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1、暑期培训（多元函数微分学）一、多元函数的偏导数 1. f(x,y)可微，f(0,0)=0, ，求。知识点：抽象的复合函数求偏导关键：理清函数结构答案：难度：易2. z=z(x,y)由f(y-x, yz)=0所确定，f对各变量的二阶偏导函数连续，求，。知识点：抽象的复合函数、隐函数求偏导关键：理清函数结构答案： 难度：易3. ，求知识点：抽象的复合函数求偏导关键：3个变量，1个方程在一定条件下可确定一个2元函数，该2元函数的因变量可以是，也可以是或者答案：难度：易4. z=f(x,y)在（0,1）的某邻域内可微，且，一元函数y(x)由f(x,y)=1所确定，求知识点：多元函数全微分的定义关键：找
2、到两个已知条件：“z=f(x,y)在（0,1）的某邻域内可微”与 “ ”之间的联系，从而从已知条件中发现求所需要的东西。答案：难度：中5. 求知识点：3元的抽象的复合函数求偏导关键：理清函数结构+耐心答案：难度：易6. 知识点：隐函数求偏导关键：求出的表达式，明确时答案：难度：易7. f二阶可微，求.知识点：抽象的复合函数求偏导关键：处理好答案：难度：易8. 可微，求知识点：抽象的复合函数求偏导关键：理清函数结构、处理好答案：难度：易9. 有二阶连续偏导数，由 所确定，求知识点：抽象的复合函数求偏导关键：等号左边的有3个中间变量；。答案：难度：易10. 确定和，使得满足方程：知识点：抽象的复合
3、函数求偏导关键：求偏导要正确。答案：难度：易11. f(t)的二阶导函数连续，求知识点：抽象的复合函数求偏导关键：计算量大，需仔细整理；遇到写成；使用轮换对称性可减少一半的工作量。答案：难度：中12. z=z(x,y)由所确定，F有连续的二阶偏导，且 ，证明：（1）；（2）知识点：隐函数求偏导关键：用表示及答案：证明略 难度：中。13. 有二阶连续偏导数，且求知识点：抽象函数求偏导关键：对偏导符号的理解；需明白对于一个抽象函数 ，显然， 的函数结构与的相同。答案：难度：中14. 有二阶连续偏导数，是由所确定的函数，求知识点：抽象函数求偏导关键： 1. 三个变量，1个方程在一定条件下可确定一个2
4、元函数，该2元函数的因变量可以是，也可以是或者此题选择为因变量，因此在求过程中视为常数；2. 对偏导符号的理解；3.对于一个抽象函数 ，显然的函数结构与的相同;4. 注意到有二阶连续偏导数，所以答案：难度：中15. 已知均成立，证明：（1）（2）知识点：抽象函数求偏导关键：对偏导符号的理解提示：（1）已知条件中令 （2）已知等式两边对求导，再令即可。难度：中。二、偏导数恒等式的坐标变换1. z=z(x,y) 有二阶连续偏导数， u=x-2y , v=x+3y且，求。知识点：隐函数组求偏导关键：要求的是，所以z=z(x,y)=z(x(u,v)，v(x,y)答案：0难度：易。2. z=z(x,y)
5、，设，,对，证明：知识点：隐函数求偏导，方程组的情形关键：证明略难度：中3. 有二阶连续偏导数，证明可经过变量替换化为等式知识点：隐函数组求偏导关键：证明略难度：中4. 有二阶连续偏导数，以改变方程的形式.知识点：抽象函数求偏导，链式法则关键：1. 是关于和的函数，而，由此求出，在进一步求出 2. 的函数结构与的相同。答案：难度：难5. 将Laplace方程 化为极坐标的形式.知识点：抽象函数求偏导，链式法则关键：1. 2. 是关于和的函数，而由此求出，在进一步求出 3. 的函数结构与的相同。答案：（同济第六版81页有此题）难度：难（计算量较大）三、已知偏导数恒等式，求函数表达式此类题一般分两
6、个步骤：第一步 由已知条件得到一个关于未知函数的一个微分方程；第二步 求解微分方程。可见第一步是关键，第二步要算对。1. u0时，连续，且f(1)=0，满足），求f(u).知识点：抽象函数求偏导，链式法则关键：代入可得关于f(u)的微分方程。答案：难度：较易2. 可导，满足：求。知识点：抽象函数求偏导，链式法则关键：令整理可得关于的微分方程。答案：略 难度：较易3. 有连续偏导数，且求所满足的一阶微分方程，并求其通解。知识点：抽象函数求偏导，链式法则，一元隐函数求导，微分方程关键：如何处理的函数结构？答案：整理而得关于的微分方程： 难度：易4. u=f(ln) ，u满足，求f(x,y)知识点：
7、抽象函数求偏导，微分方程关键：将 u=f(ln)代入后可整理得到相应的微分方程；使用轮换对称性可减少计算量。答案： 难度：中5. f(x,y)二阶偏导数连续，满足，且在极坐标系下可表为f(x,y)=h(r), ，求f(x,y)。知识点：抽象函数求偏导，微分方程关键：f(x,y)=h(r)=h()答案：整理得到的微分方程：难度：中6. 二阶偏导数连续，求知识点：抽象函数求偏导，微分方程关键：令答案：整理得到的微分方程：难度：中7. 时的二阶导数连续，满足：，求知识点：抽象函数求偏导，微分方程关键：令；使用轮换对称性可减少计算量。答案：整理得到的微分方程：难度：中8. ，求知识点：抽象函数求偏导，
8、微分方程关键：令。答案：整理得到的微分方程：难度：中9. 在求连续，f(1)=0, 满足：,求f在的最大值。知识点：抽象函数求偏导，微分方程，一元函数的最值。关键：令。答案：整理得到的微分方程：难度：中*10. 有二阶连续偏导数， 求知识点：如何使用一元的不定积分求解简单的偏微分方程关键：在处理 时，视为常数，反之一样；注意每求出一个不定积分要加上一个常数，这里的常数该如何表示？答案： 难度：易11. 时时，求知识点：如何使用一元的不定积分求解简单的偏微分方程关键：在处理 时，视为常数，反之一样；注意每求出一个不定积分要加上一个常数，这里的常数该如何表示？答案： 难度：易12. ，求z=z(x
9、,y)知识点：如何使用一元的不定积分求解简单的偏微分方程关键：在处理 时，视为常数，反之一样；注意每求出一个不定积分要加上一个常数，这里的常数该如何表示？答案： 难度：中13. 满足，求知识点：如何使用一元的不定积分求解简单的偏微分方程关键：在处理 时，视为常数，反之一样；注意每求出一个不定积分要加上一个常数，各步的常数该如何表示？答案： 难度：中*14. u(x,y,z)可微，且求u(x,y,z)知识点：三元函数全微分的逆运算关键： 答案： 难度：较易15. 可微，.（1）若存在，使得求（2）若求使得知识点：抽象函数求偏导，积分与路径无关的充要条件关键： （1）存在，使得说明了什么？ （2）
10、由（1）的结论用表示，代回到中,可凑出。答案：(1) (2).难度：中16. 可微，求知识点：偏导数+微分方程关键：若令 ，则；若令，视为常数，则如何处理？答案： 难度：难。17. u=f(x,y,z)，f可微，若=，证明：u仅为r的函数，知识点：三元函数的球面坐标变换关键： u仅为r的函数意味着；如何利用=。证明略难度：难。四、中值定理1.证明：存在，使得知识点：二元函数的中值定理关键：确定是什么函数在哪一点处使用中值定理，证明略难度：易。五、方向导数与梯度1. 可微，在点处求知识点：方向导数的定义；全微分的定义关键：细化求出点P处的，就能求出答案：略难度：较易。2. 求使得在点处沿轴正向的
11、方向导数最大，其值为64.知识点：方向导数的定义关键：沿梯度的方向方向导数取得最大值答案：难度：较易。3. 确定，使得在右半平面上，向量为某二元函数的梯度，并求出。知识点：梯度的定义；二元初等函数的二阶偏导数在其定义域内连续，从而两个二阶混合偏导数相等。关键：求偏导要正确；一阶偏微分方程的求解答案：难度：中。4. 某房顶的顶部是个半椭球面，方程为求下雨时过房顶上处的雨水流下的路线方程（不计摩擦力）。知识点：梯度与方向导数的关系；空间曲线的投影柱面与投影曲线。关键：利用梯度与方向导数的关系找到所求曲线在xoy坐标面上的投影曲线所满足的方程。答案： 难度：中。5. 设某座山的底面所在平面为坐标面，
12、占据的区域为 山的高度函数为 （1）设为上一点，问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为写出的表达式。 （2）若要在山脚寻找上山坡度最大的点作为攀岩比赛的起点，请确定起点的坐标。知识点：梯度与方向导数的关系；条件极值。关键：沿梯度的方向方向导数取得最大值答案：（2）点（5，-5）或点（-5,5）。难度：中。6. 在内有二阶连续偏导数，且 证明：，为的边界的单位外法向量。知识点：平面曲线的单位切向量、单位法向量；方向导数；两类曲线积分之间的关系； 格林公式。关键：解题的关键步骤就含在知识点里。证明：略难度：难（是个综合题）。六、几何应用1. 求曲面平行于平面的切平面方程。
13、知识点：曲面的切平面。关键：两个平行平面，它们的法向量也平行。答案：略难度：较易。2曲面可导，讨论曲面上任一点处的切平面与向量（1,1,1,）的位置关系。知识点：抽象函数求偏导；曲面的切平面。关键：两个向量垂直它们的内积为0。答案：平行难度：较易。3. z=f(x,y)在（0,1）的某邻域内可微，且，求z在（0,1，1）处的切平面。知识点：全微分的定义；曲面的切平面。关键：找到在对应点处的答案：难度：中。4. f(x,y)对任意x,y,t满足：，点P（1，-2,2）在z=f(x,y)上，且，求曲面z=f(x,y)在点P处的切平面。 知识点：隐函数求偏导；曲面的切平面。关键：对偏导符号的理解；等式两边对求偏导。答案：难度：中。5. 为可微函数，满足 ，点（1，-2,2）在曲面上，求曲面在点（1，-2,2）处的切平面。知识点：隐函数求偏导；曲面的切平面。关键：对偏导符号的理解；等式两边对求偏导。答案：难度：中。6. 过直线 作曲面的切平面，求此切平面。 知识点：平面束；曲面的切平面,两个平面平行的充要条件。关键：找到所求平面所对应的。答案：难度：难。7. 曲面上任意点处切平面在OZ轴上的截距与切点到坐标原点的距离之比为常数C，求C。知识点：抽象函数求偏导；曲面的切平面；平面的截距式方程。关键：求出曲面的切平面的截距式方程，记。答案：
