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1、要点全析：等腰三角形 1等腰三角形（isosceles triangle） 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形如图14-3-1，ABC中，ABAC，则ABC是等腰三角形相等的两条边叫腰，另一条边BC叫底边，两腰所夹的角叫顶角，如BAC，底边和腰的夹角ABC和ACB叫底角 如图14-3-2中，C90，ACBC，那么，AC、BC为腰，AB边为底，A、B为底角，C为顶角 【说明】要理解等腰三角形的定义，需注意以下几点： （1）等腰三角形的底不一定在下方，而顶角不一定在上方，如图14-3-2中，AB为底，C为顶角它是根据两腰的位置来确定的 （2）等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边（或
2、任意两边之差小于第三边）若图14-3-1中，ABACm，BCa，则2ma，即ma/2时，才能构成三角形，否则不成立如边长分别为2，2.5的三条线段不能构成三角形，因为225 例如：（1）下列各组数据为边长时，能否组成三角形？ a2，b3，c5；a4，b3，c2； a1，b2，c2；a2 005，b2 004，c2 008 （2）已知等腰三角形的两边为6 cm，7 cm，求其周长 （3）已知等腰三角形的两边长为2 cm，7 cm，求其周长解：（1）由于235，即abc，而不满足abc，不能组成三角形 由于2354，即bca，所以a、b、c可以组成三角形 由于122，即abc，所以a、b、c可以组
3、成三角形 由于abc，因此a、b、c可以组成三角形 （2）因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7 cm 当腰长为6 cm时，周长为66719（cm） 当腰长为7 cm时，周长为67720（cm） 等腰三角形的周长为19 cm或20 cm （3）因等腰三角形的两边长分别为2 cm，7 cm，所以腰长为7 cm，而不能是2 cm若为2 cm，则2247，不能组成三角形因此周长为77216（cm）， 等腰三角形的周长为16 cm 2等腰三角形的性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 如图14-3-3，ABC中，ABAC，则BC 证法一：（利用轴对称）过点A作ABC的对称轴AD AB
4、AC，点A在BC的垂直平分线上 又AD为ABC的对称轴， ABDACD（轴对称性质） BC 证法二：（作顶角平分线）过点A作AD平分BAC交BC于D，如图14-3-3， 在ABD和ACD中ABDACD（SAS） BC 【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明 3等腰三角形的性质2（简称“三线合一”） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合 如图14-3-6，在ABC中，ABAC，AD为顶角的平分线，那么AD既是中线，又是高线，这三条线重合在使用时，在这三条线段中，只要作出其中一条，另外两条也就可以认为作出来了 即ABC中，ABAC， 若AD平分BAC，则ADBC，BDCD；
5、 若BDCD，则ADBC，BADCAD； 若ADBC，则BDDC，BADCAD 因此，等腰三角形中的这条线非常重要，一旦作出，边、角的等量关系就都有了 【说明】（1）“三线合一”仅限于等腰三角形中才有，其他三角形中没有 （2）在一般三角形中，这三条线是不会重合的 如图14-3-7，在ABC中，AD为高，AE为中线，AF平分BAC，因此，这三条线不重合只有等腰时，三条线才会重合；反过来，若某一三角形中三线重合，则该三角形为等腰三角形 （3）在今后的证明题中，经常会使用“三线合一”进行证明 例如：ABC中，ABAC，BDAC交AC于D，如图14-3-8求证：BAC2DBC 证法一： 在BCD中，B
6、DAC，BDC90 DBC90C 在ABC中，ABAC，ABCACBBAC180（ABCACB）1802ACB2（90C）BAC2DBC 证法二：借助于三线合一的性质，过A作AMBC于M，则AM平分BAC， BAC2BAM2CAM. 又BDAC交AC于D，AMBC交BC于M， DBC90C 又AMBC，CAM90C，DBCCAM4等腰三角形的性质3（轴对称性） 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴 如图14-3-9，ABC中，ABAC，AD平分BAC，则ABC的对称轴为AD所在的直线，ABDACD 过D作DEAB，交AB于E，作DFAC，交AC
7、于F 由ABDACD可知DEDF 同理，过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线，它们都相等因此，得到等腰三角形的一个重要结论 重要结论：过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线，其与两腰所截得的线段都分别对应相等 5等腰三角形的性质4（两腰上的对应线段相等） 等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等 例如：如图14-3-10，ABC中，ABAC，若BD、CE分别为AC、AB边上的高线，则BDCE 证明：ABAC，ABCACB（等边对等角） 又BDAC，CEAB，BDCCEB90 在BCD和CBE中， BCDCBE（AAS） BDCE 或SABC0.5ABCE0.5A
8、CBD ABAC，BDCE此法较为简便 同样道理，可分别作出两腰上的中线，两底角的平分线，也分别对应相等 6等腰三角形的判定定理（等角对等边） 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”） 例如：如图14-3-11，ABC中，若BC，则ABAC 证明：过点A作AD平分BAC，交BC于点D， 则BADCAD 在ABD和ACD中， ABDACD（AAS）ABAC 因此，这一结论可直接利用 【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系 （2）有了这一结论，为今后证明线段相
9、等又添了一种重要的解题途径 例如：如图14-3-12，ABC中，ABAC，BD、CE相交于O点且BECD求证：OBOC 证明：ABAC， ABCACB（等边对等角） 在BCE和CBD中 BCECBD（SAS） BCECBD，即OBCBCO OBOC（等角对等边） 【说明】证两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明 7已知底边和底边上的高，求作等腰三角形 已知线段a、b，求作等腰三角形ABC，使底边BCa，高为b 作法：（1）作线段BCa； （2）作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D； （3）在MN上截取ADb； （4）连接AB、AC，ABC就是所求的等腰
10、三角形 【说明】（1）由作法知MN为BC的垂直平分线，ABAC ABC为等腰三角形，如图14-3-13 （2）以前所作的三角形分别为：已知三边，两边夹角，两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形，今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形，共有五种情况，今后还将学习一些更为复杂的作法，都是以这五种为基础进行作图的 8等边三角形（equilateral triangle） （1）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形如图14-3-14，ABC中，ABBCCA，则ABC为等边三角形 （2）性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60如图14-3-14中，若ABC为等边三角形，则AB
11、C60 除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等 （3）判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 下面证明以上两条判定 判定：如图14-3-15，已知ABC中，ABC求证：ABC是等边三角形 证明：BC，ABAC 又ABACBC ABACBC，ABC是等边三角形 判定：如图14-3-15，已知ABC中，ABAC，B60求证：ABC是等边三角形 证明：ABAC，BC 又B60，BC60 又ABC180， A180（BC）60 ABC，ABBCAC ABC为等边三角形 （4）应用： 例如：如图14-3-16，ABC为等边三角形，D、E为直线
12、BC上的两点，且BDBCCE，求DAE的度数 分析：要求DAE的度数，需分开求，先求BAC，再求DAB和CAE，由ABC为等边三角形知BAC60，又BDBC，而BCBA，则BDBA，ABD为等腰三角形，DDAB0.5ABC30同理可知，CAE30 解：ABC为等边三角形， ABBCAC，BACABCACB60 又BDBC，BDBCAB DABD，又ABCDDAB， ABC2DAB60，DAB30 同理，CAE30 DAEDABBACCAE306030120 【说明】本题中用到了等边三角形的性质 再如：如图14-3-17，已知ABC为等边三角形，D、E、F分别为ABC三边上的点，且BDCEAF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P求证：PQR是等边三角形 分析：本题既用到了等边三角形
