《高三数学一轮复习 5.3等比数列及其前n项和课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习 5.3等比数列及其前n项和课件（88页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 等比数列及其前n项和,【知识梳理】 1.等比数列及其相关概念,前面一项,同一个常数,常数,G2=ab,2.等比数列的通项公式 若等比数列an的首项是a1,公比是q,则其通项公式为_ _. 3.等比数列的前n项和公式 (1)当公比q=1时,Sn=_. (2)当公比q1时,Sn=_=_.,an=,a1qn-1(nN*),na1,4.等比数列的常见性质 (1)项的性质: an=amqn-m; am-kam+k=am2(mk,m,kN*). (i)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN*),则aman=_=ak2; (ii)若数列an,bn(项数相同)是等比数列,则an,|an|, ,a
2、n2,anbn, (0)仍然是等比 数列;,apaq,(iii)在等比数列an中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,为等比数列,公比为qk.,(2)和的性质: Sm+n=Sn+qnSm; 若等比数列an共2k(kN*)项,则 =q; 公比不为-1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn, _仍成等比数列,其公比为qn,当公比为-1时,Sn,S2n-Sn, _不一定构成等比数列.,S3n-S2n,S3n-S2n,(3)等比数列an的单调性: 满足 an是_数列; 满足 an是_数列; 当 时,an为_数列; 当q0时,an为摆动数列.,递增
3、,递减,常,(4)其他性质: an为等比数列,若a1a2an=Tn,则Tn, 成等 比数列; 当数列an是各项都为正数的等比数列时,数列lgan是公 差为lgq的等差数列.,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 满足an+1=qan(nN*,q为常数)的数列an为等比数列; G为a,b的等比中项G2=ab; 如果an为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列bn也是等比数列; 如果数列an为等比数列,则数列lnan是等差数列. 其中错误的命题是( ) A. B. C. D.,【解析】选D.错误.q=0时an不是等比数列. 错误.G为a,b的等比中项G2=ab;反之不真,如a=0,b=0,
4、G=0. 错误.如数列1,-1,1,-1,. 错误.数列an中可能有小于零的项.,2.已知数列an是各项均为正数的等比数列,若a2=2,2a3+a4=16, 则an等于( ) A.2n-2 B.23-n C.2n-1 D.2n 【解析】选C.设该等比数列的公比为q,则a3=2q,a4=2q2,由此得 4q+2q2=16,即q2+2q-8=0,解得q=2或者q=-4(舍去),所以an= a2qn-2=2n-1.,3.在等比数列an中,前n项和为Sn,若S3=7,S6=63,则公比q的值 是( ) A.2 B.-2 C.3 D.-3 【解析】选A.易得q1,由题意得 两式相除得 1+q3=9,所以
5、q=2.,4.设an是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和 分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是( ) A.X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X) C.Y2=XZ D.Y(Y-X)=X(Z-X) 【解析】选D.(特例法)取等比数列1,2,4,令n=1得X=1,Y=3, Z=7代入验算.,5.设an是由正数组成的等比数列,a1,a9是方程x2-8x+12=0的 两根,则a4a5a6= . 【解析】因为a52=a1a9=12,an0,所以a5= 所以a4a5a6= 答案:,6.若数列an满足：a1=1,an+1= (nN*),其前n项和为Sn,则 =_. 【解析】由a1=1
6、,an+1= 知an是首项为1，公比为 的等比 数列，所以 故 答案：15,考点1 等比数列的基本运算 【典例1】(1)(2013江西高考)等比数列x,3x+3,6x+6,的第四项等于( ) A.-24 B.0 C.12 D.24 (2)(2013新课标全国卷)等比数列an的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( ),【解题视点】(1)先根据等比中项的性质求出x的值,再利用通项公式求第四项. (2)利用S3=a1+a2+a3,根据通项公式求出q2,再解方程求得a1.,【规范解答】(1)选A.因为等比数列的前三项为x,3x+3,6x+6, 所以(3x+3)2=x(6x+6
7、), 即x2+4x+3=0,解得x=-1或x=-3. 当x=-1时,3x+3=0不合题意,舍去.故x=-3. 此时等比数列的前三项为-3,-6,-12.所以等比数列的首项为-3, 公比为2,所以等比数列的第四项为-324-1=-24. (2)选C.由S3=a2+10a1,得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,即a1q2=9a1, 解得q2=9,又因为a5=9,所以a1q4=9,解得a1= .,【互动探究】 若本例已知条件不变,(1)对于第(1)小题,求通项公式an. (2)对于第(2)小题,求前n项和Sn.,【解析】(1)由本例(1)知a1=-3,q=2,所以an=(-3)2n-
8、1. (2)由本例(2)知a1= ,q=3,所以 当q=3时,Sn= 当q=-3时,Sn= 因此Sn= (3n-1)或Sn= 1-(-3)n.,【易错警示】关注等比数列项的符号规律 等比数列的通项公式是an=a1qn-1,不管公比q的正负,q20,因此我们可以知道,等比数列中奇数项符号相同,偶数项符号也相同,但在做题时,我们往往会忽视这一点,尤其是在用到等比中项的时候.本例第(1)题就易出现两种情况不能决定取舍的问题.,【规律方法】解决等比数列有关问题的常见思想方法 (1)方程的思想.等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以 “知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎
9、刃而 解. (2)数形结合的思想.通项an=a1qn-1可化为an= qn,因此an是 关于n的函数,点(n,an)是曲线y= qx上一群孤立的点.,(3)分类讨论的思想.当q=1时,an的前n项和Sn=na1;当q1时, an的前n项和Sn= 等比数列的前n项和公式 涉及对公比q的分类讨论,此处是常考点,也是易错点. (4)整体思想.应用等比数列前n项和公式时,常把qn或 当 成整体进行求解.,等比数列设项技巧 对称设元法:一般地,连续奇数个项成等比数列,可设为, x,xq,;连续偶数个项成等比数列,可设为, xq, xq3,(注意:此时公比q20,并不适合所有情况)这样即可减少 未知量的个
10、数,也使得解方程较为方便.,【变式训练】(2013四川高考)在等比数列an中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列an的首项、公比及前n项和. 【思路点拨】首先需要明确等比数列中2a2为3a1和a3的等差中项,然后设出公比,利用方程的思想进行求解.,【解析】设该数列的公比为q.由已知可得a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q2, 所以,a1(q-1)=2,q2-4q+3=0,解得q=3或q=1. 由于a1(q-1)=2,因此q=1不合题意,应舍去. 故公比q=3,首项a1=1. 所以,数列an的前n项和Sn=,【加固训练】 1.在等比数列an中,若公比q1,且a2a8=
11、6,a4+a6=5,则= ( ) 【解析】选D.因为a2a8=6,所以a4a6=6, 又因为a4+a6=5,q1,所以a4=2,a6=3, 所以,2.设等比数列an的前n项和为Sn，若 则 =( ) 【解析】选B.设数列an的公比为q ,则 1q33q32, 于是,3.设an是等差数列,bn是等比数列,记an,bn的前n项和 分别为Sn,Tn.若a3=b3,a4=b4,且 则 = . 【解析】设数列an的公差为d,数列bn的公比为q. 因为 =5,所以 =5,即2a1+7d=5b1q2(1+q),因为 a3=b3,a4=b4,所以 可得 故2(3-2q)+7(q-1)=5(1+q), 解得q=
12、-3,所以 答案:,考点2 等比数列的判定与证明 【典例2】(1)(2013福建高考)已知等比数列的公比为q,记 bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1am(n-1)+2 am(n-1)+m(m,nN*，),则以下结论一定正确的是( ) A.数列bn为等差数列,公差为qm B.数列bn为等比数列,公比为q2m C.数列cn为等比数列,公比为 D.数列cn为等比数列,公比为,(2)(2013陕西高考)设an是公比为q的等比数列. 推导an的前n项和公式. 设q1,证明数列an+1不是等比数列. 【解题视点】(1)判定一个数列是等差或等比数列,可
13、利用作差或作比,看看结果是不是常数. (2)推导数列an的前n项和公式要注意分q=1或q1两种情况讨论,利用错位相减法求解;证明数列an+1不是等比数列,一般要用反证法,只需证明前三项不符合等比数列的条件即可.,【规范解答】(1)选C.显然,bn是等比数列但公比为qm;cn是等比数列;证明如下: cn=am(n-1)+1am(n-1)+2am(n-1)+m, cn+1=amn+1amn+2amn+m, =qmqmqm=(qm)m=,(2)分两种情况讨论. (i)当q=1时,数列an是首项为a1的常数数列,所以Sn=a1+a1+a1=na1. (ii)当q1时,Sn=a1+a2+an-1+anq
14、Sn=qa1+qa2+qan-1+qan. 上面两式错位相减: (1-q)Sn=a1+(a2-qa1)+(a3-qa2)+(an-qan-1)-qan=a1-qan Sn= 综上,Sn=,使用反证法. 不妨设an是公比q1的等比数列,假设数列an+1是等比数列,则 (a2+1)2=(a1+1)(a3+1)即(a1q+1)2 =(a1+1)(a1q2+1), 整理得a1(q-1)2=0得a1=0或q=1均与题设矛盾,故数列an+1不是等比数列.,【易错警示】注意对公比的讨论 本例第(2)题容易忽略对公比是否为1的讨论而致误,在解决等比数列问题时,要注意公比是否有限制条件,确定是否应进行讨论.,【
15、规律方法】等比数列的判定方法 (1)定义法:若 =q(q为非零常数,nN*)或 (q为非零常数且n2,nN*),则an是等比数列. (2)中项公式法:若数列an中,an0且an+12=anan+2(nN*),则数列an是等比数列. (3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=cqn-1(c,q均是不为0的常数,nN*),则an是等比数列.,(4)前n项和公式法:若数列an的前n项和Sn=kqn-k(k为常数且k0,q0,1),则an是等比数列. 提醒:(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,常用于证明,而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定. (2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.,【变式训练】(2014金华模拟)已知数列an的首项a1=t0,an+1= n=1,2, (1)若t=
