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1、南京航空航天大学 硕士学位论文 三角形网格上Hamilton-Jacobi方程的数值方法研究 姓名：张亮亮 申请学位级别：硕士 专业：计算数学 指导教师：王春武 20080301 南京航空航天大学硕士学位论文 i 摘摘 要要 Hamilton-Jacobi（简称 H-J）方程在几何光学、计算流体力学、控制系统、计算机 图形图像和网格生成等方面有着非常重要的应用鉴于此，在过去的十年中，有许多关 于 H-J 方程的理论和数值研究一般来说，H-J 方程的解析解是难以求出的，其弱解并 不唯一，即使在 Hamiltonian H和初始条件 0 u 连续的情况下，解的导数都可能会出现间 断对于非结构三角形
2、网格上 H-J 方程的数值求解方法的构造，主要困难在于数值通量 的选择和高精度插值多项式的构造1996 年，Abgrall 等给出了一个针对 H-J 方程的数 值通量，但格式只有一阶精度 本文在 Abgrall 等工作的基础上，通过构造三角形网格上的高阶插值多项式，得到 了一个求解 H-J 方程的高阶精度格式具体思路为：在每个三角形单元上构造插值多项 式，在构造插值多项式时，若遇到病态方程组，则采用逐步增加节点，然后结合数值分 析里的最小二乘方法，把病态方程组转化为正常的方程组来求解由于较多地利用了三 角形单元周围的点的信息，从而构造出来的插值多项式将比原来更精确本文最后利用 构造出来的数值格
3、式对一些经典的算例进行了数值模拟， 分析说明了所构造格式具有较 高的精度和较好的分辨率 关键词：关键词： Hamilton-Jacobi 方程，高精度格式，三角形网格，病态方程组，插值多项式 三角形网格上 Hamilton-Jacobi 方程的数值方法研究 ii Abstract Hamilton-Jacobi (H-J) equations are of important application in many fields, such as geometric optics, computational fluid dynamics, control systems, computer
4、vision, and mesh generation. For this reason, in the last decade, there is much theoretical and numerical study on H-J equations. Generally it is very difficult to find the analytic solutions of H-J equations and their weak solutions are not unique. Even if HamiltonianH and initial condition 0 u are
5、 continuous, they may develop discontinuous derivatives. About the construction of numerical methods in solving H-J equations on unstructured meshes, the difficulty is mainly in the choice of numerical flux and the construction of the high-order interpolation polynomials. In 1996, Abgrall gave a num
6、erical flux of H-J equations and the scheme is only first-order. Therefore, the construction of high-order accuracy schemes is of great importance. In this paper we obtained a high-order scheme for H-J equations by constructing the high-order interpolation polynomials on triangular meshes. The detai
7、led procedure is as follows: constructing interpolation polynomials on every triangular cell by solving linear equation systems. If equations are ill conditioned, they can be solved with the least square method by adding more vertexes gradually into the interpolating stencil. The interpolation polyn
8、omials are more accurate as more information on the neighboring triangular cells is considered. The obtained schemes are employed to simulate some typical examples; it is found that the constructed schemes in this paper are of high-order accuracy in smooth regions and good resolution. Key Words: Ham
9、ilton-Jacobi equations, high-order accuracy scheme, triangular meshes, ill-conditioned equations, interpolation polynomial 三角形网格上 Hamilton-Jacobi 方程的数值方法研究 iv 图清单图清单 图 2.1 三次插值多项式的扩张模板15 图 3.1 共顶点i的三角剖分17 图 3.2 计算区域 2,2 2,2 外面加层之后的网格，4/5h =.26 图4.1 两种边界处理方法的计算网格，边界步长0.1h =.27 图4.2 算例1的结果（第一种边界处理方法，一
10、阶， 2 0.5/t=）.28 图4.3 算例1的结果(第二种边界处理方法，一阶， 2 0.5/t=).28 图4.4 算例1的结果(第二种边界处理方法，二阶， 2 0.5/t=).29 图4.5 算例1的结果（第二种边界处理方法，二阶， 2 1.5/t=）29 图4.6 算例1的结果（ 2 0.5/t=）.30 图4.7 算例2的结果（第一种边界处理方法，一阶， 2 0.5/t=）.31 图4.8 算例2的结果（第一种边界处理方法，一阶， 2 1.5/t=）32 图4.9 算例2的结果（第二种边界处理方法，一阶， 2 0.5/t=）.32 图4.10 算例2的结果（第二种边界处理方法，二阶，
11、 2 0.5/t=）.33 图4.11 算例2的结果（第二种边界处理方法，二阶， 2 1.5/t=）33 图4.12 算例3的结果（第一种边界处理方法，一阶， 2 0.5/t=）.34 图4.13 算例3的结果（第一种边界处理方法，一阶， 2 1.5/t=）34 图4.14 算例3的结果（第二种边界处理方法，一阶， 2 0.5/t=）.35 图4.15 算例3的结果（第二种边界处理方法，二阶， 2 0.5/t=）.35 图4.16 算例3的结果（第二种边界处理方法，二阶， 2 1.5/t=）36 南京航空航天大学硕士学位论文 v 表清单表清单 表4.1 算例1的误差分析（第一种边界处理方法，一
12、阶， 2 0.5/t=）.30 表4.2 算例1的误差分析（第二种边界处理方法，一阶， 2 0.5/t=）.30 表4.3算例1的误差分析（第二种边界处理方法，二阶， 2 0.5/t=）31 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行 研究工作所取得的成果尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学 位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容对本论文所涉及的 研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明 本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允许论 文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩
13、印或其他复制手段保存论文 (保密的学位论文在解密后适用本承诺书) 作者签名： 日 期： 南京航空航天大学硕士学位论文 1 第一章第一章 绪论绪论 1.1 引言引言 H-J方程来源于最优控制理论、 微分几何、 天体物理学、 气象学、 流体力学等学科 目 前，H-J方程在光学、计算流体、优化控制、微分几何、网格生成、图像处理和几何光 学等方面有着非常重要的应用但目前求解该方程的数值方法更多局限在结构网格上， 因此开展非结构三角形网格上H-J方程的求解方法研究是非常有必要的 1.2 H-J 方程的理论概述方程的理论概述 近年来，H-J方程的数学理论与数值逼近已引起人们越来越多的关注H-J方程不 仅在
14、原有的领域例如优化控制、微分几何、变分法（又称变分学） 、几何光学等有非常 重要的应用，而且不断开拓新的应用领域，例如用于网格生成以及流体界面的水平集方 法计算等在多介质流动的数值模拟中，Level Set方程作为一类特殊形式的H-J方程， 得到广泛应用来追踪流体界面 1.2.1 H-J 方程的基本结论方程的基本结论 H-J方程的理论主要是Crandall和Lions等人建立的粘性解理论粘性解实际上是 经典解的推广，通过对Hamilton函数H和初始条件函数 0 u作小的假设，他们证明了问 题（1.2.1）粘性解的存在性、唯一性和稳定性 考虑如下形式的H-J方程的初值问题： 0 (, , ,)
15、0,(, )(0,) (,0)(), N N u H X t u DuX tR t u XuXXR += = （1.2.1） 其中 12 ( ,) , T N Xx xx=L 12 (,)T N uuu Du xxx = L表示函数 12 ( ,) N u x xxL关于空间变量 的梯度向量，() NN HC RRRR + （ N R上的连续函数）是Hamilton函数， 0( )() N uXBUC R（ N R上的有界且一致连续的函数空间） 众所周知，由于H-J方程是 三角形网格上 Hamilton-Jacobi 方程的数值方法研究 2 一类非线性方程，它的解析解很难求出，而且解的性质很复
16、杂，弱解不唯一，解的导数 即使在初始条件函数和Hamilton函数H足够光滑的情况下，也可能会出现间断，导致 解曲面（线）出现尖点或纽结，在界面问题中还会出现界面的融入与分离等问题H-J 方程的弱解的不唯一性也使得有必要介绍熵条件和粘性解的概念， 以便挑出一个唯一的 物理相关解 对H-J方程的研究可以追溯到二十世纪中叶甚至更早，例如Bellman、Courant、 Conway、Hopf、Lax、Bliss、Kruzkov等人的工作30,31,32,33,34,35早期的工作中， 研究H-J方程的方法主要是特征线法32,36,371983年Crandall和Lions在研究H-J方 程时首先引入了粘性解的概念及粘性上下解的方法后，Crandall、Evans、Lions以及 Souganidis等38,39,43进一步对H-J方程的适定性、解的存在性、唯一性进行了较为系 统的
