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1、参数估计参数估计 统计推断的分类 统计推断分为参数估计和假设检验两大类。它 们都利用样本信息对总体特征(参数)得出结论, 但两者对样本信息的利用方式不同。 1、参数估计 是指利用一个随机样本的统计值 (样本) 估计总 体的参数值。例如:由样本计算出某市居民人均 月生活费支出550 元,由此推断该市居民人均月 生活费支出额,就是由样本推断总体的过程。 参数估计参数估计 2、假设检验 从总体参数真实值的某种假设出发,再用随机 样本的统计值 (样本信息) 计算某一检验统计量, 以决定接受还是拒绝对对真实总体参数所作的假 设。 也就是说,首先对总体情况作一个假设,然后 用一个随机样本的统计值检验假设的
2、正确与否。 即先设想总体情况,再作抽样和分析样本资料, 因此,它与参数估计不同。其程序为:总体假设 抽样样本分析检验假设的正确性。 参数估计参数估计 以样本的统计值估计总体参数有两种方法: 点估计; 区间估计。 二者均要求以随机方式抽取样本。 参数估计参数估计 1、参数的点估计 以一个最适当的样本统计值代表总体的未知参 数值。称由该方法得出的估计值为点估计值。 一般来说,样本越大、抽样的方法越严谨,估 计值越可信。但点估计的可信度却很难得到。 (例如:亩产量、房改政策的赞成率等) 参数估计参数估计 一、参数点估计的一般提法 设总体 X 的分布函数 F=(x,) 的形式已知, 是待估参数,是 X
3、 的一个样本, 是相应的一个样本观测值,点估计就 是要构造一个适当的统计量,用它 的观测值来估计未知参数。称 为的估计量,称 为的估计值。估计量和估计值统称为估计,记 为 。 () n xxx, 21 L () n XXX, 21 L n xxx, 21 L n XXX, 21 L () n XXX, 21 L () n xxx, 21 L 参数估计参数估计 二、参数点估计的计算 1、矩估计法 用样本各阶原点矩的函数来估计总体各阶原点 矩的同一个函数的方法称为矩估计法。相应的估 计量称为矩估计量。 参数估计参数估计 例:某灯泡厂生产了一批灯泡,从中随机抽取 10只,测得寿命(小时)如下: 10
4、50 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200 试用矩估计法估计该批灯泡的平均寿命及标准 差。 参数估计参数估计 解:该批灯泡的平均寿命为该总体的均值 EX=,其估计值为 总体标准差为 其矩估计值为 ()11471012001050=+=Lx ()()2 2 EXXEDX= ( )59.82682113156091322430 2 2 =xx 参数估计参数估计 如果用样本均值和样本方差估计总体均值与总 体方差,则有 这种用样本数字特征估计与之相应的总体数字特 征的方法是最为常用的估计方法,称为矩估计法 或数字特征法。 ()XX n XXX n i
5、 in = =1 21 1 ,L ()() 2 1 2 21 22 1 ,SXX n XXX n i in = = L 参数估计参数估计 2、顺序统计量法 参数估计参数估计 三、评价估计量的准则 样本指标是一个随机变量,随抽取样本的不同 产生不同的估计值。判断估计量的好坏仅凭某一 次试验的结果是不行的,需要多次反复试验,以 找出符合需要的估计量。评价估计量的好坏有三 个基本要求:无偏性、一致性和有效性。 参数估计参数估计 1、无偏性 无偏性是指在多次反复估计中,各抽样指标的 平均数应等于总体指标。即一个估计量的所有可 能估计值的均值与待估参数的实际值没有偏误。 若估计量的数学期望存在, 且对于
6、任意有,则称 是的无偏 估计量。 ( )=xE () n XXX, 21 L( )E ( )= E 参数估计参数估计 通常称为以作为的估计的系统误 差。无偏估计的实际意义就是无系统误差。 例如,样本方差 S2是总体方差2的无偏估计 量。 ( ) E 参数估计参数估计 2、一致性 在用样本指标估计总体指标时,如果样本容量 充分地大,抽样指标也充分地靠近总体指标。即 当样本容量无限增大时,样本指标和未知总体指 标之间的绝对离差为任意小的概率趋近于 1。 设为参数的估计量,若对任意 ,当 n时,依然收敛于 ,则称 是的一致估计量。 ()1 lim =5,则可把二项分布问题转换为正态 分布问题近似求解
7、。而 () pp n PN1 1 , p 参数估计参数估计 在显著水平为时,总体比例P 的置信区间 为: 例:估计某城区未安装空调的家庭比例。从一 个随机样本(n=100)中得知有20%的家庭未安装 空调,即p=20%,1- p=80%。试以95%的置信水平 估计总体比例P 的置信区间。 ()() + n pp Zp n pp Zp 11 22 , 参数估计参数估计 解:已知n=100,p=0.2,1- p=0.8,1- =0.95 因np = 20 5,n (1- p) = 80 5,故总体比例P 的置信 区间为: = 0.20.0784 即0.1216 5,故总体比例P 的置信 区间为:
8、= 0.90.0774 ()() 100 9 . 019 . 0 58. 29 . 0 1 2 = n pp Zp 参数估计参数估计 即0.8226 5,故可认为是大样本。 总体比例P 的置信区间为: =0.60.0490 ()() 100 6 . 016 . 0 96. 16 . 0 1 2 = n pp Zp 参数估计参数估计 即0.551 P 0.649 以95%的置信水平估计该批产品的一级品率在 55.10%64.90%之间。 参数估计参数估计 四、总体方差的估计 因样本方差的期望值 是有偏的,在方差估计中以 作为2的无偏估计量,称n- 1为自由度。 2 n S ( )() 22 11
9、=nSE n () 22 1 = n SE 参数估计参数估计 正态总体方差2的区间估计 假设正态总体的分布是N (,2),其中和2 均未知。从总体中任意抽取一样本,利用样本方 差对总体方差估计。 总体方差2与样本方差S2满足如下关系 因此 () 2 2 2 1 Sn =()1 2 n () () () = 11 1 1 2 2 2 2 2 21 n Sn nP 参数估计参数估计 总体方差2的置信度为1- 置信区间为 例:某灯具厂为为降低灯泡寿命的不稳定程 度,随机抽取40 个灯泡,测得其平均寿命为4800 小时,样本标准差为300 小时,试以95%的可靠 性估计该灯泡寿命方差的置信区间(已知灯
10、泡寿 命服从正态分布)。 () () () () = 1 1 1 1 1 2 21 2 2 2 2 2 n Sn n Sn P 参数估计参数估计 解:由题意知,n = 40,S = 300,查表得 故2的置信度为95%的置信区间为 =60392.29,148389.28 ()()120.58391 2 025. 0 2 2 =n ()()654.23391 2 975. 0 2 21 = n () () () () = 654.23 30039 120.58 30039 1 1 1 1 22 2 21 2 2 2 2 , n Sn n Sn 参数估计参数估计 五、两个正态总体的均值差和方差比的
11、区间估计 设为来自总体的样本, 而为来自总体的样本,并且 这两个样本相互独立。设分别为它们的样本 均值,分别为它们的方差。 1 , 21n XXXL() 2 11, N 2 , 21n YYYL() 2 22, N YX、 2 2 2 1 SS 、 参数估计参数估计 1、两个正态总体均值差的置信区间 均为已知时 由于相互独立及, ,有 或 21 2 2 2 1 、 YX、X() 1 2 11, nN X() 2 2 22, nN 21 XX () 2 2 21 2 121 ,nnN+ ()() 2 2 21 2 1 2121 nn XX + ()1 , 0N 参数估计参数估计 故的置信度为1-
12、 的置信区间为 均为未知,但n1、n2都很大 ( 一般 n1、n2都大于50 ) 时,将 作为的置信度为1- 的置信区间。 21 () 2 2 21 2 1221 nnzXX + 2 2 2 1 、 () 2 2 21 2 1221 nSnSzXX+ 21 参数估计参数估计 例:从某市近郊区和远郊区各自独立抽取了50 户农民家庭调查每户每月副业收入额, 元, 元,。以95% 的置 信度估计该市近郊区和远郊区农民平均每月副业 收入差的置信区间。 解:虽然两个总体分布未知,但由于n1= n2= 50,为大样本,故可用z 统计量近似计算。即 650 1 =x 480 2 =x元元,106120 21
13、 =SS () () 22 2 21 2 121212 znSnSxxz+ 参数估计参数估计 代入得 此即125.62,214.38 有95%的把握说该市近郊区和远郊区农户每月副 业收入大约相差125.62 元至214.38 元。 ()() + 50 106 50 120 96. 1480650, 50 106 50 120 96. 1480650 2222 参数估计参数估计 若两个样本是小样本,两个总体均为正态分 布,总体方差未知,但 此时, t ( n1+n2- 2 ) 由此得的置信度为1- 的置信区间为 其中, 22 2 2 1 = ()() 21 2121 11nnS XX + 21
14、()() 2121221 112nnSnntXX+ ()() 2 11 21 2 22 2 11 2 + + = nn SnSn S 2 2 2 1 和 参数估计参数估计 例:为估计磷肥对某种农作物产量的影响,现 选择20 块土壤条件大致相同的土地,其中10 块不 施磷肥,另外10 块施磷肥,得到亩产数如下: 不施磷肥 560 590 560 570 580 570 600 550 570 550 施 磷 肥 620 570 650 600 630 580 570 600 600 580 无论是否施磷肥,单位面积产量都服从正态分 布,且方差相同。试以95%的置信度对二者之差 作出估计。 参数估计参数估计 解:n1 = n2 = 10,为小样本,且。 所以,的估计应使用 t ( n1+n2- 2 ) 由已知条件得, 不施磷肥: 施磷肥: 22 2 2 1 = 12 ()() 21 1212 11nnS XX + ()24001570 2 111 =Snx, ()64001600 2 222 =Snx, 参数估计参数估计 而 所以,的置信区间下限为 =(600- 570)- 20.8=9.2 的置信区间上限为 =(600- 570)+20.8=50.8 故有95%的把握说施磷肥与不施磷肥单位面积产 量之差的置信区间在9.2,50.8之间。