算机等级考试二级公共基础知识辅导讲义第一章 数据结构与算法1.1 算法1、算法是指解题方案的准确而完整的描述。换句话说,算法是对特定问题求解步骤的一种描述。*:算法不等于程序,也不等于计算方法。程序的编制不可能优于算法的设计这是因为:在编写程序时要受到计算机系统运行环境的限制,程序通常还要考虑很多与方法和分析无关的细节问题。2、算法的基本特征(1)可行性。针对实际问题而设计的算法,执行后能够得到满意的结果。(2)确定性。每一条指令的含义明确,无二义性。并且在任何条件下,算法只有唯一的一条执行路径,即相同的输入只能得出相同的输出。(3)有穷性。算法必须在有限的时间内完成。有两重含义,一是算
2、法中的操作步骤为有限个,二是每个步骤都能在有限时间内完成。(4)拥有足够的情报。算法中各种运算总是要施加到各个运算对象上,而这些运算对象又可能具有某种初始状态,这就是算法执行的起点或依据。因此,一个算法执行的结果总是与输入的初始数据有关,不同的输入将会有不同的结果输出。当输入不够或输入错误时,算法将无法执行或执行有错。一般说来,当算法拥有足够的情报时,此算法才是有效的;而当提供的情报不够时,算法可能无效。*:综上所述,所谓算法,是一组严谨地定义运算顺序的规则,并且每一个规则都是有效的,且是明确的,此顺序将在有限的次数下终止。3、算法复杂度主要包括时间复杂度和空间复杂度。(1)算法时间复杂度是指
3、执行算法所需要的计算工作量,可以用执行算法的过程中所需基本运算的执行次数来度量。(2)算法空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。1.2 数据结构的基本概念1、数据结构是指相互有关联的数据元素的集合。2、数据结构主要研究和讨论以下三个方面的问题:(1)数据集合中各数据元素之间所固有的逻辑关系,即数据的逻辑结构。数据的逻辑结构包含:1)表示数据元素的信息;2)表示各数据元素之间的前后件关系前后件关系:一般情况下,在具有相同特征的数据元素集合中,各个数据元素之间存在某种关系(即联系),这种关系反映了该集合中的数据元素所固有的一种结构。在数据处理领域中,通常把数据元素之间这种固有的关系简单地用前
4、后件关系(即直接前驱与直接后继关系)来描述。(2)在对数据进行处理时,各数据元素在计算机中的存储关系,即数据的存储结构。数据的存储结构有顺序、链接、索引等。1)顺序存储。它是把逻辑上相邻的结点存储在物理位置相邻的存储单元里,结点间的逻辑关系由存储单元的邻接关系来体现。由此得到的存储表示称为顺序存储结构。2)链接存储。它不要求逻辑上相邻的结点在物理位置上亦相邻,结点间的逻辑关系是由附加的指针字段表示的。由此得到的存储表示称为链式存储结构。3)索引存储:除建立存储结点信息外,还建立附加的索引表来标识结点的地址。*:数据的逻辑结构反映数据元素之间的逻辑关系,数据的存储结构(也称数据的物理结构)是数据
5、的逻辑结构在计算机存储空间中的存放形式。同一种逻辑结构的数据可以采用不同的存储结构,但影响数据处理效率。(3)对各种数据结构进行的运算。3、数据结构的图形表示一个数据结构除了用二元关系表示外,还可以直观地用图形表示。在数据结构的图形表示中,对于数据集合D中的每一个数据元素用中间标有元素值的方框表示,一般称之为数据结点,并简称为结点;为了进一步表示各数据元素之间的前后件关系,对于关系R中的每一个二元组,用一条有向线段从前件结点指向后件结点。4、数据结构分为两大类型:线性结构和非线性结构。(1)线性结构(非空的数据结构)条件:1)有且只有一个根结点在数据结构中,没有前件的结点称为根结点。;2)每一
6、个结点最多有一个前件,也最多有一个后件。*:常见的线性结构有线性表、栈、队列和线性链表等。(2)非线性结构:不满足线性结构条件的数据结构。*:常见的非线性结构有树、二叉树和图等。1.3 线性表及其顺序存储结构1、线性表由一组数据元素构成,数据元素的位置只取决于自己的序号,元素之间的相对位置是线性的。线性表是由n(n0)个数据元素组成的一个有限序列,表中的每一个数据元素,除了第一个外,有且只有一个前件,除了最后一个外,有且只有一个后件。线性表中数据元素的个数称为线性表的长度。线性表可以为空表。*:线性表是一种存储结构,它的存储方式:顺序和链式。2、线性表的顺序存储结构具有两个基本特点:(1)线性
7、表中所有元素所占的存储空间是连续的;(2)线性表中各数据元素在存储空间中是按逻辑顺序依次存放的。*:由此可以看出,在线性表的顺序存储结构中,其前后件两个元素在存储空间中是紧邻的,且前件元素一定存储在后件元素的前面,可以通过计算机直接确定第i个结点的存储地址。3、顺序表的插入、删除运算(1)顺序表的插入运算:在一般情况下,要在第i(1in)个元素之前插入一个新元素时,首先要从最后一个(即第n个)元素开始,直到第i个元素之间共n-i+1个元素依次向后移动一个位置,移动结束后,第i个位置就被空出,然后将新元素插入到第i项。插入结束后,线性表的长度就增加了1。*:顺性表的插入运算时需要移动元素,在等概
8、率情况下,平均需要移动n/2个元素。(2)顺序表的删除运算:在一般情况下,要删除第i(1in)个元素时,则要从第i+1个元素开始,直到第n个元素之间共n-i个元素依次向前移动一个位置。删除结束后,线性表的长度就减小了1。*:进行顺性表的删除运算时也需要移动元素,在等概率情况下,平均需要移动(n-1)/2个元素。插入、删除运算不方便。1.4 栈和队列1、栈及其基本运算栈是限定在一端进行插入与删除运算的线性表。在栈中,允许插入与删除的一端称为栈顶,不允许插入与删除的另一端称为栈底。栈顶元素总是最后被插入的元素,栈底元素总是最先被插入的元素。即栈是按照“先进后出”或“后进先出”的原则组织数据的。栈具
9、有记忆作用。栈的基本运算:1)插入元素称为入栈运算;2)删除元素称为退栈运算;3)读栈顶元素是将栈顶元素赋给一个指定的变量,此时指针无变化。栈的存储方式和线性表类似,也有两种,即顺序栈和链式栈。2、队列及其基本运算队列是指允许在一端(队尾)进入插入,而在另一端(队头)进行删除的线性表。尾指针(Rear)指向队尾元素,头指针(front)指向排头元素的前一个位置(队头)。队列是“先进先出”或“后进后出”的线性表。队列运算包括:1)入队运算:从队尾插入一个元素;2)退队运算:从队头删除一个元素。循环队列及其运算:所谓循环队列,就是将队列存储空间的最后一个位置绕到第一个位置,形成逻辑上的环状空间,供
10、队列循环使用。在循环队列中,用队尾指针rear指向队列中的队尾元素,用排头指针front指向排头元素的前一个位置,因此,从头指针front指向的后一个位置直到队尾指针rear指向的位置之间,所有的元素均为队列中的元素。*:循环队列中元素的个数=rear-front。1.5 线性链表1、线性表顺序存储的缺点:(1)插入或删除的运算效率很低。在顺序存储的线性表中,插入或删除数据元素时需要移动大量的数据元素;(2)线性表的顺序存储结构下,线性表的存储空间不便于扩充;(3)线性表的顺序存储结构不便于对存储空间的动态分配。2、线性链表:线性表的链式存储结构称为线性链表,是一种物理存储单元上非连续、非顺序
11、的存储结构,数据元素的逻辑顺序是通过链表中的指针链接来实现的。因此,在链式存储方式中,每个结点由两部分组成:一部分用于存放数据元素的值,称为数据域;另一部分用于存放指针,称为指针域,用于指向该结点的前一个或后一个结点(即前件或后件),如下图所示:线性链表分为单链表、双向链表和循环链表三种类型。在单链表中,每一个结点只有一个指针域,由这个指针只能找到其后件结点,而不能找到其前件结点。因此,在某些应用中,对于线性链表中的每个结点设置两个指针,一个称为左指针,指向其前件结点;另一个称为右指针,指向其后件结点,这种链表称为双向链表,如下图所示:3、线性链表的基本运算(1)在线性链表中包含指定元素的结点
12、之前插入一个新元素。*:在线性链表中插入元素时,不需要移动数据元素,只需要修改相关结点指针即可,也不会出现“上溢当为一个线性表分配顺序存储结构后,如果出现线性表的存储空间已满,但还需要插入新的元素时,就会发生“上溢”现象。”现象。(2)在线性链表中删除包含指定元素的结点。*:在线性链表中删除元素时,也不需要移动数据元素,只需要修改相关结点指针即可。(3)将两个线性链表按要求合并成一个线性链表。(4)将一个线性链表按要求进行分解。(5)逆转线性链表。(6)复制线性链表。(7)线性链表的排序。(8)线性链表的查找。*:线性链表不能随机存取在链表中,即使知道被访问结点的序号i,也不能像顺序表中那样直
13、接按序号i访问结点,而只能从链表的头指针出发,顺着链域逐个结点往下搜索,直至搜索到第i个结点为止。因此,链表不是随机存储结构。4、循环链表及其基本运算在线性链表中,其插入与删除的运算虽然比较方便,但还存在一个问题,在运算过程中对于空表和对第一个结点的处理必须单独考虑,使空表与非空表的运算不统一。为了克服线性链表的这个缺点,可以采用另一种链接方式,即循环链表。与前面所讨论的线性链表相比,循环链表具有以下两个特点:1)在链表中增加了一个表头结点,其数据域为任意或者根据需要来设置,指针域指向线性表的第一个元素的结点,而循环链表的头指针指向表头结点;2)循环链表中最后一个结点的指针域不是空,而是指向表
14、头结点。即在循环链表中,所有结点的指针构成了一个环状链。下图a是一个非空的循环链表,图b是一个空的循环链表:循环链表的优点主要体现在两个方面:一是在循环链表中,只要指出表中任何一个结点的位置,就可以从它出发访问到表中其他所有的结点,而线性单链表做不到这一点;二是由于在循环链表中设置了一个表头结点,在任何情况下,循环链表中至少有一个结点存在,从而使空表与非空表的运算统一。*:循环链表是在单链表的基础上增加了一个表头结点,其插入和删除运算与单链表相同。但它可以从任一结点出发来访问表中其他所有结点,并实现空表与非空表的运算的统一。1.6 树与二叉树1、树的基本概念树是一种简单的非线性结构。在树这种数
15、据结构中,所有数据元素之间的关系具有明显的层次特性。在树结构中,每一个结点只有一个前件,称为父结点。没有前件的结点只有一个,称为树的根结点,简称树的根。每一个结点可以有多个后件,称为该结点的子结点。没有后件的结点称为叶子结点。在树结构中,一个结点所拥有的后件的个数称为该结点的度,所有结点中最大的度称为树的度。树的最大层次称为树的深度。2、二叉树及其基本性质(1)什么是二叉树二叉树是一种很有用的非线性结构,它具有以下两个特点:1)非空二叉树只有一个根结点;2)每一个结点最多有两棵子树,且分别称为该结点的左子树与右子树。*:根据二叉树的概念可知,二叉树的度可以为0(叶结点)、1(只有一棵子树)或2(有2棵子树)。(2)二叉树的基本性质性质1 在二叉树的第k层上,最多有 个结点。性质2 深度为m的二叉树最多有个 个结点。性质3 在任意一棵二叉树中,度数为0的结点(即叶子结点)总比度为2的结点多一个。性质4 具有n个结点的二叉树,其深度至少为 ,其中 表示取 的整数部分。3、满二叉树与完全二叉树满二叉树:除最后一层外,每一层上的所有结点都有两个子结点。完全二叉树:除最后一层外,每一层上的结点数均达到最大值;在最后一层上只缺少右边的若干结点。*:根据完全二