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1、第 十 章 矩 阵 位 移 法 10-1、概述 一、结构矩阵分析方法要点 结构矩阵分析方法是电子计算机计 算技术进入结构分析领域后，产生的一 种结构计算方法。 结构矩阵分析方法与传统的结构分 析方法原理上完全一致。但由于计算工 具不同，作法上有所差异。 传统人工手算： 速度低，精度差。 忌繁重的计算工作量 。 电子计算机计算： 速度快，精度高。 忌无规律可循。 学习结构矩阵分析，先修课为： 1、结构力学 （理论基础） 2、线性代数矩阵运算 （建模工具） 3、电算语言 （机算方法） 矩阵分析方法的理论基础是传统结 构力学，说明结构矩阵方法与传统结构 力学同源。由于形成的年代和条件不同 ，引来了方
2、法上的差异。因此，学习中 我们应该注意，两种方法的共同点和结 构矩阵方法新的着眼点（矩阵符号的运 用、坐标的引入、未知量的判断与单元 类型的关系、刚度集成的概念等）。 矩阵运算用简洁的符号代替传统的 运算表达式，公式单一、紧凑、统一， 便于计算机计算程序的自动化运算。 结构矩阵分析方法又称为：杆件 有限单元法；计算结构力学。包括 ： 矩阵力法（柔度法），以力法为 基础。 矩阵位移法（刚度法），以位移 法为基础。 矩阵混合法，以混合法为基础。 矩阵位移法方法要点： （1）、离散化（单元分析）：先把 结构整体拆开，分成若干有限数目的单 元体，进行单元分析。找出单元杆端力 与杆端位移的关系，建立单元
3、刚度方程 。 （2）、集合（整体分析）：利用静 力平衡条件和变形协调条件，将各离散 单元在结点上相互连接起来。使结点上 的受力变形情况与原结构完全相同，进 行整体分析。建立整体刚度方程。 计算过程示意： 由于位移法有其自身的优点,易于实现计 算过程的程序化,目前在工程界应用广泛。 故在此只介绍矩阵位移法。 矩阵位移法与传统位移法力学概念完全 一致。其中： 基本未知量：结构的独立结点位移。 基本体系：加上人为约束的动定结构。 基本方程：根据结点（或截面）平衡条 件和变形协调条件建立的刚度方程。 二、需讨论的问题： 1、单元分析，在矩阵位移法中取何 种单元，并找出各单元的杆端位移和杆 端力之间的关
4、系。 2、整体分析，如何由单元分析直接 集成整体分析。 3、建立结构的刚度方程，求解并找 出各杆端内力。 10-2、单元刚度矩阵（局部坐标系 ） 单元分析的主要任务：研究单元杆端 位移与杆端力之间的关系。 推导方法：根据变形与力之间的物理 关系，采用矩阵形式。 一、单元的划分 杆系结构中，任何相邻两个结点之间的杆段 都是一个杆件单元，一般采用等截面直杆单元 。 结点： 构造结点：杆件折转点，交汇点，支承点，自由端 ，截面突变处等。 非构造结点：集中荷载作用点；曲线杆件计算时， 可将一个曲杆视为由许多折杆组成，其人为设定折点 处。 2、局部坐标系（单元坐标系、杆件坐标系） 根据单元分析（杆件）与
5、整体（结构）分析 的不同需要，采用两种直角坐标系。 局部坐标系以杆轴为x轴，“ 1”为始端，“ 2 ” 为终端。1 2为正方向。 局部坐标系下所有量值的正负号规定：杆端 位移和杆端力分量与局部坐标方向一致为正。 x y EA , EI, l e 1 2 x y EA , EI, l e 1 2 x y EA , EI, l e 1 2 x y 12 EA , EI l e u1 v1 1 u2 v2 2 Fx1 Fy1 M1 Fx2 Fy1 M2 用Fe代表单元 的杆端力列向量: e 用e代表单元 的杆端位移列向量: e ( 10-1） 3、局部坐标中等截面直杆单元的单元刚度方程 推导过程如位
6、移法，注意几点： 、重新规定正负号；、采用矩阵形式。 等截面直杆单元，在变形过程中，考虑弯曲变 形和轴向变形的影响。因此，在左右两端各有三 个独立的位移分量（两个线位移，一个角位移） 。杆件共有六个杆端位移分量，相应的有六个杆 端力分量。 单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端 力时所建立的方程 记为“ F ”方程。 x 1 2 e u1 v1 1 u2 v2 2 Fx1 Fy1 M1 Fx2 Fy1 M2 （）、轴向位移与轴向力 EA e 12 l u1eu2e 1 2Fex1 F ex2 1 2 EA l 1 1 k e = EA/l 11 k e = -EA/l 21 1 2 EA l
7、 1 2 k e = EA/l 22 k e = - EA/l 12 F e = x2 EA l +u e 1 u e 2 u e 2 F e = x1 EA l u e 1 (10-2) （ ） （ ） （2）、横向位移、转角位移与杆端力 12EI l3 6EI l2 v1e=1 -12EI l3 6EI l2 1e=1 4EI l 2EI l 6EI l2 -6EI l2 v2e=1 12EI l3 -12EI l3 -6EI l2 -6EI l2 4EI l 2EI l -6EI l2 6EI l2 e e e e e 1 F e = y 1 12EI l3 v e + 1 6EI l2
8、 e 2 12EI l3 v e + 2 6EI l2 e 1 M e = 1 6EI l2 v e + 1 4EI l e 2 6EI l2 v e + 2 2EI l e + 1 F e = y 2 12EI l3 v e 1 6EI l2 e 2 12EI l3 v e 2 6EI l2 e 1 M e = 2 6EI l2 v e + 1 2EI l e 2 6EI l2 v e + 2 4EI l ( 10-3 ) 由此可得： u e 2 F e = x1 EA l u e 1 （ ） F e = x2 EA l +u e 1 u e 2 （ ） e 1 F e = y 1 12EI
9、 l3 v e + 1 6EI l2 e 2 12EI l3 v e + 2 6EI l2 e 1 M e = 1 6EI l2 v e + 1 4EI l e 2 6EI l2 v e + 2 2EI l e + 1 F e = y 2 12EI l3 v e 1 6EI l2 e 2 12EI l3 v e 2 6EI l2 e 1 M e = 2 6EI l2 v e + 1 2EI l e 2 6EI l2 v e + 2 4EI l （ 10-4 ） 令： 式（12-4）可简写为 : F e = k e e ( 10-5) （1） （2） （3） （4） （5） （6） （1） （2
10、） （3） （4） （5） （6） 2、单元刚度矩阵的性质 （1）、杆端位移一律用绝对位移。即：除 杆端相对位移外，还包含有刚体位移。（请比 较位移法） （2）、单元刚度矩阵中，各单元刚度 系数 的物理意义： ke(i)(j)第j个杆端位移分量 e(j)=1时，（其它位 移分量为零）所引起的第i个杆端力分量Fe(j)的值。 j列的六个元素分别表示当某个杆端位移分量等 于1时，所引起的六个杆端力分量。 （3）、 k e是对称矩阵。 由反力互等定理可知,单元刚度矩阵 是对称矩阵。 （4）、 k e66中所有元素是（E、A、 I、l）的函数，正负号根据单元坐标系的 方向而定。 （5）、一般(自由)单
11、元的单刚 k e66是 奇异矩阵。即： k e66 =0 k e66不存在逆矩阵。 注意：根据单元刚度矩阵，可由 e求出Fe ，且解是唯一的。但不可由 Fe求e ，其结果可能无解或非唯一解 。这是正反两个问题，不可混淆。 解释：一般单元的单元刚度矩阵之 所以为奇异矩阵，是因为计算的单元是 两端无任何支承的自由单元。单元本身 除弹性变形外，还有任意的刚体位移。 Fe完全一样，但e可以不同。对应于 一个平衡力系，可以有多种杆端位移情 况。 （6）、单元刚度矩阵可以分块 以平面刚架单元为例，单元 ij 两端点 i、j 的位移分量和力的分量可表示为： 1e= e 1 u e 1 v e 1 2e= e
12、 2 u e 2 v e 2 F1e= M e 1 F e x1 F e y1 F2e= M e 2 F e x2 F e y2 则（12-10）式可写为： F e 1 F e 2 = k e 11 k e 12 k e 21 k e 22 e 1 e 2 式中 称为单元刚度矩阵的子 块，或简称为子矩阵。 k e ij 5、特殊单元 （包括某些支承的单元） 一般来说，特殊单元的单元刚度矩阵 无需另行推导，只需对一般单元的单元 刚度（矩阵）方程，做一些特殊处理， 便可自动得到。 （1）、梁单元：只考虑杆件的弯曲变 形，忽略其轴向变形。 v1、1、 v2 、 2为任意指定值； u1= u2= 0。
13、（注： u1= u2= 0 在此是 指1、2两点无相对轴向变形） 梁单元的刚度方程 (2)、拉压杆（桁架）单元 （3）、连梁单元 杆端竖向位移已知为零，忽略轴向变形。 为任意指定值， 1、2u1= u2= 0， v1 = v2 = 0 。 注： 、还有多种特殊单元的单元刚度矩阵 。在此不一一列举。 用矩阵位移法分析结构时，着重应注意 计算过程的程序化，标准化。因此，一般情 况下，单元计算分析只采用一种标准化形式 一般单元的单元刚度矩阵 k e66 。 、某些特殊单元的单元刚度矩阵是可 逆的，如连梁单元的单元刚度矩阵 k e22。 是否存在，关键取决于力学模型。 10-3 单元刚度矩阵(整体坐标
14、系) 在实际结构中，杆件的杆轴方向不尽相 同。用局部坐标表示的单元刚度矩阵，整体 分析时不方便。 为进行整体分析，必须建立一个统一的 公用坐标系，称为整体坐标系。也称结构坐 标系、公共坐标系。用xy表示，从x到y顺 时针为正，坐标原点任取。 注意：这里由x轴到 轴的夹角， 顺时针为正。 x 为了进行整体分 析，需将局部坐标系 下的单元刚度矩阵转 换为整体坐标系下的 单元刚度矩阵 k e66 。 求 k e66 的方法 ： 、直接按定义 求。 、通过坐标转 换，由 k e66找出 k e66 。 x x x x O y x 写成矩阵形式： (10-12) 或简写成： (10-13) 式中 T 称为单元坐标转换矩阵 (10-14) 可以证明: T 是正交矩阵，有： T -1= T T (10-15) 或 T T T = T T T = I (10-16) 正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵 。 式（10-13）的逆转换式为： F
