《高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系课件（理）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系课件（理）（78页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系,【知识梳理】 1.平面的基本性质 (1)公理1:如果一条直线上的_在一个平面内,那么 这条直线在这个平面内. (2)公理2:过_的三点,有且只有一个平 面.,两点,不在一条直线上,(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么 它们_过该点的公共直线.,有且只有一条,2.空间两条直线的位置关系 (1)位置关系分类:,相交,平行,任何一个平面,(2)平行公理(公理4)和等角定理: 平行公理:平行于同一条直线的两条直线_. 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角_.,互相平行,相等或互补,(3)异面直线所成的角: 定义:已知两条
2、异面直线a,b,经过空间任一点O作直 线aa,bb,把a与b所成的_叫 做异面直线a与b所成的角(或夹角); 范围:_.,锐角(或直角),3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系,a=A,1,a,0,a,无数,0,=l,无数,【特别提醒】 1.唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.,2.异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.,3.确定平面的三个推论 (1)推论1:经过一条直线和
3、这条直线外一点,有且只有一个平面. (2)推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. (3)推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.,4.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修2P52习题2.1B组T1(2)改编)如图 所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别 是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成 的角的大小为 ( ) A.30 B.45 C.60 D.90,【解析】选C.连接B1D1,D1C,则B1D1EF, 故D1B1C为所
4、求,又B1D1=B1C=D1C, 所以D1B1C=60.,2.(必修2P43练习T1改编)两两相交的三条直线最多可确定_个平面. 【解析】当三条直线共点且不共面时,最多可确定3个平面. 答案:3,感悟考题 试一试 3.(2015广东高考)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是 ( ) A.l至少与l1,l2中的一条相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l与l1,l2都不相交,【解析】选A.直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,=l,则l至少与l1,l2中的一条相交.,4.(2016瑞安模
5、拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是 ( ),A.0 B.0 C.0 D.0,【解析】选D.因为A1BD1C, 所以CP与A1B所成的角可化为CP与D1C所成的角. 由AD1C是正三角形可知,当P与A重合时所成的角为 , 因为P不能与D1重合,因为此时D1C与A1B平行,不是异面 直线,所以,考向一 平面的基本性质 【典例1】(1)以下命题中,正确命题的个数是 ( ) 不共面的四点中,其中任意三点不共线; 若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面; 若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,
6、c共面; 依次首尾相接的四条线段必共面. A.0 B.1 C.2 D.3,(2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.求证: E,C,D1,F四点共面; CE,D1F,DA三线共点.,【解题导引】(1)根据公理2及确定平面的推论判断. (2)对于,只需证明EFCD1即可; 对于,先证明CE,D1F的交点既在平面ABCD内,又在平面ADD1A1内,再利用公理3证明交点在DA上.,【规范解答】(1)选B.中若有三点共线,则四点共面,不合题意,故正确;中若点A,B,C在同一条直线上,则A,B,C,D,E不一定共面,故错误;中,直线b,c可能是异面直线,故错误;
7、中,当四条线段构成空间四边形时,四条线段不共面,故错误.,(2)如图,连接CD1,EF,A1B,因为E,F分别是AB和AA1的中点, 所以EFA1B且EF= A1B. 又因为A1D1BC,且A1D1=BC, 所以四边形A1BCD1是平行四边形.,所以A1BCD1, 所以EFCD1, 即EF与CD1确定一个平面. 且E,F,C,D1,即E,C,D1,F四点共面.,由知,EFCD1,且EF= CD1, 所以四边形CD1FE是梯形. 所以CE与D1F必相交,设交点为P,如图, 则PCE平面ABCD, 且PD1F平面A1ADD1. 又因为平面ABCD平面A1ADD1=AD, 所以PAD,所以CE,D1
8、F,DA交于一点.,【规律方法】 1.证明点共面或线共面的常用方法 (1)直接法:证明直线平行或相交,从而证明线共面. (2)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内. (3)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面,再证明其余元素确定平面,最后证明平面,重合.,2.证明空间点共线问题的方法 (1)公理法:第(2)题证明过程用到此方法,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上. (2)纳入直线法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.,【变式训练】如图所示,四边形ABEF和 ABCD都是梯形,BC AD,BE FA,G,
9、 H分别为FA,FD的中点. (1)证明:四边形BCHG是平行四边形. (2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?,【解析】(1)由已知FG=GA,FH=HD,得GH AD. 又BC AD,所以GH BC,所以四边形BCHG是平行四边形.,(2)方法一:由BE AF,G为FA中点知BE GF, 所以四边形BEFG为平行四边形,所以EFBG. 由(1)知BGCH,所以EFCH, 所以EF与CH共面. 又DFH,所以C,D,F,E四点共面.,方法二:如图所示,延长FE,DC分别与AB交于点M,M. 因为BE AF,所以B为MA的中点. 因为BC AD,所以B为MA的中点, 所以M与M重合,即FE与
10、DC交于点M(M), 所以C,D,F,E四点共面.,【加固训练】 如图,在四边形ABCD中,已知ABCD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面相交于点E,G,H,F,求证:E,F,G,H四点必定共线.,【解析】因为ABCD, 所以AB,CD确定一个平面. 又因为AB=E,AB,所以E,E, 即E为平面与的一个公共点. 同理可证F,G,H均为平面与的公共点, 因为两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线, 所以E,F,G,H四点必定共线.,考向二 空间直线的位置关系 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:异面直线的判定 【典例2】(2016郑州模拟)在图中,G,H,M,N分别是正
11、三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号).,【解题导引】根据异面直线的判定定理判断. 【规范解答】图中,直线GHMN;图中,G,H,N三点共面,但M平面GHN,因此直线GH与MN异面;图中,连接MG,GMHN,因此GH与MN共面;图中,G,M,N共面,但H平面GMN,因此GH与MN异面,所以在图中GH与MN异面. 答案:,命题方向2:平行和垂直的判定 【典例3】(2016黄石模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是 ( ),A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直 C.MN与BD
12、平行 D.MN与A1B1平行 【解题导引】先证MN与BD平行,然后根据BD与各直线的位置关系,判断MN与各直线的位置关系.,【规范解答】选D.如图,连接C1D, 在C1DB中,MNBD,故C正确; 因为CC1平面ABCD,所以CC1BD, 所以MN与CC1垂直,故A正确; 因为ACBD,MNBD, 所以MN与AC垂直,故B正确;,因为A1B1与BD异面,MNBD, 所以MN与A1B1不可能平行,故D错误.,【技法感悟】 1.异面直线的判定方法 (1)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.此法在异面直线的判
13、定中经常用到.,(2)定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. 2.线线平行或垂直的判定方法 (1)对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断. (2)对于线线垂直,往往利用线面垂直的定义,由线面垂直得到线线垂直.,【题组通关】 1.(2016福州模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,则EF与BD1的位置关系是 ( ) A.相交但不垂直 B.相交且垂直 C.异面 D.平行,【解析】选D.连接D1E并延长,与AD交于点M, 因为A1E=2ED
14、,可得M为AD的中点, 连接BF并延长,交AD于点N, 因为CF=2FA,可得N为AD的中点, 所以M,N重合,且 所以 所以EFBD1.,2.(2016承德模拟)设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是_(填序号). 若AC与BD共面,则AD与BC共面; 若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线; 若AB=AC,DB=DC,则AD=BC; 若AB=AC,DB=DC,则ADBC.,【解析】对于,由于点A,B,C,D共面,显然结论正确.对于,假设AD与BC共面,由正确得AC与BD共面,这与题设矛盾,故假设不成立,从而结论正确. 对于,如图,当AB=AC,DB=DC, 使
15、二面角A-BC-D的大小变化时,AD与BC不一定相等,故不正确.,对于,如图,取BC的中点E,连接AE,DE,则由题设得BCAE,BCDE.根据线面垂直的判定定理得BC平面ADE,从而ADBC. 答案:,3.(2016上饶模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点 P,Q,R分别是线段B1B,AB和A1C上的动点, 观察直线CP与D1Q,CP与D1R,给出下列结论: 对于任意给定的点P,存在点Q,使得D1QCP; 对于任意给定的点Q,存在点P,使得CPD1Q;,对于任意给定的点R,存在点P,使得CPD1R; 对于任意给定的点P,存在点R,使得D1RCP. 其中正确的结论是_.,【解析】只有D1Q平面BCC1B1,即D1Q平面ADD1A1时,才能满足对于任意给定的点P,存在点Q,使得D1QCP, 因为过D1点与平面DD1A1A垂直的直线只有一条D1C1, 而D1C1AB,所以错误;,当点P与B1重合时, CPAB,且CPAD1, 所以CP平面ABD1, 因为对于任意给定的点Q,都有D1Q平面ABD1, 所以对于任意给定的点Q,存在点P,使得CPD1Q, 所以正确;,只有CP垂直D1R在平面BCC1B1中的射影时
