《球的体积和表面积新资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《球的体积和表面积新资料（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、-球的体积和表面积-,假设将圆n等分，则,A2,A1,An,O,A3,回顾：圆面积公式的推导,延伸阅读：割圆术,早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。 他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”。这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”。 这是世界上最早的“极限”思想。,思考：能否也采取“分割”与“极限”思想，推导球的体积公式？,高等于底面半径的旋转体体积对比,球的体积,把半球分割成n个薄片,当分割的层数不断增加，每一层就越接近一个圆柱体。,O,R,当n时，每个薄片近似
2、于圆柱,设球的半径为R，它的体积只与半径R有关。 将半球分割成n层，每一层都近似于圆柱形状的“小圆片”。这些“小圆片”的体积之和就是球的体积。 选第i层（由下而上），如右图。 厚度： 下底面半径： 体积：,球的体积公式,球的表面积公式推导,球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢? 从球的体积公式的推导方法, 得到启发，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式。,第一步：分割,球面被分割成n个网格，表面积分别为：,则球的表面积：,则球的体积为：,球的表面积,第二步：求近似和,由第一步得：,球的表面积,第三步：化为准确和,如果网格分的越细,则: “小锥体”
3、就越接近小棱锥,球的表面积,例1.钢球直径是5cm,求它的表面积和体积.,(变式1)一个球体的表面积是100 ，试计算它的表面积。,例题讲解,(变式2)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2),解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是,答:空心钢球的内径约为4.5cm.,由计算器算得:,例题讲解,例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。,分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。,例题讲解,用一个平面去截一个球O，截面是圆
4、面,O,球的截面的性质： 球心和截面圆心的连线垂直于截面 球心到截面的距离为d，球的半径为R，则,截面问题,例已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积,解：如图，设球O半径为R， 截面O的半径为r，,例题讲解,例.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积,例题讲解,1.球的半径扩大为原来的2倍,体积变为原来的倍.,练习一,课堂练习,2.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是_.,了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割求近似和化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；,熟练掌握球的体积、表面积公式：,课堂小结,
