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1、1.2 子集、全集、补集 第1课时 子集、真子集 1.子集 (1)如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若aA,则 aB),则称集合A是集合B的子集,记为AB(或BA).读作“集合A包 含于集合B”或“集合B包含集合A”. (2)AB可用Venn图表示为: (3)根据子集的定义,我们知道AA,也就是说任何集合是它本身 的子集. (4)对于空集,我们规定A,即空集是任何集合的子集(其中A为 任意集合,包含). 2.真子集 (1)如果AB,并且AB,这时称集合A是集合B的真子集,记为AB( 或BA),读作“A真包含于B”或“B真包含A”.例如,11,2,3. (2)AB可用Venn图表示为:
2、(3)根据真子集的定义,我们知道空集是任何非空集合的真子集, 即A(其中A为任意非空集合). 交流1 如何区别符号“”与“”? 提示符号“”表示元素与集合之间的从属关系,即个体与总体之 间的关系;而符号“”表示集合与集合之间的包含关系,即部分与总 体之间的关系.如00,但不能写成00,而,此时式子左 边的“”表示一个元素,又,此时式子左边的“”表示空集,它是 任何一个集合的子集. 交流2 下列说法:空集没有子集;任何集合至少有一个子集;空集 是任何集合的真子集;若A,则A.其中正确的有 个 . 提示2 3.常用结论 (1)任意一个集合A都是它本身的子集,即AA; (2)空集是任何集合的子集,即
3、A(其中A为任何集合); (3)空集是任何非空集合的真子集,若A非空,则A(其中A为任何 非空集合); (4)对于集合A,B,C,如果AB,BC,则AC; 如果AB,BC,则AC; (5)如果AB,BA,则A=B;反之亦成立. 交流3 用适当的符号表示下列各组对象之间的关系. (1)0 ; (2)0 0; (3)0,1 1,0; (4)0,1 0,1,-1. 提示(1) (2) (3)= (4) 典例导学即时检测一二三 一、子集、真子集的概念 已知集合M满足1,2M1,2,3,4,5,问:满足条件的集合M有多 少个?试写出这些集合M. (导学号51790010) 思路分析根据题意可知,集合M中
4、至少含有元素1,2,至多含有元 素1,2,3,4,5,且M中必须含有元素1,2,故可按M中所含元素的个数分 类写出集合M. 典例导学即时检测一二三 解当M中含有2个元素时,M为1,2; 当M中含有3个元素时,M为1,2,3,1,2,4,1,2,5; 当M中含有4个元素时,M为1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5; 当M中含有5个元素时,M为1,2,3,4,5. 所以满足条件的集合M为 :1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5,1,2,3,4,5 .共8个. 典例导学即时检测一二三 已知集合A1,2,3,且A的元素中至少含有一个奇数,
5、则满足条件 的集合A的个数为( ). A.2B.3C.4D.5 答案:D 解析:由题意,满足条件的A为1,3,1,2,1,3,2,3,共5个. 典例导学即时检测一二三 正确理解表示集合与集合之间关系的符号的含义,明确它 们之间的包含关系,一个集合的子集的个数仅与这个集合的元素的 个数有关. 一般规律是:如果集合中的元素个数为n,则这个集合的所有子集的 个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2. 典例导学即时检测一二三 二、集合相等问题 已知集合A=x,xy,x-y,B=0,|x|,y,且A=B,求x与y的值.(导学号 51790011) 思路分析本题中的两个集合中均含有未知数
6、,且两个集合相等,故解 答时可由两个集合相等的定义来解,但要注意集合中元素的互异性. 解0B,A=B,0A. 若x=0,则A=0,0,-y不成立,x0. 又yB,y0,只能x-y=0,x=y. 从而A=0,x,x2,B=0,|x|,x. x2=|x|,x=0或x=1或x=-1. 经验证x=0,x=1均不合题意, x=-1,即x=-1,y=-1. 典例导学即时检测一二三 典例导学即时检测一二三 1.对集合相等的进一步认识: 若集合A的元素与集合B的元素是完全相同的,则称集合A与集合B 是相等的,在证明两集合相等时,常用下列结论:AB,BAA=B. 2.两集合相等具有的性质:两个集合的元素个数、元
7、素之和、元素 之积均相等. 典例导学即时检测一二三 三、集合间关系的应用 已知集合A=x|-3x4,B=x|2m-1xm+1,且BA,求实数m 的取值范围. (导学号51790013) 思路分析要解决此题须明确BA的含义,由于空集是任意集合的 子集,为此要考虑B是否为空集.再根据A,B集合中元素的范围大小, 列出关于m的不等式(组),从而求出m的取值范围. 典例导学即时检测一二三 解B=x|2m-1xm+1,BA, 要分B是否为讨论. (1)当B=时,满足BA,此时m+12m-1, 解得m2. 解得-1m2. 综上,得实数m的取值范围是m-1. 典例导学即时检测一二三 设集合A=x|-2x1,
8、B=x|xa,且AB,则实数a的取值范围是 . 答案:a1 解析:将集合A,B在数轴上表示出来,如图所示. AB,a1. 典例导学即时检测一二三 分析集合间的关系,首先要分析、简化每个集合,此类问题 通常利用数轴分析法,将各集合在数轴上表示出来,利用数形结合 的思想方法解决.要注意验证端点值,做到准确无误. 典例导学即时检测12345 1.(2016陕西黄陵中学高一期中)集合0,1的子集有 ( ). A.1个B.2个 C.3个D.4个 答案:D 解析:集合0,1的子集有,0,1,0,1,共4个. 典例导学即时检测12345 2.集合M=x|x2-1=0,T=-1,0,1,则M与T的关系是( )
9、. A.M=TB.MT C.MTD.TM 答案:C 解析:由题意知M=-1,1, 集合M是集合T的真子集. 3.设集合A=等腰三角形,B=三角形,C=等边三角形,则集合 A,B,C之间的关系是 . 答案:CAB 解析:根据三角形的分类易知答案为CAB. 典例导学即时检测12345 典例导学即时检测12345 4.设aR,若集合2,9=1-a,9,则a= . 答案:-1 解析:由题意知,1-a=2,a=-1. 典例导学即时检测12345 5.已知集合A=x|mx+1=0,B=x|x2-2x-3=0,且AB,求m的值.(导 学号51790014) 解因为B=x|x2-2x-3=0=-1,3,且AB, 所以A=或A=-1或A=3. 当A=时,m=0;当A=-1时,m=1;
