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1、湘潭大学 硕士学位论文 一类拟线性抛物与双曲方程广义有限元方法的渐近展式和超收 敛 姓名：邓再辉 申请学位级别：硕士 专业：计算数学 指导教师：喻海元 20070508 I 摘 要 本文利用正交级数理论及广义有限元方法，针对拟线性抛物与双曲问题，研 究了一类二阶拟线性抛物与双曲方程有限元的超收敛性，获得了较完整的结果。 证明了插值系数有限元法求解非线性一阶常微分初值问题， 拟线性抛物问题和拟 线性双曲问题。 本文主要包括以下三个方面： 1. 关于拟线性广义有限元渐近展式和超收敛的一些预备知识的介绍。 2. 给出了一类二阶拟线性抛物方程广义有限元解的渐近展式和超收敛结 果。针对空间为一维的抛物问
2、题半离散格式和全离散格式，分别讨论了插值系数 广义有限元的超收敛性。其次介绍了两网格算法及其误差分析。 3. 讨论了拟线性双曲方程的半离散插值系数有限元的超收敛性。 关键词：广义有限元；拟线性方程；渐近展式；超收敛；两网格算法 II ABSTRACT In this dissertation, super convergence of second-order quasilinear parabolic and hyperbolic equations is analyzed, by using orthogonal series theory and generalized finite e
3、lement method (GFEM), and complete results are achieved. It is authenticated that nonlinear one-order ordinary differential intial-value problems, quasilinear parabolic problems and quasilinear hyperbolic problems are solved by interpolation coefficient finite element method. This dissertation inclu
4、des the following contents: 1.The preliminaries of GFEM for asymptotic expansions of guasilinear equationsand super convergence are introduced. 2.The results of super convergence and asymptotic expansions of the solution of second-order quasilinear parabolic equations using GFEM are calculated. The
5、super convergence of interpolation coefficient finite element method is discussed, aiming at semidiscretization format and discretization format of one dimensional parabolic problem. Finally the two-grid algorithm and its error analysis are introduced. 3.Super convergence of semidiscretization inter
6、polation coefficients of guasilinear hyperbolic equations is discussed by using GFEM. Keywords: Generalized finite element; Guasilinear equations; Asymptotic expansion; super convergence；two-grid algorithm 湘潭大学湘潭大学 学位论文原创性声明学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其
7、他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湘潭大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。 涉密论文按学校规定处理。 作者签名： 日期： 年 月 日 导师签名： 日期： 年 月 日 1 引
8、 言 1、问题提出的背景和意义 广义有限元方法，作为解决实际的有力工具，在不断地发展。1994 年， Babushka 等人在文献1中首次应用单位分解法(PUM)解决了一类带非光滑系数 的二阶椭圆方程，当时称之为特殊有限方法，实际上只是广义有限元方法的另一 种称呼而已。2000 年 Babushka 和 Osborn 在文献2首次将 PUM 和经典有限元 方法相结合， 并用来成功地解决了一类包括多角城多裂缝等复杂区域的 Lapatace 方程。2004 年 Babushka 等人详细总结了广义有限元方法的重要思想，主要结论 和这一方法的发展前景。 总之，广义有限元方法在解决具有复杂几何域的问题
9、时，较经典有限元有明 显的优势，见文献3、4、5。一方面，它的本质边界条件比较好提；另一方面， 计算过程中数值积分的精度能够有效地控制。同时，实际计算证明，当方程的系 数具有激烈振动性（受小尺度的控制）且光滑性很差，方程的解的光滑性也不 太好，但通量函数的解却具有好的光滑性的情况下，使用广义有限元方法，能用 较快的速度较少的计算量，达到较好的精度。 论文的主题拟线性抛物与双曲方程广义有限元的渐近展式和超收敛，早在 1970 年后，人们就发现有限元解或导数在某些点上有特别好的精度，并称之为 超收敛。以后不断提出多种方法和理论，得到丰硕的成果。1996 年 7 月芬兰召 开有限元国际会议，babu
10、ska 称超收敛是有限元的十大进展之一。对一般非线性 问题， 在一定条件下， 已经证明， 非线性有限元具有线性有限元相同的超收敛性。 对一类较特殊但应用很广泛的拟线性问题，在广义有限元空间中，结合插值系数 有限元与经典有限元，比较它们的渐近展式和超收敛性质是有意义的。 在广义有限元的理论分析中，因为方程解的正则性估计通常与小尺度有 关，所以经典的有限元分析有一定的困难。我们将利用正交级数展开理论，给出 一般 n 阶广义有限元空间插值函数的渐近展式， 从而获得一类一维二阶拟线性方 程广义有限元解的渐近展式和超收敛结果。 2、本文的主要工作 本文主要讨论了一维二阶拟线性双曲与抛物方程广义有限元方法
11、的渐近展 2 式和超收敛，全文共分三章。 在第一章中， 我们对拟线性方程广义有限元方法的渐近展式和超收敛的一些 基本概念和相关知识作了一个简单的介绍。 在第二章中，我们研究了如下二阶拟线性抛物方程 0 ()( , , )( , )(0,1) (0, 001,(0, ) (0,1) t t uauf x t ux tT uxtT ux = = = = 或 其中，函数a与( , , )f x t u适当光滑，且满足： 0 minOra，( , , )0 u fx t u 讨论了该方程在广义有限元空间 1 02 ( ):( ),1(1) n hnhni SvHIL vPIiN = 中有限元解的渐近展
12、式和超收敛性质， （其中()L uau =） 在第三章中，我们研究了二阶拟线性双曲方程 0001 ()( , , )( , )(0,1) (0, 001,(0, ) ,(0,1) tt ttt uauf x t ux tT uxtT uux = = = = 或 讨论了该方程在广义有限元空间 1 02 ( ):( ),1(1) n hnhni SvHIL vPIiN = 中有限元解的渐进展式和超收敛性质。 3 第一章 常见记号与预备知识 1.1 常见记号 首先引入文6中的记号： % 和= % 即 1122 ,xy xy= % % 表示存在常数， C1，C2与C3，使得 33222111 ,yCx
13、yCyCx 再用Pk表示所有次数不超过K的代数多项式集合。 关于有限元方法和sobolev空间理论，主要参考文7，8其中的记号，例如 用（, ）表示L2内积，A（, ）表示能量内积， m 表示Sobolev空间( ) ,2m W 的范数等。 1.2 若干预备知识 为了本文的分析需要，我们采用标准Sobolev空间 , ( )( ), k pP wuuLk = 并赋予范数 1 , , () ,1 P P k p k uuP = , maxsup( ) k k x uessu x = 若P=2，则将( ) ,2k w简记为( ) k H， , ,k p u 简记为 ,k u 易见上述定义中的0k
14、，当0k 时，我们引入如下负范数表达式： , () , ( , ) sup,0 s o s H s f fS = 4 以下我们总假设双线性形式A（, ）在 1 0 H中满足强制性和连续性。 h V为 1 0 H 的有限元子空间， h u为u在 h V中的有限元投影。则我们有关于有限元的如下负 范数估计： 定理 1.19 若K2)uH +1 （，且对任意的 1 0 t HH，方程 1 0 (, )( , ),A W VVVH= 的解W满足先验估计 2 (11) tt Wtk + % ，则u的k次有限元解() hh uV有 如下负范数误差估计： 1 1 kt h tk uuhu + + + % (
15、1.1.1) 本文我们主要是围绕拟线性方程和广义有限元而展开的，为此我们引入 定义 1.17 如果一个方程对未和函数及各阶导数是线性的， 则称这个方程是 线性方程；如果该方程对未知函数的所有最高阶导数来说是线性的，则称它为拟 线性方程。 定义 1.24 设V为微分方程的弱解空间，L为r阶微分算子， 则n次广义有 限元空间定义为 :|( ),1(1) n hhhin ri SVV LVPTiN = 这里，Pl是l次多项式全体，N为剖分单元数。当取L=I（单位算子）时， n h S 即为经典有限元空间。 我们再引入Sobolev空间中常见的嵌入性质，逆性质及关于有限元函数的基 本插值误差估计。 引理 1.19 （嵌入性质）如果 0,1, 1Cm，则 当 , ,( )( ),1 m pq ddp mwLq pdmp 当 , ,( )( ),1 m pq d mwLq p = 引理 1.29 （逆性质）若d维有界域的剖分 h 是拟一致的，则对任意的 h vV,有如下逆估计： 5 11 () , , , , t s d qp t p t s h v s qv h + 其中max,1,. r T hh stp q= 特别当d=1时，有 1 10 vhv
