《高三数学一轮复习第三章导数及其应用第四节导数的综合应用课件理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习第三章导数及其应用第四节导数的综合应用课件理（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、理数 课标版,第四节 导数的综合应用,1.利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形. (2)构造新的函数h(x). (3)对h(x)求导. (4)利用h(x)判断h(x)的单调性或最值.,教材研读,(5)下结论.,2.一元三次方程根的个数问题 令f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),则f (x)=3ax2+2bx+c.,方程f (x)=0的判别式=(2b)2-12ac, (1)当0,即b23ac时, f (x)0恒成立, f(x)在R上为增函数,又易知存 在x、xR,使f(x)f(x)0,即b23ac时,方程f (x)=0有两个实根,设为x1,x2(x1m). a.当m0时,方程f
2、(x)=0有 一 个实根; b.当m=0时,方程f(x)=0有 两 个实根; c.当m0时,方程f(x)=0有 三 个实根; d.当M=0时,方程f(x)=0有 两 个实根; e.当M0时,方程f(x)=0有 一 个实根.,考点一 利用导数研究函数的零点或方程的根 典例1 (2016北京,20,13分)设函数f(x)=x3+ax2+bx+c. (1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程; (2)设a=b=4.若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围;,考点突破,(3)求证:a2-3b0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件. 解析 (1)由f(x)=x3+ax2+bx+c
3、, 得f (x)=3x2+2ax+b. 因为f(0)=c, f (0)=b, 所以曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y=bx+c. (3分),(2)当a=b=4时, f(x)=x3+4x2+4x+c, 所以f (x)=3x2+8x+4. 令f (x)=0,得3x2+8x+4=0, 解得x=-2或x=- . (4分) f(x)与f (x)在区间(-,+)上的情况如下表:,(6分),所以,当c0且c- 0时,存在x1(-4,-2),x2 ,x3 ,使 得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0. 由f(x)的单调性知,当且仅当c 时,函数f(x)=x3+4x2+4x+c有三个不 同零
4、点. (8分),(3)证明:当=4a2-12b0,x(-,+), 此时函数f(x)在区间(-,+)上单调递增,所以 f(x)不可能有三个不同零 点. (9分),当=4a2-12b=0时, f (x)=3x2+2ax+b只有一个零点,记作x0. 当x(-,x0)时, f (x)0, f(x)在区间(-,x0)上单调递增; 当x(x0,+)时, f (x)0, f(x)在区间(x0,+)上单调递增. 所以f(x)不可能有三个不同零点.,综上所述,若函数f(x)有三个不同零点,则必有=4a2-12b0. 故a2-3b0是f(x)有三个不同零点的必要条件. (11分) 当a=b=4,c=0时,a2-3
5、b0, f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2只有两个不同零点,所以 a2-3b0不是f(x)有三个不同零点的充分条件.(12分) 因此a2-3b0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件. (13分),方法技巧 利用导数研究方程根的方法 (1)研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最 小值、变化趋势等. (2)根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置. (3)可以通过数形结合的思想去分析问题,使问题的求解有一个清晰、 直观的整体展现. 1-1 (2015课标,21,12分)已知函数f(x)=x3+ax+ ,g(x)=-ln x. (1)当a为何
6、值时,x轴为曲线y=f(x)的切线? (2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论 h(x)零点的个数.,解析 (1)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)=0, f (x0)=0,即 解得x0= ,a=- . 因此,当a=- 时,x轴为曲线y=f(x)的切线. (2)当x(1,+)时,g(x)=-ln x0,从而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,故h(x) 在(1,+)内无零点. 当x=1时,若a- ,则f(1)=a+ 0,h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0,故x=1是h (x)的零点;若a-
7、,则f(1)0,h(1)=minf(1),g(1)=f(1)0,故x=1不是h(x)的 零点.,当x(0,1)时,g(x)=-ln x0,所以只需考虑f(x)在(0,1)内的零点个数. (i)若a-3或a0,则f (x)=3x2+a在(0,1)内无零点,故f(x)在(0,1)内单调.而 f(0)= , f(1)=a+ ,所以当a-3时, f(x)在(0,1)内有一个零点;当a0时, f(x)在(0,1)内没有零点. (ii)若-30,即- a0,则f(x)在(0,1)内无零点; 若f =0,即a=- ,则f(x)在(0,1)内有唯一零点;,若f - 或a- 时,h(x)有一个零点;当a=- 或
8、a=- 时,h(x)有两个零 点;当- a- 时,h(x)有三个零点.,考点二 利用导数研究不等式的有关问题 命题角度一 证明不等式 典例2 (2016课标全国,21,12分)设函数f(x)=ln x-x+1. (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明当x(1,+)时,11,证明当x(0,1)时,1+(c-1)xcx. 解析 (1)由题设知, f(x)的定义域为(0,+), f (x)= -1,令f (x)=0,解得x=1. 当00, f(x)单调递增;当x1时, f (x)0, f(x)单调递减. (4分) (2)证明:由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0. 所以当x
9、1时,ln xx-1.,故当x(1,+)时,ln x1,设g(x)=1+(c-1)x-cx, 则g(x)=c-1-cxln c,令g(x)=0, 解得x0= . 当x0,g(x)单调递增;当xx0时,g(x)0. 所以当x(0,1)时,1+(c-1)xcx. (12分),命题角度二 不等式恒成立问题 典例3 (2016四川,21,14分)设函数f(x)=ax2-a-ln x,其中aR. (1)讨论f(x)的单调性; (2)确定a的所有可能取值,使得f(x) -e1-x在区间(1,+)内恒成立(e=2.718为自然对数的底数). 解析 (1)f (x)=2ax- = (x0). 当a0时, f
10、(x)0时,由f (x)=0,有x= . 此时,当x 时, f (x)0, f(x)单调递增.,(2)令g(x)= - = ,s(x)=ex-1-x.则s(x)=ex-1-1. 而当x1时,s(x)0, 所以s(x)在区间(1,+)内单调递增. 又由s(1)=0,有s(x)0,从而当x1时,g(x)0.,当a0,x1时, f(x)=a(x2-1)-ln xg(x)在区间(1,+)内恒成立时,必有a0. 当01. 由(1)有f 0, 所以此时f(x)g(x)在区间(1,+)内不恒成立.,当a 时,令h(x)=f(x)-g(x)(x1). 当x1时,h(x)=2ax- + -e1-xx- + -
11、= 0. 因此,h(x)在区间(1,+)内单调递增.,又因为h(1)=0,所以当x1时,h(x)=f(x)-g(x)0, 即f(x)g(x)恒成立. 综上,a .,方法技巧 1.利用导数证明不等式的方法 证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),如果F(x)0,则F(x)在 (a,b)上是减函数,同时若F(a)0,由减函数的定义可知,x(a,b)时,有F(x) 0,即证明了f(x)g(x).,2.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略 (1)首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相 应的含参不等式,从而求出参数的取值范围. (2)也可分离
12、变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.,2-1 已知f(x)=(1-x)ex-1. (1)求函数f(x)的最大值; (2)设g(x)= ,x-1,且x0,证明:g(x)0, f(x)单调递增;当x(0,+)时, f (x)0时, f(x)x.设h(x)=f(x)-x,则h(x)=-xex-1. 当x(-1,0)时,0-x1,0ex1,则0-xex1,从而当x(-1,0)时,h(x)h(0)=0,即g(x)1. 综上,总有g(x)1.,2-2 设函数f(x)= +2ln x. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)如果对所有的x1,都有f(x)ax,求a的取值范围. 解析 (1)f(
13、x)的定义域为(0,+), f (x)= , 所以当0 时, f (x)0, 故函数f(x)在 上单调递减,在 上单调递增. (2)当x1时, f(x)axa + , 令h(x)= + (x1), 则h(x)= - = ,令m(x)=x-xln x-1(x1),则m(x)=-ln x, 显然,当x1时,m(x)0, 所以m(x)在1,+)上为减函数, 所以m(x)m(1)=0, 因此h(x)0,于是h(x)在1,+)上为减函数, 所以当x=1时,h(x)有最大值h(1)=1,故a1, 即a的取值范围是1,+).,考点三 用导数解决实际生活中的优化问题 典例4 (2016云南玉溪一中月考)时下网
14、校教学越来越受广大学生的喜 爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的 销售量y(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足的关系式为y= +4 (x-6)2,其中2x6,m为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21 千套. (1)求m的值; (2)假设网校的员工工资、办公费用等所有开销折合为每套题2元(只考 虑销售出的套数),试确定销售价格x的值,使网校每日销售套题所获得的 利润最大.(精确到0.1),解析 (1)因为x=4时,y=21,所以 +16=21,解得m=10. (2)由(1)可知,套题每日的销售量为y= +4(x-6)2,所以每日销售套题所获得的利
15、润(单位:千元)为f(x)=(x-2) =10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2x6)，,从而f (x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(20,函数f(x) 单调递增;在 上, f (x)0,函数f(x)单调递减. 所以x= 是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,所以当x= 3.3时,函数f(x)取得最大值. 故当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.,规律总结 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中变量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实 际问题中变量之间的函数关系式y=
16、f(x); (2)求函数的导数f (x),解方程f (x)=0; (3)比较函数在区间端点和使f (x)=0的点处的函数值的大小,最大(小)者 为最大(小)值; (4)写出答案.,3-1 某食品厂进行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的采购成本为20元,并且 每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2t5).设该食品厂每千克蘑菇 的出厂价为x元(25x40),根据市场调查,日销售量q千克与ex成反比, 当每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100千克. (1)求该工厂的日利润y元与每千克蘑菇的出厂价x元的函数关系式; (2)若t=5,则当每千克蘑菇的出厂价x为多少时,该工厂的每日利润y最 大?并求出最大值.,解析 (1)设q= (k0)
