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1、分类号 ICS 学校代码! Q ! 三鱼 学号垫塑巡 羲一菱一瀑墓 肉家喜民燕大学 硕士学位论文 一类级数形式的H i l b e r t 型不等式的改进 I m p r o v e m e n t o nt h es e r i e sf o r mo fH i l b e r t t y p eI n e q u a l i t y 申请人：聂凤飞 学科专业： 研究方向： 学位类别： 指导教师： 应用数学 矩阵论与凸分析 学术学位 宝音特古斯教授 论文提交日期：二。一二年- - f 一 t ， 摘要 1 9 0 8 年，德国数学家H i l b e r t 汪明了如一F 的不等式【l J
2、： 设以。，匆。o ) ，_ 1 t0 1 ，! + 1 = 1 ，吾+ 詈= 1 ，口。，吮O ( n eN)，一目o 1 ，一1 + 一1 ：1 ，则 ， S f 高旁“- ( s i n 0 )2， ( k + ( 1 ，) ) 2 7 I n 刀 s 0 - 1 ) ( 2 1 1 ) 1 卜2 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 8一类级数形式的H i l b e r t 型不等式的改进 弓l 理2 1 3 设， 1 ，! + ! ：1 ，则 ， S 峭舻薹鲁”5 r 2 + 薹万备一瓦1 3 一r 2 。+ 等一瓦1 3 ，( 2 1 6 ) 薹高前= 薹高 南薹古= 嘉，
3、 r 2 + 薹而1 两一万1 5 + 西1 r + 嘉面1 5 ( 2 1 7 ) 弓l 理2 1 4 设r 1 ，! + 一1 ：1 ，l 2 ，贝0 ， S 。 0 ，z 2 XX 于是，有g O ，) g ( 2 ，) 0 , x 2 由式( 2 9 ) 可知， ，_ ) O , x 2 ，从而，有 慨咖竿一半一号等+ 罕 2 ( 3 2 x2 v - 1 0 - 予) h2 2 ( 1 。+ 孚) t n 2 2 ( 2 1 1 3 ， 故结论成立证毕 注：这里臼( ，) = m i n q ( 吐( ，) ) p = 譬一芸 下而给出引瑚213 - q 引理214 的个椎诊 推论2
4、 1 5 设， 1 ，! + ! ：1 ，zE N ，则 厂S 9 1 0 其中 0 O ( n E N ) ，且o 1，一1+一1=1，詈+!=1，口。，包。o(咒)，且o 1 ，一1 + ! ；1 ，o 1 (2-21n(2x)-2)(2x-1)-4(2x一12xln(2x) A ( 2 x 一1 ) 3 1 一1 ) ， J +3妻+三兰_i毫拶一；兰c7一允，一1，2 一圭 ( 7 2 纠( 1 一l n x - 1 ) ( 卜1 ) + ( x - l - x l n 训一2 砒+ 2 A ( 1 n x + 1 ) ) 2I三里苎堑尘二A堑(2生x三兰芦】o一1)3+三垦圣兰i罢2
5、挈x o 一1 ) 2 = 二一二= If 1 一一l 、。上二一一 、 ，u1 、： l 一1 ) 3 J V 。叫。 A (一1 ) 2 p V + 万3 一1 ) 2 一孓7 一A ) o 一1 ) 2 一爿1 ( 7 2 A ) ( x 一1 一h l n x + 1 n z ) + 2 A I n z 一2 A ( x 一1 ) 】 因0 1 ，显然有 些唑A(2笋x 卜) 3 + 等甚2 x 蚴1 ) z ： 0 I 一1 ) 3 r 叫。A ( 一 p u 7 u 万3o 一1 ) 2 一三( 7 一A ) o 一1 ) 2 。， 一封1 ( 7 2 A ) ( x 一1 一h
6、l n x 仙x ) + 2 A l n x - 2 A 一1 ) 。 因此，g ) 在G + ) 上是关于x 单调递增函数，且 荆州l i r a + 咖) 2 了2 1 n 2 一圭卜m 刍小等卜了2 1 n 2 虿7 生1 2 ( 3 1 胞) 于是，有 1 9 罱 有 懒 么B弭刀 1 ，z A2 n ”一1 s i n ( x ，j ，) 从而结论成立证毕 特别地， 。 1 f J 一万t 2 l n2 I n ( m ，z p ) m n ( 7 一九s ) n pI n n ”。A n “ A n ”I n ，z ” n u 一1n 一1n ”一1 ) 2 寺卦 一+ 1 2 1
7、 2I ( 3 2 关于一类参数化H i l b e r t 级数型不等式的改进 0 1 ， ( x ，肛) ! + ! ：1 ，! + 三；1 ， pg rs 0 罗，l “小卜“ 砩 篇 ” 1 s i n Q r f i ) 其中口( A ) ：2 1 n2 7 + 三 其中2 An 一1 2 + 三1 2 1 Z s i n Q r r ) _ - 学 f 3 1 1 3 ) 0 A ，s1 ，a n , 饥0 ( nE N ) ，则 ) 2 _ 警卜小脚： 悱( 证由H 6 1 d e r 不等式，有 ( A ，) = m X l r q 矿 s p ，m 佃 【未。 M s i n
8、 ( s r s ) (一ln朋(嚏mx一，n。芦，)JVp口。 一1 ) 2 r H l s ；A ，z l n ( m 1n 肛) m 一，l 芦 ( p A r ) 一A F + 1 n s i n ( 万r ) 2 0 | s 9 付一r q 九 三r P r 斗加M 叫怕 降ln(mX叫nU)l珈饥 ，z ( 口一1 ) F 肛 甜| l掣m n 铷广 。一 芦 “J 薹，。；j。，z，z(口ps)一A一弘+16署V9 一A 一一+ 1 以： r ，且 ( 3 2 1 ) 1一心 ，J 1一九 。V急 = J 卢 1n ， “ 0 P n 口 n 肛 一 卜 r 吖p 咒 。Y惫 。
9、孓詹 心1 v l = 内蒙古民族大学硕士学位论文 2 1 悱( 且易证不等式严格成立证毕 定理3 2 2 在定理3 2 1 的条件下，则 m 专( 南s i ns 产 悱( s i n 0 ) T g s i n 0 s )问卜们小”1 卵r )2一O，。(。A，)J、In(pUr)_Z_U+la。pVp茎n(q),s)-i,-p+l。qV9 c 3 2 2 ， 驴讪M叫1)(脚(：l；警!)P 1 1 这里口( 九) 厂稍 11 + = 1 m 叫取 s i n ( z r ) 懈( 推论3 2 4 在定理3 2 1 的条件下，则 c l m 小击( 南广 ( 2 ) 懈( s i n (
10、 z r ) 陲 1 l。 I l A p lI s i n ( z r ) = 1 ，则 ) _ 斗驯小砷“3 2 3 ， 0 允s 1 ，a n , 吃0 ( nE N ) ，且 1 】p c P 叫砂口fI J s i n ( r s )2 斗叫小蟛卜 斗胁m w r 警m 口。)P 一儿卅J s i n ( z S )厂粕 2 1 s i n ( ：r r ) 瞎 1 v 叮 吖小2 “1 qI ， J ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ) 2 - 斗刚r ) - m 1 砟c 3 2 6 ， 1 上一 + 1 一 r 醪 “ m q 小国 ，争 0 P 口 +五2一 p 丑 P
11、 n 。V惫 1 ，一1 + 一1 ：1 ，一1 + ! ：1 ，0 A s 1 ，口一易，0 ( ，z ) ，且 Pq ，S 0 y ，2 州。r 卜2 “1 口f ， 一 一 ”2 1 0 罗刀佃纠钉- 2 “1 磷q ， 一 “ z 1 则 m 卅懈( 南问卜埘? r 懈( 南) 2 _ 斗剃小m l w 卜3 2 7 ， m1(sin(石-zs)。广 懈( 一s i n ( z r ) 坶卜小m wr薹(qA)s)-2A+lbiI卜328， 扩埘+1)(1-力嗉学)9 1，告+吾；1，!+詈=1，吒，吃oo)，1t0耋刀(p，)1以f，r pq s 篇 0 罗，l “肛卜切 ， 龠 ”
12、 则 m 。 1 ，1 + 1 ；1 pq 0 罗2 W O ( n e N ) ，且o n ，P - Z a 。p ，l - l 2 2 其中常数因子 sin(z仃p)2芹1高 2 p 是最佳值 2 4 一类级数形式的H i l b e r t 型不等式的改进 2 4 内蒙古民族大学硕士学位论文2 5 参考文献 1 H a r d yG H ，L i t t l e w o o dJ E ，P l y a G ，I n e q u a l i t i e s M C a m b r i d g e C a m b r i d g eU n i v e r s i t yP r e s s ，
13、 1 9 5 2 杨必成算子范数与H i l b e r t 不等式 M 】北京：科学出版社，2 0 1 0 Y a n gB C ，H i l b e r t T y p eI n t e g r a lI n e q u a l i t i e s M G u a n g d o n gE d u c a t i o nI n s t i t u t e ，2 0 1 0 ，3 匡继昌常用不等式( 第四版) 【M 】济南：山东科学技术出版社，2 0 1 0 ：5 8 2 5 9 3 H s u L C ，G u oY K ，AR e f i n e m e n to fH a r d y
14、- R i e s z SE x t e n d e dH i l b e r tI n e q u a l i t y J J M a t h R e s E x p ，1 9 9 0 ，1 0 ( 4 ) H s u L C ，W a n gY J ，AR e f i n e m e n to fH i l b e r t S D o u b l eS e r i e sT h e o r e m J J M a t h 。R e s E x p ， 1 9 9 1 ，1 1 ( 1 ) ：1 4 3 1 4 4 H s u L C ，G u oY K ，N o t eo nH a r d
15、 y - R i e s z SE x t e n s i o no fH i l b e r t SI n e q u a l i t y J C h i n e s eQ u a r t e r l y J M a t h ，1 9 9 1 ，6 ( 1 ) ：7 5 7 7 G a o M Z ，A N o t eo nH i l b e r t SD o u b l eS e r i e sT h e o r e m J H u n a n M a t h A n n ，1 9 9 2 ，1 1 ：1 4 2 1 4 7 H uK ，O nH i l b e r t SI n e q u a l i t y J C h i n A
