小波变换及其在图像处理中的典型应用资料

《小波变换及其在图像处理中的典型应用资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小波变换及其在图像处理中的典型应用资料（108页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 小波变换及其在 图像处理中的典型应用 赵丹培 图像处理中心 2013年9月 2/108 目 录 8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换分类 8.3 小波变换的多分辨分析特性 8.4 尺度函数与小波 8.5 小波变换的快速实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用 3/108 Fourier变换一直是信号处理领域中应用最广泛、 效果最好的一种分析手段，是时域到频域互相转化的 工具，从物理意义上讲，傅里叶变换的实质是把对原 函数的研究转化为对其傅里叶变换的研究。但是傅里

2、 叶变换只能提供信号在整个时间域上的频率，不能提 供信号在某个局部时间段上的频率信息。 8.1 从傅里叶变换到小波变换的 时频分析法 8.1.1 傅里叶变换 4/108 8.1.1 傅里叶变换 傅里叶变换：对于时域的常量函数，在频域 将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局 部化性质。 傅里叶变换 反傅里叶变换 5/108 8.1.1 傅里叶变换 x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*300*t);%产生50HZ和300HZ的信号 f=x+3.5*randn(1,length(t);%在信号中加入白噪声 时间 6/108 由于傅立叶变换无法作局部分析，为此，人 们提出了短时傅里叶变

3、换（STFT）的概念，即窗 口傅里叶变换。 短时傅里叶变换将整个时间域分割成一些小 的等时间间隔，然后在每个时间段上用傅里叶分 析，它在一定程度上包含了时间频率信息，但由 于时间间隔不能调整，因而难以检测持续时间很 短、频率很高的脉冲信号的发生时刻。 8.1.2 短时傅里叶变换 7/108 8.1.2 短时傅里叶变换 基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用 傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间 间隔存在的频率。 STFT的处理方法是对信号施加一个滑动窗(反映滑动 窗的位置)后，再作傅立叶变换。即： 时限频限 8/108 8.1.2 短时傅里叶变换 9/108 8.1.2 短时傅里

4、叶变换 短时傅里叶变换的分析特点 (a)频率变化的影响 (b) 基本分析单元的特点 10/108 小波起源： 1984年Morlet提出;1985年Meyer构造出小波;1988年， Daubechies证明了离散小波的存在;1989年，Mallat提出多分 辨分析和二进小波变换的快速算法;1989年Coifman、 Meyer 引入小波包;1990年崔锦泰等构造出样条单正交小波基;1994 年Sweldens提出二代小波提升格式小波(Lifting Scheme) 。 小波定义： “小”是指在时域具有紧支集或近似紧支集，“波”是指具有正负 交替的波动性，直流分量为0。 小波概念：是定义在有限

5、间隔而且其平均值为零的一种函 数。 8.1.3 小波变换 11/108 持续宽度相同振荡波 波与小波的差异： 12/108 用镜头观察目标 (待分析信号)。 代表镜头所起的作 用(如滤波或卷积)。 相当于使镜头相对于 目标平行移动。 的作用相当于镜头向 目标推进或远离。 小波变换的粗略解释 8.1.4 小波变换的时频分析 13/108 尺度a较大 距离远 视野宽 概貌观察 尺度a较小 距离近 视野窄 细节观察 分析 频率低 分析 频率高 由粗到精 多分辨 分析 品质因数保持不变 14/108 小波变换的时频分析特点： 小波变换的分析特点 (a) 尺度a不同时时域的变化 (b)尺度a不同时频域的

6、变化 15/108 小波变换的多分辨分析特性： 不同a值下小波分析区间的变化 不同a值下分析小波频率范围的变化 16/108 频窗 时窗 小波变换的时频局部特性： 17/108 8.1.5 连续小波变换 尺度因子 的作用是将基本小波 做伸缩， 越大 越宽。 小波的位移与伸缩 18/108 设 ，当 满足允许条件时： 8.1.5 连续小波变换 称 为一个“基小波”或“母小波”。 小波变换的含义是： 把基本小波(母小波)的函数 作位移后，再在不同尺度下与待 分析信号作内积，就可以得到一个小波序列。 19/108 连续情况时，小波序列为： (基本小波的位移与尺度伸缩) 其中 为尺度参量， 为平移参量

7、。 离散的情况，小波序列为 ： 20/108 根据容许条件要求，当=0时，为使被积函数是有效值，必 须有 ，所以可得到上式的等价条件为： 此式表明 中不含直流，只含有交流，即具有震荡性，故 称为“波”，为了使 具有局部性，即在有限的区间之外很快 衰减为零，还必须加上一个衰减条件： 21/108 衰减条件要求小波具有局部性，这种局部性称为“小”，所以称 为小波。 对于任意的函数 的连续小波变换定义为： 逆变换为： 是尺度因子， 反映位移。 22/108 n线性 设： n平移不变性 若 ，则 n伸缩共变性 如果 的CWT是 则 的CWT是 n冗余性(自相似性) 由连续小波变换恢复原信号的重构公式不

8、是唯一的 8.1.6 连续小波的性质 23/108 目 录 8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换分类 8.3 小波变换的多分辨分析特性 8.4 尺度函数与小波 8.5 小波变换的快速实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用 24/108 8.2 小波变换分类 小波函数中 三个变量均为连续变量，称 为连续小波。可以对 三个变量施加不同的离 散化条件，并相应地对小波及小波变换进行分类。 其中，最重要的两种分类： 离散小波及离散小波变换 二进小波及二进小波变换 25/1

9、08 8.2.1 离散小波变换 如果设定 ，则 对于任意函数 ，定义相应的离散小波变换为 ： 如果这时 构成空间 的一组规范正交基，对 于任一函数 的反演式为一展开式： 26/108 8.2.2 二进小波及二进小波变换 在连续小波变换中，令参数 而参数 仍 取连续值，则有二进小波： 这时， 的二进小波变换定义为 27/108 目 录 8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换分类 8.3 小波变换的多分辨分析特性 8.4 尺度函数与小波 8.5 小波变换的快速实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.

10、9 小波变换在图像融合中的应用 28/108 多分辨分析是小波分析中最重要的概念之一，它将一个函 数表示为一个低频成分与不同分辨率下的高频成分，并且多分 辨分析能提供一种构造小波的统一框架，提供函数分解与重构 的快速算法。由理想滤波器引入多分辨率分析的概念： 8.3 小波变换的多分辨分析特性 29/108 多分辨分析定义： 空间 中的一系列闭子空间 ，称为 的多分辨率分析 或逼近，若下列条件满足： n单调性： ，对任意 n逼近性： n伸缩性： n平移不变性： nRiesz基：存在 ，使 构成 的Riesz基，即 是线性无关的，且存在常数 与 ，满足 使得对任意的 ，总存在序列 使得 且 ，称

11、为尺度函数，并称 生成 的一个多分辨分析 。 30/108 是一个无限维向量空间，称为平方可积空间，将 用它的子空间 ， 表示，其中 称为尺度空间 ， 称为小波空间。 尺度空间的递归嵌套关系： 小波空间 是 和 之间的差，即 ，它捕捉 由 逼近 时丢失的信息。推出： 多分辨率的空间关系图 31/108 目 录 8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换分类 8.3 小波变换的多分辨分析特性 8.4 尺度函数与小波 8.5 小波变换的实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应

12、用 32/108 两尺度方程 若 是尺度函数，它生成 的多分辨分析 ，则 必然存在系数序列 ，使得以下尺度关系成立: 这就是两尺度方程，必须满足下列条件： 定义函数 为尺度函数，若其经过整数平移 和 尺度 上的伸缩，得到一个尺度和位移均可变化的函数集 合： 33/108 和 的基本性质是两尺度差分方程： 两尺度方程的频域表示为： 34/108 目 录 8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换分类 8.3 小波变换的多分辨分析特性 8.4 尺度函数与小波 8.5 小波变换的快速实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像

13、去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用 35/108 8.5.1 Mallat算法与塔式分解 系数分解的快速算法： Mallat小波快速分解算法的流程图 36/108 系数重构的快速算法 ： Mallat小波快速重构算法的流程图 37/108 目 录 8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换分类 8.3 小波变换的多分辨分析特性 8.4 尺度函数与小波 8.5 小波变换的快速实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用 38/108 8.6.1 二维小波变换的实

14、现 假定二维尺度函数可分离，则有 其中 、 是两个一维尺度函数。若 是相应的 小波，那么下列三个二维基本小波： 与 一起就建立了二维小波变换的基础。 39/108 8.6.2 图像小波变换的正变换 正变换 图像小波分解的正变换可以依据二维小波变换按 如下方式扩展，在变换的每一层次，图像都被分 解为4个四分之一大小的图像。 40/108 8.6.3 图像小波变换的逆变换 逆变换 在每一层(如最后一层)都通过在每一列的左边插入一列 零来增频采样前一层的4个阵列(即4个分解图像)； 接着用重构低通滤波器h和重构高通滤波器g来卷积各行 ，再成对地把这几个的阵列加起来； 然后通过在每行上面再插入一行零来

15、将刚才所得两个阵 列(图像)的大小增频采样为NN； 再用h和g与这两个阵列的每列进行卷积。这两个阵列的 和就是这一层次重建的结果。 41/108 对于二维图像信号，在每一层分解中，由原始 图像信号与一个小波基函数的内积后再经过在x和y 方向的二倍间隔抽样而生成四个分解图像信号。对 于第一个层次(j=1)可写成： 8.6.4 二维小波变换的Mallat算法 42/108 将上式内积改写成卷积形式，则得到离散小波变 换的Mallat算法的通用公式： 二维小波变换Mallat算法的通用公式 ： 43/108 8.6.5 二维Mallat多分辨率分解与重构 44/108 图像的Mallat快速塔式分解

16、实验 45/108 8.6.6 多孔算法 46/108 多 孔 算 法 的 分 解 实 验 47/108 目 录 8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换分类 8.3 小波变换的多分辨分析特性 8.4 尺度函数与小波 8.5 小波变换的实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用 48/108 边缘像素实质上是局部图像范围内灰度的急剧 变化点(奇异点)，图像边缘就是二维图像中奇异点 的集合。边缘点在频域表现为高频信号，而图像噪 声也多为高频信号，这使得两者难以区分。边缘检 测的目的就是既要将