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1、-球的体积和表面积-,假设将圆n等分,则,A2,A1,An,O,A3,回顾:圆面积公式的推导,延伸阅读:割圆术,早在公元三世纪,我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。 他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数,使其面积与圆的面积之差更小,即所谓“割之弥细,所失弥小”。这样重复下去,就达到了“割之又割,以至于不可再割,则与圆合体而无所失矣”。 这是世界上最早的“极限”思想。,思考:能否也采取“分割”与“极限”思想,推导球的体积公式?,高等于底面半径的旋转体体积对比,球的体积,把半球分割成n个薄片,当分割的层数不断增加,每一层就越接近一个圆柱体。,O,R,当n时,每个薄片近似
2、于圆柱,设球的半径为R,它的体积只与半径R有关。 将半球分割成n层,每一层都近似于圆柱形状的“小圆片”。这些“小圆片”的体积之和就是球的体积。 选第i层(由下而上),如右图。 厚度: 下底面半径: 体积:,球的体积公式,球的表面积公式推导,球面不能展开成平面图形,所以求球的表面积无法用展开图求出,如何求球的表面积公式呢? 从球的体积公式的推导方法, 得到启发,可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式。,第一步:分割,球面被分割成n个网格,表面积分别为:,则球的表面积:,则球的体积为:,球的表面积,第二步:求近似和,由第一步得:,球的表面积,第三步:化为准确和,如果网格分的越细,则: “小锥体”
3、就越接近小棱锥,球的表面积,例1.钢球直径是5cm,求它的表面积和体积.,(变式1)一个球体的表面积是100 ,试计算它的表面积。,例题讲解,(变式2)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2),解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是,答:空心钢球的内径约为4.5cm.,由计算器算得:,例题讲解,例2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上,问球O的表面积。,分析:正方体内接于球,则由球和正方体都是中心对称图形可知,它们中心重合,则正方体对角线与球的直径相等。,例题讲解,用一个平面去截一个球O,截面是圆
4、面,O,球的截面的性质: 球心和截面圆心的连线垂直于截面 球心到截面的距离为d,球的半径为R,则,截面问题,例已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=cm,求球的体积,表面积,解:如图,设球O半径为R, 截面O的半径为r,,例题讲解,例.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=cm,求球的体积,表面积,例题讲解,1.球的半径扩大为原来的2倍,体积变为原来的倍.,练习一,课堂练习,2.将半径为1和2的两个铅球,熔成一个大铅球,那么这个大铅球的表面积是_.,了解球的体积、表面积推导的基本思路:分割求近似和化为标准和的方法,是一种重要的数学思想方法极限思想,它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用;,熟练掌握球的体积、表面积公式:,课堂小结,