《燕尾定理与蝴蝶三角形 直线型知识点》由会员分享，可在线阅读，更多相关《燕尾定理与蝴蝶三角形 直线型知识点（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第二讲 燕尾定理与蝴蝶定理基础知识之前我们学了一些直线型的皮毛,今天,让我们系统的学习直线型吧! 下面是同学们在做题时常用的几条定理或结论。 一、同高三角形,鸟头定理和燕尾定理: (1同高三角形面积的比等于底的比; 如右图中:S ABD : S ACD = BD : CD推论1:平行线间同底的三角形面积相等。如图: S ABC = S ADB = S AEB (因为它们同底等高 推论2:长方形中以一条边为底,顶点在对边的三角形的面积是此长方形面积的一半。如图: S ABC = S BEC = S BFC = S BDC =12S ABDC (因为每个三角形的面积相当于是长乘宽除2推论3:梯形
2、中的蝴蝶三角形梯形中由对角线分成的左右两个三角形面积相等。 如图: BOC AOD S S =(蝴蝶三角形(因为ADC BDC S S =,这两个三角形同时减去DOC S 就得到了BOC AOD S S =ABCDA D BC E 推论4:鸟头定理如右图所示则有:ADE ABC S AD AES AB AC= 证明:连结BE ,则有:ADE ABE S AD S AB =,ABE ABC S AES AC=两个式子相乘得到:A D E AB EA B E A B CS S AD AES S AB AC=即:ADE ABC S AD AES AB AC=推论5:燕尾定理: 如右两图所示,均有:A
3、BE ACE S BDS CD=(因为左右两边所有对应的三角形的面积比都等于BDCD 二、正方形面积等于对角线的平方除以2.如图: S ABDC =12S AEFC =12AC 2(很明显,大正方形面积是小正方形的两倍,因为大正方形有4个直角三角形,而小的只有2个ABCDEABCDEABCDEE 三、平行线分线段成比例:“金字塔”和“沙漏”,如右两图所示:如果AB 与CD 平行,那么:CD ABOD OB OC OA = OA OBAC BD= 222AOB COD S OA OB AB S OC OD CD = 推论:配合沙漏型的规律,只要知道了梯形被对角线分成的四个三角形中两个不同的三角形
4、的面积,就可以知道每一个三角形的面积,进而知道总面积。如图:四、交叉相乘: 如右图所示,对任意凸四边形ABCD 有:CO D AO B BO C AO D S S S S =(交叉相乘 证明:如图,过点B ,D 作AC 的高BE ,DF 则有:12AOD S DF AO = 12BOC S BE OC =12COD S DF OC =12AOB S BE AO =OCD A BODCABACAC S 3S 2S 1所以:111224AOD BOC S S DF AO BE OC DF AO BE OC = 111224AOB CODS S BE AO DF OC DF AO BE OC = 所
5、以:CO D AO B BO C AO D S S S S =例1 三角形ABC 的面积为36平方厘米,D 上分别为BC 、AC 边上的三等分点(如图。则三角形ADE 的面积为_平方厘米。解:因为DC=2BD 所以23ADC ABC S DC S BC = 因为AE=2EC 所以23ADE ADC S AE S AC = 所以三角形ADE 的面积为22361633=平方厘米。例2 如图中A 、B 两点分别是长方形长和宽的中点,那么阴影部分的面积是长方形面积的_(填几分之几。(38解:如右图我们把BC 连结起来, 就可知道S 3是长方形面积一半的一半 S 2是长方形面积一半的一半的一半所以阴影部
6、分的面积就是长方形面积的113488+=例3 如图,ABC 中,CD =3AD ,EC =3BE ,那ABO 的面积占ABC 面积的_分之_;EACBD O C AE 解:我们先连结OC ,然后就会发现两个燕尾(下图第2图,第3图: 然后我们根据燕尾定理可知1213S S =,1313S S =,所以1123111337S S S S =+ 所以ABO 的面积占ABC 面积的17同一类型的题(如右图所示,我们整理一下会发现: 11AOB ABC S EC DCS EA BD=+ 例4 如图,正六边形的面积为6,那么阴影部分的面积是多少?解:我们添加2条辅助线:观察下图可以看到S 2 =S 3 =S 4 =S 5 =S 6 =S 7根据“沙漏定理”我们知道214511(24S S S =+而12+3+4+511=32S S S S S +阴六边形 然后可以算出118=33S S 阴,做这道题需要同学们对六边形的各条边的长短很了解才行。BCS 7S 5S 6S 4S 3S 2S 1
